Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

18 Лабораторная работа 3

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30


Лабораторная работа №3.3

Исследование потери устойчивости плоской формы изгиба пластины

Цель работы. Исследовать явление потери устойчивости прямоугольной тонкой пластинки под действием силы, лежащей в плоскости пластины.

Работа состоит из 3-х частей:

а) вывода уравнения потери устойчивости на основе прикладной теории Кирхгофа изгиба тонких стержней;

б) нахождение критической силы и сравнение результатов с экспериментальными данными;

в) вывод формулы для определения жесткости при изгибе стержня прямоугольного сечения.

I. Краткое описание теоретической части

Явление потери устойчивости плоских тел под действием нагрузок, лежащих в плоскости тела заключается в том, что в теле появляются перемещения, перпендикулярные плоскости тела. Такие явления в технике приводят к выпучиванию пластин и могут нарушить работоспособность конструкции в целом.

Как и в случае потери устойчивости прямолинейной формы стержня, здесь приходится учитывать возникающие деформации изгиба.

Существует несколько прикладных теорий этого явления. Ниже описывается теория сложного нагружения прямолинейных стержней – теория Кирхгофа. В нашем случае пластина заменяется прямолинейным стержнем прямоугольного сечения (см. рис.1)

Размеры пластины ℓ, , h, P – сила, приложенная в центре сечения на конце пластины.

При потере устойчивости пластина испытывает сложное напряженное состояние: здесь и деформации изгиба, здесь и деформации кручения, а также не исключаются из рассмотрения и деформации растяжения и поперечных сдвигов. Необходимо из всей гаммы выбрать основные, описывающие именно потерю устойчивости тонкостенного прямолинейного стержня.

Пусть нейтральная линия в деформированном состоянии занимает некоторое положение. Заметим, что отличие от деформаций изгиба в главных осях , где имеется нейтральный слой, здесь имеется именно линия. Пусть дуга, отсчитываемая от какой-либо точки (обычно от какого-либо конца), обозначена через . Тогда с этой линией можно связать естественный трехгранник , где  - единичный вектор, касательный к линии,  - нормаль, а  - бинормаль. Выделим элемент упругой линии  (), и через  и  назовем главный вектор и главный момент сил, действующих в сечении  и представляющих воздействия отброшенной части на рассматриваемый элемент. Главный вектор и главный момент сил в сечении  соответственно будут:

  и   

Составим уравнения равновесия элемента  (см. рис.2)

Рис. 2

;        

Величину  можно представить в виде , где  - касательный вектор в сечении , кроме того .

В результате из первого уравнения , т.е.  сохраняет постоянную величину и неизменное направление во всех точках стержня. А второе уравнение принимает вид:

 (1)

Векторы  и  мы можем проектировать на любые оси, в частности на оси естественного трехгранника . При этом необходимо помнить, что при переходе от точки к точке сам трехгранник поворачивается и в связи с этим дифференцирование в (1) должно учитывать и этот поворот. Однако естественный трехгранник не совсем удобен. Дело в том, что он связан лишь с кривизной и кручением нейтральной оси и никак не отражает искривление самого сечения стержня (см. рис. 3).

Рис. 3

Поэтому в дальнейшем вводится в рассмотрение новая система координат , которая связана с сечением стержня. Эта система выбирается следующим образом. Ось  совпадает по направлению с касательным вектором . Ось  выходит из точки М и является касательной к нейтральной линии, которая в недеформированном состоянии проходила по тем материальным частицам, которые совпадали с одной из главных осей. Ось  выбирается так, чтобы – образовывали декартову прямоугольную систему координат правой ориентации. Ясно, что ось и вектор нормали  теперь уже могут не совпадать, но они лежат в плоскости, перпендикулярной оси , и образуют некоторый угол .

Пусть – единичные орты введенной системы координат. Между единичными ортами  и  существует связь:

           (2)

Разложим и  по осям :

Найдем:

 (3)

Согласно формулам перехода (2) производные от единичных ортов {} можно выразить через производные от ортов естественного трехгранника . А для производных этих векторов существуют формулы Френе:

где  и  обозначают кривизну и кручение нейтральной линии в деформируемом состоянии. Найдем производные:

Подставляя сюда формулы Френе, а затем, выражая базисные векторы естественного трехгранника через орты , которые находим из (2)

получим:

Сделаем обозначения:

; ; .

Тогда уравнения главного момента (1) в компонентах принимают вид:

   (4)

Введем в рассмотрение лагранжевы координаты: длину дуги стержня в недеформированном состоянии . Относительное удлинение нейтральной оси:

.

Но по условию нагружения стержня относительное удлинение нейтральной линии будет мало. В связи с этим  и дифференцирование по  можно заменить дифференцированием по . Тогда формула (4) принимает вид

                                                                                     

                                                                                                                                                (5)

                                                                                     

      Далее в уравнениях (5) произведём следующие подстановки. Пусть стержень нагружен только перерезывающей силой P, которая в недеформированном состоянии параллельна оси . Рассмотрим форму равновесия стержня, бесконечно близкую к прямолинейной. Тогда каждая точка М0 нейтральной оси перейдёт в некоторую точку М, а система осей

 Mx0y0z0, повернувшись на весьма малые углы  вокруг осей x0, y0, z0, займёт положение Mxyz. По углам  определяются кривизны нейтральной оси в плоскостях xz и yz и кручение:

;   ;   

Однако, полученные ранее формулы дифференцирования единичных ортов , ,  можно представить в виде

;   ;  ,

где , а по формулам дифференциальной геометрии означает, что

                                                          (6)

С другой стороны проекции моментов Mx, My, Mz можно представить через эти кривизны и жёсткости на изгиб и кручение (согласно формулам сопротивления материалов).

