Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

. Гармонические колебания

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


EMBED Equation.3  

Вопросы к экзамену по физике

1. Гармонические колебания.

2. Затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания.

4. Стационарная волна.

5. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

6. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

7. Плоская электромагнитная волна.

8. Энергия электромагнитных волн.

9. Световая волна.

10. Монохроматичность и когерентность.

11. Интерференция света.

12. Принцип Гюйгенса-Френеля.

13. Дифракция Френеля.

14. Поляризация света.

15. Волны Де Бройля.

16. Корпускулярно-волновой дуализм.

17. Фотоны.

18. Электроны и нейтроны.

19. Эффект Комптона.

20. Принцип неопределенности.

21. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

22. Временное уравнение Шредингера.

23. Решение уравнения Шредингера для свободной частицы.

24. Решение уравнения Шредингера для частицы в одномерной потенциальной яме.

25. Квантово-механический осциллятор.

26. Квантование момента импульса частиц.

27. Спин. Принцип Паули.   

28.Энергия атома водорода.

29. Состояния электронов в атоме водорода.

30. Принцип Паули и распределение электронов по энергетическим уровням атома.

31. Периодическая система элементов.

32. Статистические распределения Ферми-Дирака и Бозе Эйнштейна.

33.Формула Планка.

34. Закон Стефана-Больцмана.

35. Фононы и теплоемкость твердых тел.

36. Энергетические зоны в кристаллах.

38. Строение ядра.

40 Радиоактивность.

41. Ядерные реакции.

1. Гармонические колебания.

Колебаниями  называются процессы, которые каким либо образом повторяются во времени.

Период  

Амплитуда  

Частота  

Циклическая частота    .                                                                                        

Система, совершающая колебания называется колебательной системой:

пружинный маятник,  математический маятник, физический маятник.

Уравнение движения пружинного маятника

.

Решение уравнения       

где ,   - начальная фаза колебаний.  

Смещение   ;

Скорость      

Ускорение    

График колебаний:  

2. Затухающие колебания.

Все реальные колебательные системы существуют в присутствии сил сопротивления:

где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ

Обозначим

 

Решение уравнения

Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний.

Логарифмический декремент затухания:

-

физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в  раз.

3. Вынужденные колебания.

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы: , где амплитуда вынуждающей силы. Возвращающая сила и сила сопротивления Тогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде:

или

(7.21)

Предположим, что возникающее под действием силы установившиеся вынужденные колебания системы также являются гармоническими:                                        

причем их циклическая частота равна циклической частоте ω вынуждающей силы.
Амплитуда колебаний определяется формулой

(7.23)


Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении вынуждающей частоты ω к частоте собственных колебаний системы называется резонансом.

4. Стационарная волна.  

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней волны. При механических волнах этой величиной является смещение некоторой материальной точки среды от того положения, которое она занимала при отсутствии волны.

(рисунок)

 В волне смещение некоторой точки от положения равновесия определяется кроме времени координатой этой точки:

                                    .

Величина  называется фазовой скоростью волны. Она определяет с какой скоростью распространяется в среде точка, находящаяся в одной и той же фазе

(рисунок)

Для  уравнения волны, в которой колебания происходят по гармоническому закону, можно использовать  уравнение колебаний, в котором вместо  времени применить величину

         или                    .                           .Величину  называют волновым числом. Оно показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной .

 Уравнение    называется уравнением волны.

Волновое число связано с длиной волны, которой называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе:

                        ,

Так как длина волны, это расстояние, пройденное волной за один период колебаний

                                 .

Волна всегда имеет направление распространения. Линия, касательная к которой, всегда совпадает с направлением распространения волны, называется лучом. Векторная величина, модуль которой равен волновому числу, а направление совпадает с лучом волны называется волновым вектором .

5. Распространение волн в твердом теле и газе.

В твердом теле волна представляет собой чередование областей сжатия и растяжения. В каждой точке существует механическое напряжение

                                      ,

Где - усилие, действующее на некоторую площадку, а - площадь этой площадки. Так же в каждой точке имеется деформация, которая равна

                                 ,

Где   - смещение точки от равновесного положения,   - ее координата. Механическое напряжение и деформация связаны с помощью закона Гука

                           .

Рассмотрим некоторый объем твердого тела в виде цилиндра площадью основания  и высотой  через который проходит волна:

                              .

Влновое уравнение для твердого тела

                              .

Аналогично для газа

                                     .

В этих  уравнениях величины          

                                  и        .

Представляют собой скорость распространения   волн.

6. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

                                                                       

Рассмотрим электрическое и магнитное поле в области пространства, где нет электрических зарядов как неподвижных так и движущихся. Уравнения Максвелла  для этого пространства примут вид

                                

                                

                                                                                                            

                                .

После преобразований можно получить:

                                     ,

где

                              .

Как и в звуковой волне множитель перед второй производной по времени есть фазовая скорость волны в степени (-2). Поэтому для электромагнитных волн в среде

                                         .

В вакууме    и   . Значит,  для вакуума существует соотношение                      .

Фазовую скорость электромагнитных волн можно выразить следующим образом                           ,

откуда видно, что с веществе она меньше, чем в вакууме.

Из полученных волновых уравнений для напряженностей электрического поля и магнитного поля следует, что при всяком изменении электрического поля создается магнитное поле,   Которое сразу же приводит к созданию электрического поля и т.д. При этом возникает электромагнитная волна.

Расчеты показывают, что электромагнитные волны – это поперечные волны, в которых вектор напряженности электрического поля перпендикулярен вектору магнитного поля, а они оба перпендикулярны вектору скорости волны.

При этом амплитуды магнитной и электрической напряженностей волны связаны следующим образом

                         .

7. Плоская электромагнитная волна.

 Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространяется  вдоль оси .

В этой волне  составляющие ее напряженности электрического и магнитного полей зависят только от координаты   и времени . Соответственно  все производные

                                              .

