Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Экспериментальная и теоретическая физика ИЗУЧЕНИЕ Механических КОЛЕБАНИй Методически

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Приборостроительный факультет

Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика»

ИЗУЧЕНИЕ  Механических  КОЛЕБАНИй

Методические указания к лабораторной работе № 6

по дисциплине «Общая физика»

раздел «Механика. Молекулярная физика»

Минск   2012 г.

Указание по мерам безопасности

при выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

  •  усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;
  •  ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;
  •  проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;
  •  проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;
  •  в случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;
  •  получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

  •  не оставлять без присмотра включенные приборы;
  •  не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;
  •  при работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

Лабораторная   работа   №6

ИЗУЧЕНИЕ  мехаНИческих  КОЛЕБАНИЙ

Цели работы:

изучение законов гармонических колебаний;

изучение математического и физического маятников

Задачи работы:

определение момента инерции физического маятника;

определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника.

Гармонические колебания

Колебания – движения или состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Простейшей механической системой, которая может совершать колебания, является грузик, колеблющийся на пружинке. Дифференциальное уравнение, описывающее закон колебаний грузика, встречается во многих разделах физики, техники и других наук. Такое уравнение описывает колебания заряда в электрической цепи, колебание камертона, порождающего звуковые волны, колебания электронов в атоме, порождающие световые волны, колебания крыла летящего самолета, многие задачи регулирования, такие, например, как стабилизация температуры в термостате и др.

Рассмотрим колебания тела массой  (кг), которое прикреплено к пружинке с жесткостью k (Н/м) и может совершать колебания без трения вдоль горизонтального стержня. Начало координатной оси выберем в точке центра масс грузика, находящегося в положении равновесия. Согласно закону Гука, при отклонении грузика от положения равновесия возникает противодействующая растяжению пружины сила F = - k x.   Из  второго закона Ньютона следует, что ускорение грузика, умноженное на его массу, равно действующей силе:

.     (1)

Приведем это уравнение к виду:

.     (2)

Введем обозначение

.      (3)

Величина  имеет размерность (секунда)-1 и называется циклической частотой. Ее физический смысл – число колебаний за время, равное  секундам. Подставим выражение (3) в (2):

.      (4)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка (порядок уравнения определяется наибольшим порядком производной). Решением дифференциального уравнения является функция от аргумента, в данном случае – функция времени x(t). Такая функция, будучи подставленной в уравнение (4), превратит его в тождество. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4) является следующая функция:

x(t) = A cos(ω0t + 0).      (5)

Из выражения (5) видно, что колебания грузика будут происходить по гармоническому закону ( x(t) изменяется по закону синуса или косинуса). Система, совершающая такие колебания, называется гармоническим осциллятором.

Рассмотрим физический смысл полученного решения (5). Максимальное значение абсолютной величины отклонения равно A. Эта постоянная называется амплитудой колебаний. Поскольку косинус является периодической функцией с периодом, равным , можно определить интервал времени, через который значения физических величин, описывающих процесс колебаний (смещение, скорость, ускорение), повторяются:

= (ωt2 + 0) - (ωt1 + 0).     (6)

Из уравнения (6) легко получить:

.     (7)

Подставив выражение (3) в  (7), получим:

.      (8)

Эта величина называется периодом колебаний – время, в течение которого совершается одно полное колебание.

Колебательное движение характеризуется также и частотой колебаний — числом колебаний, совершаемых в единицу времени . В системе СИ частота измеряется в герцах (Гц). Частоте в один герц соответствует одно колебание, совершаемое за одну секунду. Подставляя значение Т из формулы (8), получим:

.      (9)

Из выражений (7) и (9) следует связь между частотой и циклической частотой:

.      (10)

В выражении (4) аргумент косинуса (синуса) = ωt + 0 называется фазой колебаний, а величина 0=(0) - начальной фазой колебаний. Фаза определяет относительное отклонение от положения равновесия (отношение отклонения в данный момент к амплитуде).

Выражение (5) в общем виде удовлетворяет дифференциальному уравнению (4) при любых значениях 0 и A. Для определенного типа колебаний значения этих величин необходимо выбирать, исходя из начальных условий. Пусть мы отклонили грузик от положения равновесия на величину  и отпустили его. Это значит, что в начальный момент отклонение (0) и скорость (0) равны соответственно:

    .     (11)

Вычислим теперь А и 0. Поскольку нам понадобится скорость, то для ее нахождения возьмем производную по времени от выражения (5):

.      (12)

Подставим значения  и  в выражения (5) и (12) соответственно:

    (13)

   (14)

Решениями уравнений (13) и (14) относительно A и  будут:

      (15)

Таким образом, в нашем случае движение гармонического осциллятора будет происходить по следующему закону:

    (16)

Физический маятник

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести С (рис.1).

