Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

тематическое ожидание и второго дисперсия порядка

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


3.1. Основы портфельного анализа в условиях неопределенности. Модель Марковитца

Модель портфельного анализа Марковитца основана на следующих предположениях:

  •  Рынок состоит из конечного числа абсолютно ликвидных активов, которые подразумеваются бесконечно делимыми. Доходности рисковых активов являются нормально распределенными случайными величинами, имеющими конечные моменты первого (математическое ожидание) и второго (дисперсия) порядка.
  •  Индивидуальные предпочтения инвестора задаются функцией полезности от двух аргументов: ожидаемой доходности, измеряемой математическим ожиданием, и риска, оцениваемого дисперсией. Соответственно сравнение портфелей осуществляется на основе только двух критериев.
  •  Инвестор не склонен к риску, т.е. из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью он предпочтет портфель с меньшим риском. В то же время из двух портфелей с одинаковым риском инвестор выберет портфель с большей ожидаемой доходностью.
  •  Налоги и трансакционные издержки равны нулю.

Вероятностная модель финансового рынка

Введем следующие обозначения. Пусть  – множество активов (акций, облигаций, валютных единиц, комбинаций активов), обращающихся на финансовом рынке;  – рыночная стоимость актива  в дискретные моменты времени ;  – величина чистого денежного потока, связанного с активом , в промежутке между  и : дивиденды, купонные выплаты и т.д. Тогда доходность актива  за период времени  определяется по формуле:

.

Рассмотрим вероятностное пространство , где  – множество элементарных исходов на финансовом рынке,  – множество событий,  – вероятности на множестве событий. Актив , представленный на финансовом рынке, будет описываться случайной величиной  как функцией от , где  характеризует доходность актива для одного временного периода.

Математическое ожидание случайной величины  для конечного вероятностного пространства определяется по формуле:

,

где  – вероятность элементарного исхода, или по формуле

в общем случае.

Дисперсия случайной величины :

,

ковариация между  и :

.

Если , то .

На практике вместо  и  часто используют их выборочные оценки, построенные на основе прошлых значений доходностей :

В однопериодной () модели Марковитца инвестор в момент времени  формирует портфель :

,                              (3.1.1)

где  показывает, какая доля капитала инвестора размещена в актив . Множество , представляющее собой всю совокупность портфелей, которые могут быть сформированы из  активов, называют достижимым множеством.

Любой портфель  характеризуется, согласно подходу Марковитца, двумя показателями – математическим ожиданием  и дисперсией .

Математическое ожидание

 

показывает ожидаемую доходность портфеля . Формируя портфель активов, инвестор стремится к увеличению ожидаемой доходности.

Дисперсия портфеля

                              (3.1.2)

(или его стандартное отклонение ) характеризует уровень риска, связанного с портфелем . Инвестор, формируя портфель  стремится к уменьшению его дисперсии.

Таким образом, можно по-разному формулировать оптимизационную задачу выбора  из класса допустимых портфелей  в зависимости от критерия оптимальности. Например, найти , являющийся решением задачи:

1.  ,

    ,

где  – некоторая константа, задающая значение ожидаемой доходности портфеля.

2. ,

где – функция полезности инвестора с частными производными

.

3.

     

задача с дополнительными линейными ограничениями на множество искомых портфелей.

Портфель , являющийся решением задачи оптимизации, которая отражает индивидуальные предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности и риска и ограничения рынка, на котором он действует, называется эффективным портфелем.

Множество  портфелей, каждый из которых обеспечивает:

  •  максимальную ожидаемую доходность среди портфелей достижимого множества с одинаковым уровнем риска;
  •  минимальный риск среди портфелей достижимого множества с одинаковым значением ожидаемой доходности, не меньшей, чем доходность портфеля с минимальным риском, т.е.

 

или ,

где , называется эффективным множеством.

На рис. 3.1.1 отображено множество точек (,), где , которое иллюстрирует местоположение достижимого множества в системе координат (,). Часть достижимого множества, расположенного на его границе между точками  и  представляет эффективное множество .

Рис. 3.1.1. Достижимое и эффективное множества

.

Анализ портфелей  с использованием показателей среднего  и дисперсии  называют средне – дисперсионным анализом. Целью его является определение множества  эффективных портфелей, обеспечивающих максимум ожидаемой доходности при минимуме риска.

Для поиска эффективного портфеля могут использоваться разные алгоритмы в соответствии с критериями оптимальности инвестора относительно ожидаемой доходности или риска. В то же время состав эффективного множества при одних и тех же ограничениях на портфели будет одинаковым независимо от методики его нахождения. Будем рассматривать эффективное множество как бесконечное множество эффективных портфелей, каждый из которых удовлетворяет критерию оптимальности какого-либо инвестора.