Из этого следует, что  и  от   и   не зависят.  Это возможно, когда  и . .

Таким образом, электрическая и магнитная волны возникают при всяком изменении друг друга во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому уравнения можно объединить в две системы,

                                 

                             

и

                                  

                             .

Решением, например, первой системы являются функции

                        

                            .

Подставим эти функции в систему:

              

             

              

Чтобы эти равенства соблюдались необходимо, чтобы

                              

                       

                         .

Перемножив эти равенства, получим

                      .

Плоская электромагнитная волна представляет собой плоские электрическую и магнитную волны, векторы напряженностей в которых перпендикулярны друг другу, колеблются в одной фазе и  имеют амплитуды, связанные соотношением.

                                

                               

8. Энергия электромагнитных волн.

 Плотность  энергии электромагнитного поля в вакууме равна

                   .

Преобразуем эту формулу

             

Используя формулу

                         ,

можем записать

         .

Так как

                                   ,

то

                                     .

Величина

                               

называется вектором Пойтинга электромагнитной волны и представняет собой потока энергии  электромагнитного поля.

 

9. Световая волна.

  Свет представляет собой электромагнитную волну, длина которой в вакууме находится с пределах от мкм.

 Световым вектором называется вектор напряженности электромагнитного поля световой волны

                   .

 Фазовая скорость световой волны в вакууме равна  .

Фазовая скорость световой волны в веществе равна

 

                 ,

где величина    -показатель преломления, который характеризует оптическую плотность вещества и показывает во сколько раз скорость света в веществе меньше скорости света в вакууме.

Частота колебаний световой волны в вакууме и  веществе одинаковы и находятся в пределах . Поэтому длины волны света в веществе и вакууме соотносятся следующим образом

                                .

 Интенсивностью света называется модуль потока энергии световой волны, усредненный по времени. Плотность этого потока определяется вектором  Пойтинга

                                        .

Так как   пропорционален ,  пропорционально .

Свет, в котором направления колебаний волн упорядочены каким –либо образом, называется  поляризованным . 

Если колебания происходят в одной плоскости, то поляризация называется линейной.

Если конец светового вектора  описывает эллипс или окружность, то свет называют эллиптически поляризованным или поляризованным по кругу.

 

10. Монохроматичность и когерентность.

  Явления, при которых происходит наложение двух или более волн друг на друга, называются интерференцией.

Любая волна описывается уравнением

                       .

Интерференция двух волн одной частоты сводится к их сложению на оси :

              

(рисунок)

при котором в одном месте пространства амплитуда колебаний увеличивается, а в другом уменьшается.

Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется выражением

, где                          

является разностью фаз. Волна, которая имеет четко определенную частоту, называется монохроматической.

Реальная волна не имеет точно определенной частоты и не является монохроматической. Характеристикой волн, показывающей на их способность интерферировать в пространстве, является понятие когерентности.

Промежуток времени , в течение которого разность фаз колебаний, соответствующих волнам с частотами   и , изменяется  на   называется временем когерентности немонохроматической волны:

                                                         .

Расстояние , на которое распространяется волна со скоростью  за время когерентности, называется длиной когерентности:

                                  .

Если выбрать некоторый пространственный промежуток , условием существования в нем волны является

                                   

или

                                   

или

                                      ,              

так как

                                       .

Соотношение   называется соотношением неопределенностей.

В реальности любой источник волн не является точечным. Наличие у него определенных размеров также приводит к размазыванию в пространстве интерференционной картины.

(рисунок)

Величина

                                     ,

где    длина волны, а - угол, под которым виден из области интерференции источник волн, называется радиусом когерентности.

Если на волновой поверхности две точки отстоят друг от друга на расстояние меньшее радиуса когерентности, то колебания в них будут приблизительно когерентными.

11. Интерференция света.

 Пусть две когерентные световые волны получены путем разделения волны от одного источника на две части:

(рисунок)

Первая волна проходит в среде с показателем преломления , а – вторая - .

Эти волны придут в точку , где произойдет сложение их амплитуд в соответствии с формулой

                       .

Разность фаз    колебаний возбуждаемых в точке  равна

                 .

По определению

                    ,

где   - циклическая частота световой волны,      - длина световой волны в вакууме. Обозначим

                                     ,

которую  назовем оптической разностью хода.

Тогда разность фаз равна

                                    .

Если оптическая разность хода равна целому числу волн в вакууме

                               ,      ,

то разность фаз оказывается кратной  и косинус в формуле сложения колебаний будет равен единице. Тогда

                        ,

и получим интерференционный максимум.

Если оптическая разность хода равна полуцелому числу волн в вакууме

                      ,                   ,

то разность фаз оказывается кратной  и косинус в формуле сложения колебаний будет равен минус единице. Тогда

                                 

и получим интерференционный минимум.

Рассмотрим две когерентные волны, которые испускаются из  двух источников, расстояние между которыми равно :

(рисунок)

Видно, что

                   и      .

                

                     .

Для получения интерференционной картины необходимо, чтобы  .

Тогда можно положить, что

      и                     ,

а оптическая разность хода равна

                          .

Максимумы на экране будут наблюдаться, если

                             

или

                             ,

а минимумы при

                            .

Расстояние между соседними минимумами есть ширина интерференционной полосы.

 12. Принцип Гюйгенса-Френеля.

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической.

Характерные примеры дифракции:

  •  огибание светом препятствий;
  •  проникновение света в область геометрической тени.

Явления дифракции объясняются посредством принципа Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу каждый элемент волновой поверхности  служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента  

(рисунок)

Следовательно,  в т.  от   придет колебание

                         ,

где      - коэффициент, который зависит от  угла : при    , а при       . - начальная амплитуда.

Для объяснения дифракционной картины применяется метод зон  Френеля. Согласно этому методу поверхность световой волны разбивают на кольцевые зоны так, что расстояния от краев зоны до исследуемой точки отличается на  половину длины волны .