Движение такого маятника будет описываться дифференциальным уравнением,  которое следует из основного закона динамики вращательного движения  

      (17)

где J - момент инерции маятника относительно оси вращения;  - угловая скорость; М - момент силы тяжести относительно оси вращения. Размерность J равна кгм2.

Рис. 1

Момент силы тяжести равен силе тяжести, умноженной на плечо этой силы. Плечо равно расстоянию от оси вращения до линии действия силы.
Из рис.1 следует равенство:

      (18)

где m - масса маятника; g - ускорение свободного падения тел; α - угол отклонения маятника от вертикали; l  - расстояние, от оси вращения до центра тяжести.

Знак минус в формуле (18) показывает, что момент силы тяжести всегда стремится вернуть маятник в положение равновесия (или уменьшить модуль угла α).

По определению угловой скорости, . Учитывая это и подставляя величину момента (18), в выражение (17), получим:

.      (19)

Рассмотрим рассмотреть малые колебания маятника, когда максимальный угол отклонения его от положения равновесия значительно меньше одного радиана. Тогда можно положить с хорошей точностью:

     (20)

Выражение (20) выполняется с точностью не хуже 1% при углах , не превышающих 100. Введем обозначение:

      (21)

где  - снова циклическая частота. Тогда формула (19) с учетом (20) и (21) примет вид:

.      (22)

Дифференциальное уравнение (22) является аналогичным уравнению (4) и поэтому решением его будет функция вида (5):

    (23)

Выразив из (21) 0 и подставив его в (7), получим выражение для периода колебаний физического маятника:

.       (24)

Математический  маятник

Математическим маятником называется  материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити. Расстояние от точки подвеса до центра масс будет равно длине нити l. Следовательно, момент инерции материальной точки относительно точки подвеса равен

      (25)

Теперь период колебаний математического маятника легко вычислить по формуле (24) с учетом (25):

     (26)

Как видно из (26), период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения тел и не зависит от массы груза.

Приведенная  длина  физического  маятника

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом колебаний. Из формулы (24) видно, что период  колебаний физического маятника зависит от трех параметров: массы, момента инерции и расстояния от оси до центра тяжести, а для математического маятника согласно (26), период зависит только от его длины. Поэтому приведенная длина физического маятника является характеристикой, удобной для практики.

Приравняв формулы (24) и (26), легко получить выражение для вычисления приведенной длины физического маятника:

      (27)

Формулу (27) можно представить в более наглядном виде, если с помощью теоремы Штейнера выразить момент инерции маятника в следующем виде:

,      (28)

где JС - момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Подставив (28) в (27), получим:

      (29)

Как видно из (29), . Точка K, находящаяся на расстоянии  от оси вращения на прямой, проходящей через эту ось и центр масс, называется центром качания физического маятника. Эта точка обладает одним важным свойством: при переносе точки подвеса в точку К (рис.1) точка 0 становится центром качания, а период колебаний маятника не изменяется.

Докажем это утверждение.

При переносе точки подвеса в точку K расстояние от точки K до центра тяжести будет равно

      (30)

а новая приведенная длина физического маятника, согласно (29) составит:

      (31)

Из (29) следует, что  

     (32)

Тогда, согласно (30),

Подставив это значение li  в (31), получим:

    (33)

Из формул (29) и (33) видно, что , т.е. при переносе центра качания в точку подвеса приведенная длина физического маятника не изменяется, поэтому не изменяется и его период колебаний.

Оборотный  маятник

Оборотным называют физический маятник, имеющий две оси вращения, вторая из которых находится в точке качания. В этом случае, как было отмечено выше, расстояние между осями равно приведенной длине физического маятника, а периоды колебаний относительно обеих осей совпадают.

Простейший оборотный маятник представляет собой длинный однородный стержень, на котором закрепляются две оси и два груза (рис.2).

Обычно грузы подбирают таким образом, чтобы их массы и моменты инерции отличались как можно меньше. Перемещая грузы и оси относительно стержня, добиваются, чтобы  выполнялось равенство:

,       (34)

где  и  -  периоды колебаний относительно осей 1 и 2 соответственно.