                                       (7)

Подставляя (6), (7) в (5) и учитывая, что  (см. рис. 3)

; ,

получим

                                            

                                            

      В полученной системе произведём оценки входящих в неё членов. Во-первых, отметим, что жёсткость стержня на изгиб в плоскости xz намного больше жёсткости на изгиб в плоскости yz и кручения, т. е.  .

      С другой стороны имеем соотношения для кривизн на изгиб . Поэтому первые два уравнения системы примут вид

Отсюда находим

Будем отсчитывать дугу от точки приложения силы, тогда при  имеем

т.к. сила параллельна оси .

Первое уравнение теперь даёт

Это уравнение также можно проинтегрировать один раз

При   

Найденные кривизны  и  подставляем в третье уравнение

Обозначим   , уравнение примет вид

                                                         (8)

с граничными условиями

при ;     при                                         (9)

      Для решения краевой задачи (8), (9) введём новую независимую переменную , где  - неопределённый коэффициент. Подстановка в (8) даёт

Решение этого дифференциального уравнения будем разыскивать в виде , где a – пока неизвестный коэффициент. После подстановки уравнение принимает вид:

Распорядимся введёнными постоянными следующим образом: а=; k=.

Тогда уравнение принимает вид уравнения Бесселя:

,

где  и имеет решение

.

Возвращаясь к исходной переменной, будем иметь:

,

где A, B – новые произвольные постоянные.

Удовлетворим граничным условиям. Для удовлетворения первого граничного условия воспользуемся представлением функций Бесселя в виде степенных рядов, тогда:

.

Находим .

Отсюда получаем A = 0.

Удовлетворяя второму граничному условию, имеем:

.

Так как мы разыскиваем нетривиальное решение, то B ≠ 0, и тогда получаем:

.

Наименьший из корней этого уравнения равен 2.0063, ему соответствует критическое значение для силы

      (10)

Для пластины прямоугольного сечения h x δ имеем:

Для получения формулы жёсткости на кручение надо воспользоваться определением жёсткости на кручение M = C γ, как коэффициента пропорциональности между прикладываемым моментом, закручивающим стержень и углом закручивания. В связи с этим необходимо поставить и решить задачу Сен-Венана о закручивании стержня длины l прямоугольного сечения h x δ.

  1.  Описание установки для проведения эксперимента.

Установка состоит из:

  1.  Основания;
    1.  Стойки;
      1.  Исследуемой пластинки;
        1.  Чаши для разновесов;

  1.  Порядок проведения эксперимента и обработка результатов.
    1.  Установить чашу для разновесов в среднее отверстие.
      1.  Провести замеры пластины.
        1.  Взять у преподавателя значения модуля Юнга и модуля сдвига материала пластины.
        2.  Осторожно (пинцетом) нагружая пластину, добиться положения отклонения её от плоского состояния (момент потери устойчивости определяется визуально).
        3.  Провести запись в журналах измерений.
        4.  Провести эксперимент не менее 10 раз.
        5.  Обработать результаты эксперимента, сравнить полученные результаты с теоретическим.
        6.  Решить задачу Сен-Венана о кручении стержня прямоугольного сечения.
        7.  Сделать отчёт о работе и сдать преподавателю.

  1.  Контрольные вопросы и задания.
    1.  В чём заключается потеря устойчивости плоской формы стержня.
    2.  Что означает математически потеря устойчивости.
    3.  Как влияет погрешность измерения толщины пластинки на критическую силу.
    4.  Решить задачу о потере устойчивости пластины, предложенной преподавателем.




1. ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТА Отделение НПО-СПО
2. Контрольна робота на тему - Діагностична модель служби управління персоналом
3. вирусов разума которые способны запрограммировать наше подсознание и заставить Вас саботировать собствен
4. Неэффективная управляющая команда
5. Что такое человек В чем его природа сущность предназначение От чего зависят смысл и ценность человеческой
6. тематики Почти все математические открытия имеют в основе очень простую идею
7. Доклад- Профессия бухгалтера
8. Право на жизнь, свободу и личную неприкосновенность
9. Сертификация в управлении качеством
10. деЖанейро по навколишньому середовищу й розвитку що включає в себе 27 рекомендаційних принципів розкривают
11. Тематический план Тематический план специальности Педагогика и психология бакалавры направление Педа
12. Патентная охрана авторского права
13. Инвестор открыл портфельную сделку купив 100 акций по 10000 и продав 40 акций В по 4000
14. Этика агромаркетинговой деятельности
15. Задание к курсовой работе по информатике Дано- Балка прямоугольного сечения с размерами BH
16. Охрана здоровья населения
17. Наушники HVIT HVH50D Желтый 2
18. Появляются новые стандарты протоколы спецификациии и устройства использующие все это при своем функциони
19. Сжатие Как вычисляются нормальные напряжения в поперечном сечении стержня при растяжении сжатии
20. Филипп Шарль Луи