(рисунок)

Расстояние  от внешнего края зоны  до точки  равно

                               .

Такой выбор зон приводит тому, что колебания, приходящие в точку   от двух соседних зон находятся в противофазе.

 

Колебания, приходящие в точку от соседних зон, находятся в противофазе.  Поэтому сложение их происходит следующим образом:

                     ,

так как

                              .

Таким образом, амплитуда волны, создаваемой всей волновой поверхностью, в точке  равна половине амплитуды от первой зоны Френеля.

Если перекрыть непрозрачным экраном   все зоны световой волны, кроме первой, т.е.

                        ,

амплитуда в точке    будет равна

                                       ,

т.е. увеличится в два раза.

13. Дифракция Френеля.

Рассмотрим с помощью метода зон Френеля дифракцию света от от круглого отверстия.

(рисунок)

Пусть отверстие в экране открывает   первых зон. Тогда формула для суммы  амплитуд примет вид

             ,

где у  стоит   плюс, если    нечетное и минус, если   четное.

Представив  через , получим, что

                                      ,

если если    нечетное. В этом случае в точке наблюдения  будет максимум освещенности.

Если   четное

                                      ,

и в точке  будет наблюдаться минимум освещенности.

Б. Дифракция от круглого диска.     

(рисунок)

Если диск закрывает   первых зон Френеля на волновой поверхности, то в точке  

                  ,

так как

                              .

В связи с этим, в точке   освещенность будет такая же как и при естественном свете.

14. Поляризация света.

Поляризованным называется свет, в котором направление колебаний светового вектора упорядочены каким-либо образом. В естественном свете направления светового вектора беспорядочны.

Если световой вектор колеблется в одной плоскости, то световая волна называется плоскополяризованной. Плоскополяризованный свет получают пропуская естественный свет через прибор, который называется поляризатором. Плоскость в которой при этом поляризуется свет назовем плоскостью поляризатора.

Поляризация света может быть полной или частичной. Если частично поляризованный свет пропускать через поляризатор и при этом его вращать, то на экране интенсивность света будет, то увеличиваться,  то уменьшаться. (рисунок)

С помощью этого опыта определяют степень поляризации  по формуле:

                                     .

У полностью плоскополяризованного света  и . У естественного света и .

Пусть плоскополяризованная световая волна со световым вектором  направлена на поляризатор. Вектор   составляет с плоскостью поляризации  угол . Разложим колебания в световом векторе  на два направления, одно из которых параллельно плоскости  поляризатора

                                                             ,

а другое перпендикулярно  ей

                                                           .

Первое колебание пройдет через поляризатор, а второе будет задержано. Значит, после поляризатора интенсивность света равна

                                           

или

                                              ,

где

                                        .

Эта формула называется законом Малюса.

15.Волны Де Бройля.

Анализ экспериментальных данных о поведении микрочастиц показывает, что в их поведении обнаруживаются одновременно как  корпускулярные, так и волновые особенности поведения. Микрочастицы могут, как некоторые шарики, сталкиваясь передавать друг другу импульс и энергию. Но также они могут, как волны, создавать интерференционные или дифракционные картины. Следовательно, наряду с импульсом и энергией, микрочастицы должны обладать такими характеристиками, как длина волны или частота.

Соотношение между энергией микрочастицы и частотой волны, которой обладает она установил М.Планк. Соответствующая формула имеет вид:

                                    .

В этой формуле  величина   называется постоянной Планка. Она устанавливается экспериментально и равна   Дж/с. При этом нужно иметь в виду, что .

Аналогичное соотношение между импульсом микрочастицы  и  длиной ее волны ввел Л.Де Бройль:

                             .

Величина называется длиной волны Де Бройля. Из приведенного соотношения ее можно выразить как

                             .

Утверждение о том, что микрочастицам принадлежит некоторая волна, можно распространить и на макротела. Но так как масса макротел во много раз больше, чем масса микрочастиц, их длина волны во столько же раз меньше, чем длина волны микрочастиц длину волны у них нужно принять равной нулю. К аналогичному выводу можно придти, если для макротел положить

                            ,

а все полученные в квантовой механике формулы и соотношения при данном условии должна переходить в формулы и соотношения классической физики. Таким образом, квантовая физика содержит классическую физику как предел, который формально достигается  при  стремлении постоянной Планка к нулю.

16. Корпускулярно-волновой дуализм.

 Корпускулярно-волновой дуализм состоит в том, что любой микроскопический объект обладает как свойствами частицы, так и свойствами волнового поля.

Объединение корпускулярного и волнового подхода к описанию поведения микрочастиц произведено за счет ввода следующих положений:

-микрочастицы являются  мельчайшими частицами вещества, каждая из которых обладает свойствами микроскопического материального тела;

-поведение микрочастиц имеет вероятностный характер;

-мерой вероятности того, что частица обнаружится в данной точке, является квадрат модуля волн Де Бройля;

-волна Де Бройля связана с волновой функцией , квадрат модуля которой  определяет плотность вероятности пребывания микрочастицы в данной точке пространства;

-вероятность  того, что частица находится в элементе объема , пропорциональна   и элементу объема :

                           .

Так как волновая функция описывает в основном волновые процессы, она является комплексной величиной

Если микрочастица действительно существует, то вероятность ее нахождения в пространстве  равна единице:

                              .

Это выражение называется условием нормировки вероятностей и служит для определения постоянных коэффициентов  у волновой функции.

Волновая функция является основной характеристикой состояния микрочастиц. С ее помощью определяются средние значения физических величин, которые характеризуют данную частицу или объект, описываемый известной волновой функцией. Например, средняя величина некоторого расстояния определится следующим образом:

                      .

17. Фотоны.

 Согласно принципу корпускулярно-волнового дуализма каждая электромагнитная волна излучается и поглощается отдельными порциями, которые называются фотонами. Фотон является мельчайшей порцией  электромагнитного излучения.