Рис. 2

Из (24) следуют формулы для   T1  и  T2 :

      (35)

,     (36)

где J1, J2 - моменты инерции маятника относительно соответствующих осей;
l1C , l2C - расстояния от центра масс маятника до этих осей. По теореме Штейнера

,       (37)

     (38)

где JC - момент инерции маятника относительно его центра масс; m - масса  маятника. Подставим выражение (37) в (35), а (38) в (36), а затем возведем полученные равенства в квадрат и выразим из них Jc:

.      (39)

.     (40)

Приравняв правые части последних равенств, и учитывая (34), получим:

.    (41)

В случае  (несимметричное расположение грузов и осей относительно центра масс маятника)  из (41) следует:

,      (42)

где l0 - расстояние между осями  

.      (43)

Таким образом, по измеренным значениям l0 и  T  можно определить величину ускорения свободного падения g .

Если же l = l (симметричное расположение, как осей, так и грузов  относительно центра масс маятника), то уравнения (37 и 38) идентичны, а уравнение (41) превращается в тождество  вида  0 = 0. В этом случае определить  g не удается.

Однако на опыте добиться точного совпадения периодов колебаний относительно обеих осей весьма сложно. Этому способствует и то обстоятельство, что грузы и оси фиксируются на стержне, как правило, только в определенных  положениях. Поэтому анализ оборотного маятника обычно производится в предположении, что  периоды  T1  и  T2  немного отличаются. В таком случае из (39) и (40)  вместо (41) мы получим следующее равенство:

,   (44)

откуда  в случае  имеем:

,     (45)

или

     (46)

где

    (47)

Методика измерений

1.   Определение момента инерции физического маятника

Как видно из формулы (24), период колебаний физического маятника зависит от его момента инерции относительно ocи, проходящей через точку подвеса  J, массы маятника m и расстояния от точки подвеса до центра масс l.

Величину l легко определить, если положить маятник на призму, как показано на рис.3, так, что он будет находиться в равновесии, а затем измерить расстояние от точки его опоры на призму до точки подвеса маятника.

Рис.3

Затем, поместив маятник в установку, раскачать его до небольшой амплитуды (5-10°) и измерить период колебаний. После этого момент инерции J  легко вычислить по формуле, полученной из (24):

      (48)

2.   Определение ускорения свободного падения с помощью  оборотного  маятника

Из формул (45, 46) следует, что ускорение свободного падения может быть определено по измеренным     Необходимо подобрать положение осей и грузов таким образом, чтобы периоды T1 и T2 отличались не более, чем на 1%. Чтобы найти погрешность Δg , необходимо знать величину погрешности ΔT0, которую вычислим следующим образом. Возьмем дифференциал от обеих частей уравнения (47). Для упрощения будем считать l1C и l2C постоянными величинами. Затем заменим дифференциалы соответствующих величин на их абсолютные погрешности. В результате получим:

.   (49)

Учитывая, что  T1, T2 и T0  отличаются незначительно, имеем:

   (50)

Полученное значение  подставляется в формулу для расчета погрешностей. Из (50) следует, что l1C и  l2C  не должны принимать близкие значения, иначе  резко возрастает. Значения этих величин должны отличаться хотя бы на 25 %. Однако недопустима и слишком большая разница между l1C и l2C, иначе сильно возрастает период колебаний и силы трения вносят очень большие систематические погрешности. Поэтому, если обозначим отношение большей из двух этих величин (l1C, l2C) к меньшей как z, то должно выполняться неравенство:

1,25 < z < 3,0  (51)

Выражение (47) для Т0 довольно громоздко. Расчеты показывают, что значения, полученные из этой формулы и из упрощенной формулы:

;     (52)

отличаются незначительно и должны приниматься во внимание только при очень точных измерениях. Поэтому для определения Т0 будем использовать формулу (52).

Порядок выполнения работы

Задание I. Определить момент инерции физического маятника

Для этого 5 раз измеряется период колебаний физического маятника при фиксированном положении оси и груза. Далее определяются среднее значение периода колебаний Тс, расстояние от центра масс до точки подвеса l, а также абсолютные погрешности этих величин (ΔT, Δl). Для расчета J  применить формулу (48), из которой затем определить погрешность измерений  ΔJ .

Переместить груз в другое положение. Положение оси не изменять. Повторить все операции, указанные в предыдущем абзаце. Выбирать положения груза на стержне примерно в равноудаленных друг от друга точках на всей длине стержня.