Для электромагнитных волн в свободном пространстве закон дисперсии имеет вид

                               .

После умножения равенства на

 

                              ,

так как

                                            

есть импульс частицы. Из данных вычислений следует, что энергия фотона пропорциональна первой степени импульса, а не квадрату, как у других частиц.

Из механики известно, что

                                       .

Вычислим

                                    ,

где   - скорость движения частицы. Значит, скорость фотона равна

                             .

Следовательно, в свободном пространстве фотон всегда движется со скоростью света. Состояния покоя у него нет. Излучение и поглощение  электромагнитных волн означает, что фотоны могут рождаться и исчезать, так что их полное число не сохраняется.

18. Электроны и нейтроны.

 Электроном является элементарная частица, которая имеет отрицательный электрический заряд  Кл и массу покоя кг. Его энергия равна

                              .

Следовательно, частота электронной волны Де Бройля, которую он имеет согласно принципу корпускулярно-волнового дуализма, равна

                         ,

так как

                                               .

Аналогично для нейтрона, который является нейтральной частицей, имеющей массу в 1840 раз больше, чем у электрона, получим

                         .

Поскольку энергия пропорциональна частоте, из полученных соотношений видно, что при одной и той же длине волны энергия электрона в 1840 раз больше, чем у протона.

19. Эффект Комптона.

  Рассеянием называется явление столкновения одних движущихся частиц с другими, в результате которого часть частиц изменяет направление своего движения.

При исследовании рассеяния электромагнитного излучения высокой частоты  (например, рентгеновских лучей) на электронах наблюдается увеличение длины волны падающего излучения. Это явление объясняется тем, что электромагнитное излучение ведет себя как поток некоторых частиц, называемых фотонами, которые, сталкиваясь с электронами, теряеют часть своей энергии. При этом его частота излучения уменьшается, а длина волны растет.

Согласно законам сохранения энергии и импульса  для релятивистских частиц можно записать

                         

                         .

где  и - частота и волновой вектор падающего фотона; и- частота и волновой вектор рассеяного фотона;  - масса электрона и - и импульс его после столкновения с фотоном.

Обозначив величину

                                 ,

получим, что изменение длины волны при рассеянии фотона на электронах равно

                                  ,

где величина -комптоновской длиной волны рассеяния электрона.

 

  

 

20. Принцип неопределенности.

Рассмотрим  некоторую волну, имеющую длину, определенную с точностью до . Эта волна проходит через некоторую область шириной  Пусть она определяет поведение некоторой микрочастицы, т.е. является для нее волной Де Бройля, квадрат ординаты которой является плотностью вероятности нахождения частица в области . Рассмотрим, что будет, если неопределенность расположения волны в пространстве будет меньше, чем ширина области( рис.38.1):

                               .

Положим, что в среднем

                                              ,

Тогда, учитывая формулу Де Бройля для длины волны частицы запишем, что

                                     .

Аналогичные рассуждения можно произвести и для неопределенности  частоты волны  и величины промежутка времени . С учетом формулы Планка () можно получить соотношение вида

                                  .

Эти два соотношения называются соотношениями неопределенностей.

Соотношения неопределенностей обусловлены корпускулярно-волновым дуализмом. Всякая волна отличается тем, что нельзя увеличить ее направленность и сузить спектральный состав без того, чтобы не расширилась область существования волнового процесса и не возросла длительность его существования.

Соотношение неопределенностей показывает, что физические величины могут быть определены только с точностью, им допускаемой. Оно исключает движение микрочастиц по траекториям, так как определить координаты для них можно  только с       точностью, допускаемой этим соотношением.

 

21. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Корпускулярно-волновой дуализм предполагает, что каждой микрочастице приписывается некоторая волна, описываемая волновой функцией   или , квадрат которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

 

                         

Уравнение для стационарной составляющей волновой функции имеет следующий вид

                                 .

Оно называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Видно, что справедливость разложения волной функции на стационарную и зависящую только от времени составляющие выполнимо в том случае, когда от времени не зависит потенциальная энергия силового поля, в котором находится микрочастица. 

В одномерном случае это уравнение записывается следующим образом

                                    .

                                                                                                 

22. Временное уравнение Шредингера.

 Рассмотрим - функцию, соответствующем волновым функциям  в общем виде

                           

и приведем ее к одномерному случаю

                               ,

так как.

Используя формулы

                                  и,

получим

                   .

Временное уравнение Шредингера имеет вид

                       .

          

                       

23. Решение уравнения Шредингера для свободной частицы. 

Свободная частица это такая частица, на которую не действует никакая сила и она не находится ни в каком потенциальном поле. Поэтому она движется равномерно и прямолинейно.

                                 и   .

Пусть частица движется вдоль оси   со скоростью .

Уравнение Шредингера имеет вид:

                              

Так как , то для свободной частицы:

                            .

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка типа

                         ,

решение которого записывается следующим образом

                      .

Так как:

                  и     ,

где    - волновой вектор, то

                    .

Это выражение является уравнением бегущей волны, которая распространяется в двух направлениях от точки .

(рисунок)

24. Решение уравнения Шредингера для частицы в одномерной потенциальной яме.

 Рассмотрим поведение частицы, которая находится в бесконечно глубокой потенциальной яме.

(рисунок)

Если    - это ширина ямы, потенциальная энергия частицы задается следующим образом:

                        при          

                         при          

                        при          .

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

                           .

Для решения уравнения зададим граничные условия в виде

                         ,

так как за пределами ямы частица находится не может, поскольку ее высота равна бесконечности.

Решение этого уравнения имеет вид

             , где   - целое число,  .

Соответственно плотность вероятности нахождения частицы в каком-то месте потенциальной ямы

                  ,   

(рисунок)

Дискретным волновым числам соответствуют дискретные величины энергии частиц.                              

                                      ,         

так как

                    и                            .

Величина энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, изменяется дискретно (скачками)

(рисунок)

25. Квантовый гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает одномерное движение под действием возвращающей силы

                               .

Потенциальная энергия этой системы имеет вид

                              .

Одномерное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

                    .

Решение этого уравнения существует, если

                                             

(рисунок-график)                                    

Уровни энергии  у квантового гармонического осциллятора отстоят друг от друга на равные расстояния, т.е.

                                                 .

Наименьшее возможное значение энергии  равно

                                       .

Это означает, что квантовый гармонический осциллятор ни при каких условия не может иметь энергию равную нулю, что означает: и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.

В квантовом гармоническом осцилляторе энергия изменяется скачками. При этом существует правило отбора, согласно которому энергия может изменяться только так, что уровень ее переходит только на соседний уровень:

                                    ,

т.е. энергия изменяется только порциями, равными

                                   .

 

26.Квантование момента импульса частиц.

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется  определенный оператор и решая уравнение аналогичное уравнению Шредингера получают собственные значение данной величины.

Для векторных физических величин недостаточно одного оператора и одного уравнения. Поэтому вводятся как минимум два оператора: один для определения модуля вектора, а другой его проекции на некоторую ось, например ось . Таким образом, для определения момента импульса задают оператор и уравнение для квадрата его модуля

                                      

и оператор и уравнение для его проекции на ось

                                       .

Решение первого уравнения выходит за рамки настоящего курса.  Оно показывает, что собственные значения оператора квадрата момента импульса  равны

                          , где     .

Величина  называется азимутальным квантовым числом.  Соответственно модуль момента  импульса может иметь только дискретные значения и  равен

                                   .

Уравнение для определения проекции момента импульса на ось   в сферических координатах записывается следующим образом

                     .

Решение этого уравнения

                           .

Данная функция периодическая. Поэтому должно выполняться условие                                      

                                .

Данное условие выполняется, если отношение  является целым числом, т.е.

                                          ,    где  .

               

Величина    называется магнитным квантовым числом. Как видно из рисунка оно меняется от  до , так как проекция вектора не может быть больше его модуля, и имеет .  значений.

Таким образом, состояние микрочастицы в квантовой механике  определяется тремя квантовыми числами:

-главным квантовым числом , которое характеризует ее энергию;

-орбитальным квантовым числом , которое характеризует модуль момента импульса;

-магнитное квантовое число, которое характеризует направление момента импульса.

     

27. Спин. Принцип Паули.   

 Момент импульса микрочастиц связан с их движением как целого материального тела относительно некоторой системы отсчета.  Но частицы могут некоторым образом двигаться относительно самих себя, например вращаться относительно своей оси. Физическая величина, которая характеризует такое движение, называется спином. Эта величина имеет аналогию с моментом импульса микрочастицы, но при этом является существенно квантовой величиной. Спин – это внутреннее свойство квантовой частицы, характеризующее наравне с другими величинами: массой, зарядом  и т.д. При этом у спина нет классического аналога.

Как и момент импульса спин задается модулем  и проекцией  на некоторую ось, например :

                                 ,

где число  является аналогом орбитального квантового числа, а

                                .

В последнем выражении  принимает  значения от  до . Число  принимает целые и полуцелые значения и называется спиновым числом или спином. Например, у электрона, протона и нейтрона спиновое число равно , у фотона равно . Существуют микрочастицы, у которых .

Микрочастицы, у которых целочисленные спины, называются бозонами, а микрочастицы с полуцелыми спинами называются фермионами.

Таким образом, микрочастицы определяются четырьмя квантовыми числами:

главным квантовым числом, которое характеризует энергию микрочастицы;

орбитальным квантовым числом, которое характеризует модуль момента импульса микрочастицы;

магнитным квантовым числом, которое характеризует направление момента импульса микрочастицы;

спиновое число, которое характеризует спин микрочастицы.

Экспериментально установлено, что для фермионов действует принцип Паули:

 В одной и той же квантовой системе не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

Данный принцип объясняет целый ряд физических закономерностей и явлений, например, существование периодической системы элементов Д.И.Менделеева.

Раздел 2.Физика атомов и молекул

ЛЕКЦИЯ   41.  Строение атома водорода

Вопросы:

41.1.Энергия атома водорода.

41.2. Состояния электронов в атоме водорода.

41.3.Спектры излучения и поглощения атома.

41.3. Водородоподобные атомы.

28.Энергия атома водорода.

Рассмотрим простейший атом водорода, в котором единственный электрон движется в кулоновском поле ядра и обладает потенциальной энергией (рисунок):

                              .

Решение данного уравнения существует при дискретных и отрицательных значениях энергии, что соответствует случаю связанного с ядром электрону. Из решения следует, что величина  определяющая. радиус атома водорода (рисунок):

                    .

Эта величина называется первым боровским радиусом атома водорода, который он имеет при значении главного квантового числа, равного единице.   

Энергия атома водорода определяется следующим образом:  

                                    .

Величина

                                  

называется ионизационным потенциалом атома водорода.

Энергетический спектр атома водорода дискретный и имеет несколько уровней .

29.Спектры излучения и поглощения атома.

 Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. Существует правило отбора, согласно которому квантовое число  может изменяться только на единицу

                         .

При облучении атома фотоном он исчезает, передавая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить часть энергии фотона, так как фотон является элементарной частицей, т.е. - неделимым. Поскольку энергетический спектр атома дискретный, атом может поглощать только те фотоны, энергия которых в точности соответствует разности двух его уровней. Так как, поглощающий атом находится в основном состоянии,  спектр поглощения должен состоять из линий, соответствующих переходам

                          ,             где            .

Спектр излучения может быть различным, в зависимости от квантовых чисел начального и конечного состояний. Если при излучении происходит переход  из состояния  в состояние  и при этом испускается фотон, его частоту можно определить следующим образом

                            ,

где величина

                                

называется постоянной Ридберга.