Задание 2. Определить ускорение свободного падения с помощью оборотного маятника

Передвигая грузы и оси на стержне оборотного маятника, добиться как можно лучшего совпадения периодов колебаний маятника  Т1 и Т2 относительно обеих осей. Средние значения этих периодов, определенные по числу измерений не менее трех, не должны отличаться более, чем на  1%. В этом случае при несимметричном расположении грузов и осей относительно центра стержня расстояние между осями с высокой степенью точности совпадает с приведенной длиной:  l0.= lпр.  Затем для определения  g  выполнить  следующее:

определить положение центра масс маятника с помощью призмы;

измерить расстояние между опорными ребрами призм оборотного маятника (l0), равное приведенной длине;

измерить расстояния от центра масс маятника до опорного ребра каждой из призм ( l1C и l2C ) и проверить выполнение неравенства  (51);

определить величину T0, входящую в формулу (46), по формуле (52);

по формуле (46) вычислить среднее значение ускорения свободного падения;

определить погрешности ΔT1, ΔT2 и  по формуле (50) определить  значение ΔT0;

из формулы (46) получить выражение для относительной погрешности g = Δg/g и определить ее значение;

определить абсолютную погрешность Δg.

Таблица 1

Т, с

Тс, с

ΔT, с

l, м

Δl, м

J, кгм2

I, %

ΔJ, кг·м2

(5 значений)

Таблица 2

Т1, с

(3 значения)

Т2, с

(3 значения)

Т1, с

(среднее)

Т2, с

(среднее)

Т0, с 

l1С, м 

l2С, м 

l0, м

g, м/с2

ΔT1, с

ΔT2, с

ΔT0, с

g, %

Δg, м/с2

Контрольные вопросы

  1.  Что такое колебания?
  2.  Какие колебания называются гармоническими?
  3.  Уравнение гармонических колебаний и его решение?
  4.  Что такое амплитуда, период, частота, фаза, начальная фаза?
  5.  Дать определение физического и математического маятника.
  6.  Вывести формулу для периода колебаний физического маятника.
  7.  Что такое приведенная длина физического маятника? Что такое центр качания?
  8.  Вывести формулу для приведенной длины физического маятника.
  9.  Дать определение оборотного маятника.
  10.  Что такое приведенная длина оборотного маятника.

Литература

  1.  Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов /
    Т.И. Трофимова - М.: Высш. шк., 2007. - С. 253-258.
  2.  Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие: в 3-х т. / И.В. Савельев - Механика. Молекулярная физика. - Т.1. -  М.: Наука, 1987. – С. 181 – 198.
  3.  Петровский И.И. Механика / И.И. Петровский. - Мн.: Изд-во Белорус. ун-та, 1973.– 352 с.
  4.  Сивухин Д.В. Механика: Учеб. пособие для вузов / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. – 576 с. – Общий курс физики. - Т.1.

PAGE  11




1. Люби твоего Бога Иегову всем сердцем всей душой и всем разумом Все согрешили и лишены славы Бог
2. Введение1
3. вариант демо При выполнении заданий А1 ~ А7 в строке ответов отметьте номер который соответствует номеру в
4. 2012 гг. Школьный этап 78 классы REDING Red the text nd nsw
5. Персональные компьютеры
6. СЕВАСТОПОЛЬ м
7. МОДУЛЬ 1 ОСНОВЫ ИНКЛЮЗИВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Практическое занятие 1
8. Лабораторная работа 4 Применение электронных таблиц Microsoft Excel в вычислениях Цель работы- обучиться т
9. тюменский государственный нефтегазовый университет ИНСТИТУТ геологии И нефтегазодобычи
10. либо признака или свойства предмета явления с целью его более детального изучения
11. валовые доходы и расходы предприятия за каждый из следующих лет расчеты с его учредителями акционерами д
12. Тема Тонкослойная хроматография Тонкослойная хроматография ТСХ ~ распространенный метод хроматограф
13. Мир познает рождение мир познает смерть
14. ДНК-идентификация
15. ЛР Работу выполнил студент гр
16. отчет по лабораторной работе 27 Изучение зависимостей полезной мощности и К
17. .1. Изображение передаточной характеристики инвертирующего усилителя
18. Курганинск Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школ
19. Психолого-педагогические особенности тестовой формы контроля и методы составления тестовых заданий; их практическое применение при обучении студентов зубоврачебного отделения
20. Кора больших полушарий