В зависимости от числа  в спектре атома водорода различают  насколько серий

                         при                     -серия Лаймана;

                         при                    -серия Бальмера;

                          при                     -серия Пашена;

                         при                     -серия Брэкета,  и т.д.

Переходы, происходящие при этих сериях, показаны на рис.41.5.

                

Величина                             

называется термом. С его помощью частоты линий спектра излучения могут быть представлены следующим образом

                                    .

         

              

          

30. Принцип Паули и распределение электронов по энергетическим уровням атома.

 В. Паули установил (1925) квантово-механический закон, называемый принципом    Паули    или    принципом   исключения:

в любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного п, орбитального  l, магнитного т и спинового ms.

    Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули можно записать следующим образом:

                                                             

где  Z1  (п,   l,   т,   ms) — число  электронов, находящихся в состоянии, описываемом набором квантовых чисел n, l, т и ms. Пользуясь принципом Паули, можно найти максимальное число электронов в атоме, имеющих заданные значения трех (п, l , т), двух (n, l) и одного (п) квантовых чисел. Найдем максимальное число Z2{n, l, m) электронов, находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел , т. е. отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Так как число ms может принимать лишь два значения, т. е.  и  то, очевидно, имеем

                     .

Слой,

Число электронов в состояниях

Максимальное число электронов

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

31. Периодическая система элементов.:

1) порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного
элемента;

2) состояние электронов в атоме определяется набором их квантовых чисел . Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу  минимума потенциальной энергии: с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон
должен занять возможное  энергетическое  со стояние с наименьшей энергией;

3) заполнение электронами энергетических состояний  в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули

Химические свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, валентных, электронов их атомов. Поэтому периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах различных элементов.

Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с одинаковым значением главного квантового числа п, образуют электронный слой. В зависимости от значений п различают следующие слои: К при  , L при  , М при , N при , О при  и т. д.

Максимальное число электронов, которые могут находиться в слоях: в К-слое — 2 электрона, в слоях L, М, N и О — соответственно 8, 18,   32   и   50 электронов.

В каждом из слоев электроны распределяются по оболочкам, каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа .

В атомной физике принято обозначать электронное состояние в атоме символом , указывающим значения двух квантовых чисел. Электроны, находящиеся в состояниях, характеризуемых одинаковыми квантовыми числами п и , называются эквивалентными. Число z эквивалентных электронов указывается "показателем степени в символе . Если электроны находятся в некоторых состояниях с определенными значениями квантовых чисел п и , то считается заданной электронная конфигурация. Например, основное состояние атома кислорода можно выразить следующей символической формулой :

1s2, 2s2, 2p4.

Она показывает, что два электрона находятся в состояниях с , два электрона имеют квантовые числа  и  и четыре электрона занимают состояния с  и .


Химические свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, валентных, электронов их атомов. Поэтому периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах различных элементов.

32. Статистические распределения Ферми-Дирака и Бозе Эйнштейна.

Каждая микрочастица обладает спином, который является ее внутренним свойством, аналогичным массе, заряду и т.п..  Спиновое квантовое число определяет собственный механический момент импульса:

                          .

Проекция  этого собственного момента импульса на ось  соответственно равна

                           .

Величина  может быть целой или полу целой величиной, что зависит от - функции, описывающей поведение этой частицы.  Но основное отличие частиц, имеющих полу целый спин,  от частиц, имеющих целый спин,  состоит в том, что первые не подчиняются принципу Паули, а вторые ему подчиняются. Соответственно, первые называются бозонами, а вторые – фермионами.

                                  

Рассмотрим заполнение ячеек 6-мерного пространства фермионами:

             

Вертикальные клетки – характеризуют различные величины энергии частиц, а горизонтальные – их момент импульса. При температуре всего газа равной абсолютному нулю распределение будет таким, как показано на рисунке. Все частицы не смогут расположиться на нижнем уровне, иначе нарушится принцип Паули. Далее энергетические уровни заполняются последовательно, так как частицы  как и тела стремятся занять уровень с минимальное энергией. При этом большая часть частиц  будет иметь некоторую энергию даже при . И эта энергия будет достаточно велика. Максимальную энергию частиц при  обозначим . Она называется химическим потенциалом для бозонов и фермионов.

Плотность вероятности заполнения ячеек с энергией ниже  равна единице  , а при                                         .      

Если температура Ферми – газа повысится, то электроны, занимающие верхние уровни приобретут дополнительную энергию.

(рисунок)

Распределение Ферми-Дирака имеет вид

                              

                              .

. Соответственно число заполненных фермионами ячеек равно

                 ,

где     - общее число ячеек.                             

 Микрочастицы -бозоны  отличаются от фермионов тем, что, имея кратный целому числу  спин, они не подчиняются принципу Паули и могут находится в одной ячейке фазового пространства в неограниченном количестве.

 

В распределении , Бозе-Эйнштейна отсчет энергии для микрочастицы ведется не от нуля , а  от величины химического потенциала  . Функция распределения имеет вид

                                 .

Так как частицы двигаются в выбранном пространстве, отражаясь от его стенок, движение можно рассматривать как стоячие волны. Число таких волн определяется объемом, фазовой скоростью и частотой волн:

                             

                   

где - частота;- фазовая скорость,  стоячих волн в некоторой полости объемом .

                                       .

                      

                                    

33.Формула Планка.

 Формула Планка определяет универсальную функцию частоты и температуры, которая равна испускательной способности абсолютно черного тела.

Расчеты, связанные с определением квантовых частиц делаются путем перемножения числа ячеек, которые могут заполнить частицы,  и вероятности того, что ячейка будет заполнена, т.е. плотности распределения. Если необходимо определить физическую величину, например энергию, то произведение нужно умножить на среднюю величину этой физической величины.  Для энергии электромагнитного излучения получим:

                   .

После преобразований получим формулу Планка

                    

С учетом полученного выражения энергетическая светимость абсолютно черного тела

                     .

Согласно формуле Планка график зависимости энергетической светимости от частоты излучения имеет вид:

(рисунок)

(При сдаче экзамена ответ на этот вопрос можно посмотреть по своим лекциям)

34. Закон Стефана-Больцмана.

 Вычислим полную энергию излучения, для чего проинтегрируем формулу Планка для энергетической светимости по частоте

           .

Введем безразмерную переменную

                                ,   

Тогда выражение примет вид

                        .

Интеграл в этом выражении равен

                           .

Тогда энергетическая светимость абсолютно черного тела равна                             

                        .

Величина

                                   

называется постоянной Стефана-Больцмана. С учетом этой постоянной выражение  для   примет вид

                                          .

Оно называется законом Стефана-Больцмана.

Если  излучает не абсолютно черное тело, то применяется формула, включающая коэффициент серости

                                        .

(При сдаче экзамена ответ на этот вопрос можно посмотреть по своим лекциям)

                  

     

35. Фононы и теплоемкость твердых тел.

 Рассмотрим твердое тело, молекулы которого находятся в узлах кристаллической решетки и совершают малые колебания около этих узлов.

Совокупность этих колебаний можно представить как некоторую стоячую волну в кристалле.  Этих волн в кристалле может быть два вида: продольные и поперечные. При этом поперечных волн может быть две, а продольная – одна. Положим, что скорость продольных волн приблизительно равна скорости поперечных. Перемножив число стоячих волн на распределение Бозе-Эйнштейна и энергию квантового осцилятора, получим, что плотность энергии колебаний, т.е. полная внутренняя энергия единицы объема кристалла равна                       

                                 

                         ,

где      

                                   

для однородных кристаллов.

Величина          называется температурой Дебая.

Полученная формула для внутренней энергии твердого тела, позволяет вычислить  его теплоемкость            

           

или применительно к одному молю вещества

              

Анализ этой формулы показывает, что при высоких температурах, когда

                                        

теплоемкость твердого тела равна

              .

При низких температурах теплоемкость  пропорциональна .  

(При сдаче экзамена ответ на этот вопрос можно посмотреть по своим лекциям)

                  

                                       

                                       

36. Энергетические зоны в кристаллах.

 Отдельный атом имеет линейчатый спектр излучения или поглощения, т.е. дискретную структуру энергетических уровней. Такая структура определяется из уравнения Шредингера для валентного (внешнего) электрона.  Если объединяются два атома, валентные электроны каждого из них попадают  электрическое поле соседа, вследствие чего их энергетическая структура получит дополнительные уровни.  Энергетические уровня «расщепляются».             

В кристалле каждый атом находится в окружении множества соседних атомов и его энергетические уровни расщепляются на множество уровней, таким образом, что  образуется практически сплошная энергетическая зона. Энергетические зоны электронов, находящихся  у своих атомов, называется валентной зоной.

Если внешний электрон, вследствие каких либо причин, оторвался от  своего атома, то он все равно испытывает воздействие как своего, так и других атомов и его энергетическая структура состоит из множества уровней, объединенных в зону. Энергия электронов этой зоны больше, чем энергия электронов  валентной зоны, так как они могут оторваться от своих атомов, только имея большую энергию. Энергетическая зона электронов, оторвавшихся от своих атомов, называется свободной зоной или зоной проводимости.

Если валентная зона и зона проводимости не соприкасаются, то расстояние между ними  называется запрещенной зоной. Электрон может находиться у своего атома, т.е. в валентной зоне, он может оторваться от своего атома и находиться в зоне проводимости. Значит ширина запрещенной зоны – это энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он оторвался от своего атома и стал свободным в кристалле.

Если  в зонной структуре кристалла   существует запрещенная зона,  то этот график должен принять следующий вид:

(рисунок- график – парабола с разрывом).

Понятие энергетических зон в кристаллах позволяет разделить все вещества на три типа. Первый – это вещества, в зонной структуре которых отсутствует запрещенная зона. Энергия отрыва электрона от своего атома равна нулю. Это явление имеет место у металлов - проводников, которые хорошо проводят электрический ток, так как их кристаллы состоят из положительных ионов, погруженных в электронный «газ».

(рисунок)

У диэлектриков подавляющая часть электронов находится у своих атомов и для того, чтобы оторвать их необходимо затратить значительную энергию. Их энергетическая структура имеет ярко выраженную запрещенную зону.

(рисунок)

Если ширина запрещенной зоны невелика и имеет величину порядка энергии тепловых колебаний,  т.е.

                                  ,

то вещество называется полупроводником. У полупроводников электроны могут покидать свои атомы под действием тепловых колебаний.

37. Электропроводность металлов.

 

Вычислим, используя понятие эффективной массы электрона закономерности электропроводности в кристаллах. Электрон ускоряется в кристалле под действием внешнего электрического поля . Его движению противодействует сопротивление решетки, сила которого пропорциональна скорости электрона

                             .

Уравнение движения имеет вид

                      .

Для вычисления коэффициента разгоним электрон до средней скорости перемещения по кристаллу, которая называется дрейфовой скоростью, и выключим внешнее электрическое поле. Тогда

                            .

Откуда

                                 .

                                 

                                    .

Из этого уравнения следует. Что скорость электрона начнет снижаться по закону

                                             .

Обозначим

                                     .

Тогда

                                      .

Уравнение движения электрона в кристалле принимает вид

                        

или                        

                           

                              

                               .

Решение этого уравнения имеет вид

                         .

(рисунок – график)

Соответственно дрейфовая устоявшаяся скорость электрона в кристалле равна

                               .

Так как плотность тока выражается следующей формулой

                 ,

получим уравнение закона Ома в дифференциальной форме

                  .

Соответственно  удельная электропроводность равна  

                       ,

так как

                        .

                        

38. Строение ядра.

 Ядро – центральная часть атома, в котором сосредоточена почти вся его масса. Оно имеет положительный заряд.

Ядро состоит из протонов, которые имеют положительный заряд и нейтронов, которые нейтральны и имеют массу, равную массе протонов.

Протон и нейтрон вместе называются нуклонами. Число протонов в атоме обозначается , а число нейтронов - . Величина

                            

называется массовым числом.

Атомы, у которых одинаковое число протонов, но разное массовое число называются изотопами. Если массовые числа атолмов одинаковые, а разные числа протонов, то они называются изобарами.

На сегодня максимальное число . Природных изотопов около 300 и около 2000 искусственных, которые неустойчивы.

Нуклоны являются фермионами. Ядро в целом также имеет спин:

                             ,

где  - спиновое число, равное 0, ½, 1, 3/2 и т.д. Если массовое число четное, то ядро – бозон, а если нечетное – фермион.

Ядерные частицы имеют собственные магнитный момент, измеряемый

                           .

39. Энергия связи ядра.

Нуклоны в ядре удерживаются ядерным сильным взаимодействием, которое сильнее кулоновского отталкивания.

Энергия связи нуклонов равна работе по извлечению нуклона из ядра. Энергия связи ядра это энергия разделения его на нуклоны.

Масса ядра меньше, чем сумма масс нуклонов, из которых состоит ядро на величину дефекта массы

                                     .

Дефект массы равен

                        .

Обратно дефект массы служит мерой энергии связи ядра:

                   .

Удельной энергией связи называется величина

                         МэВ/нуклон.

Еслт ядро имеет наименьшую энергию

                                        ,

то оно устойчивое. При

                                      ,

ядро находится в возбужденном состоянии.

Ядерные силы действуют на весьма малых расстояниях   и не зависят от заряда частиц. Малые радиусы действия ядерных сил проявляются в том, что взаимодействуют лишь ближайшие нуклоны. Эти силы зависят от ориентации спинов нуклонов и не являются центральными силами.

40. Радиоактивность.

Радиоактивность – это процесс превращения неустойчивых изотопов  изотопы другого элемента, сопровождающийся испусканием некоторых элементарных частиц.

Радиоактивность бывает естественная и искусственная и сопровождается испусканием жесткого электромагнитного  -излучения.

Радиоактивность подчиняется закону экспоненциального убывания

                            ,

где - начальное число ядер,   - постоянная распада. Обычно процесс распада ядер атомов характеризуют периодом полураспада, в течение которого начальное число атомов уменьшается вдвое:

                                 .

Существуют следующие виды радиоактивности

Тип

Характер процесса

-распад

Вылет -частицы

-распад

-распад

Взаимное превращение протона и нейтрона

Электронный захват

Излучение электронного нейтрино или антинейтрино

Спонтанное деление

Деление ядра на два осколка

При радиоактивности наблюдается закон сохранения электрических зарядов

                         

и правило сохранения массивных чисел

                                .

41. Ядерные реакции

 Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные взаимодействием их друг с другом или с элементарными частицами.                                         

                                  .

Энергия ядерной реакции равна разности между энергией системы взаимодействующих элементов до и после реакции. Реакции бывают эндо и экзотермическими. Эндотермические реакции начинаются с некоторого энергетического порога.

В ядерных реакциях выполняются законы сохранения импульса, энергии, электрического заряда и массовых чисел.

Примерами ядерных реакций являются следующие:

        

         .

         .

Тяжелые ядра при захвате нейтрона могут разделиться на два осколка деления. При этом выделяется огромная энергия около 1,1 МэВ на один нуклон. При делении ядра  выделяется  200 МэВ. При делении ядер в 1 г  выделяется Дж=22МВт.

При делении тяжелых ядер осколки обладают избытком нейтронов деления, которые делятся на мгновенные (вторичные) нейтроны и запаздывающие нейтроны. Мгновенные нейтроны, взаимодействуя с ядрами приводят к цепной реакции деления.  Цепные реакции осуществляются в ядерных реакторах.  На их основе работают атомные электростанции.

Другими реакциями с выделением энергии являются ядерные реакции синтеза:

            4,04МэВ/нуклон.

Эта реакция реализовано в водородной бомбе. Ведутся исследования и разработки для создания на основе реакций синтеза реакторов для производства энергии.

                      

    

 




1. по теме- Методика самостоятельных занятий физическими упражнениями
2. Теория и методика физического воспитания как наука и учебная дисциплина
3. Стендаль при житті не користався ні визнанням у критики ні успіхом у широкого читача
4. 5 61752 001 ЕЛЕКТРОГАЛЬВАНІЧНА ХАРАКТЕРИСТИКА ТКАНИН
5. Уголовно-правовой анализ незаконного приобретения, передачи, сбыта, хранения, перевозки или ношения оружия, его основных частей, боеприпасов, взрывчатых веществ и взрывных устройств
6. х лет составляет- 150160 ударов в минуту
7. плана Планирование бизнеса это определение целей и путей их достижения посредством какихлибо намечен
8. был завершен процесс окончательного закрепощения крестьян
9. понять социальную структуру путем анализа социальных процессов управляющих отношениями между индивидами
10. Тема 1 Хозяйственный строй Беларуси и Восточнославянского региона в период первобытного общества и Средневе
11. Курсовая работа- Патріотичне виховання підлітків та юнаків
12. Расчет параметров и режимов работы транзисторных каскадов усилителя низкой частоты
13. Новый год Он приходит снежною дорогой Закружив снежинок хоровод
14. Острая сердечная недостаточность
15. Курсовая работа- Влияние объектов культурного наследия на туризм в Тверской области
16. Реферат- Арабский халифат
17. Цент РуСлан С
18. Ректору Уральского государственного лесотехнического университета тов
19. водяной котел трубопроводы и станция управления
20. адиурез бтемпературу тела впроходимость дыхательных путей гартериальное давление дтемпер.html