Эффективный портфель при фиксированном значении ожидаемой доходности

В данном случае инвестор выбирает портфель с фиксированным значением ожидаемой доходности и минимальным для этого уровня доходности  риском. Совокупность эффективных портфелей для всех допустимых в эффективном множестве значений ожидаемой доходности составит искомое эффективное множество.

Рассмотрим финансовый рынок с  рисковыми активами. Обозначим через  вектор  ожидаемых доходностей, через  – матрицу  ковариаций доходностей. Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Отметим, что матрица ковариаций будет вырождена, если верно хотя бы одно из следующих утверждений:

  1.  Достижимое множество содержит безрисковый портфель.
  2.  Один актив является комбинацией других активов.
  3.  Рынок является арбитражным, т.е. существует самофинансируемый портфель с положительной ожидаемой доходностью и нулевым риском:

.

Обозначим через  вектор  весов для активов из сформированного портфеля : . Ожидаемая доходность портфеля равна: , а дисперсия . Задача нахождения портфеля, минимизирующего риск при заданном значении  ожидаемой доходности портфеля, сводится к следующей задаче оптимизации:

                                             (3.1.3)

где  – вектор , состоящий из единиц.

Решение задачи (3.1.3) на условный экстремум будем искать с помощью метода множителей Лагранжа. Для этого необходимо построить функцию Лагранжа, найти ее производную по , приравнять к нулю, добавить уравнения – ограничения и решить систему линейных уравнений относительно . Итак, получаем следующую функцию Лагранжа:

,

где  и  – множители Лагранжа.

Таким образом, необходимо решить систему  линейных уравнений с  неизвестными:

В соответствии с предположениями, сделанными для  и , решение задачи (3.1.3) существует и единственно. Его можно записать в следующем виде:

,

где  и  – векторы :

.

Решая задачу оптимизации для каждого , где

получаем эффективное множество  (рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.2. Эффективное множество и эффективный портфель при заданном уровне доходности

Эффективный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску

Пусть ожидаемая доходность как минимум для двух активов  различна: , а матрица ковариаций положительно определена: . Эти предположения обеспечивают существование и единственность решения задачи оптимизации.

Определение эффективного портфеля в зависимости от отношения инвестора к риску сводится к следующей задаче оптимизации:

или в векторной форме:

                                     (3.1.4)

Параметр  отражает терпимость инвестора к риску и может быть соотнесен с относительной мерой риска Эрроу – Пратта  ( – функция полезности Неймана – Моргенштейна)  обратной зависимостью .

Решением задачи оптимизации (3.1.4) для всех   является эффективное множество  (рис. 3.1.3).

В соответствии с методом множителей Лагранжа, построим функцию Лагранжа:

.

Решение задачи (3.1.4) будет удовлетворять системе  линейных уравнений с  неизвестным:

                          (3.1.5)

Для  решением задачи оптимизации  является вектор

,                                   (3.1.6)

соответствующий портфелю с минимальной дисперсией на множестве всех эффективных портфелей:  (рис. 3.1.3).

Рис. 3.1.3. Эффективный портфель и отношение инвестора к риску

Для фиксированного  решение задачи представимо в следующем виде:

,                                          (3.1.7)

где  – вектор , обладающий следующим свойством: . Экономический смысл вектора  состоит в том, что он представляет собой не принадлежащий достижимому множеству самофинансируемый портфель, в котором покупка одних активов осуществляется за счет продажи других.

Таким образом, любой эффективный портфель является линейной комбинацией портфеля , который зависит только от   и обеспечивает минимальный риск, и портфеля , генерирующего максимальную доходность.

Так как , то в результате эффективное множество в системе координат (,) будет определяться  следующими формулами:

Модель Марковитца с безрисковым активом

Пусть инвестор формирует портфель из  рисковых активов  с вектором ожидаемых доходностей  и матрицей ковариаций  и безрискового актива  с детерминированной доходностью . Предполагается, что  и матрица ковариаций  положительно определена, т.е. решение задачи оптимизации существует и единственно. Для любого портфеля  из достижимого множества

                              (3.1.8)

имеем:

   или в векторной форме    

где .

Определение эффективного портфеля может быть сведено к следующим задачам оптимизации.

1. Если критерием оптимальности является минимальный риск при заданном значении  ожидаемой доходности портфеля, то получаем задачу оптимизации:

Решение  задачи находится из системы  линейных уравнений с  неизвестными:

где  – множители Лагранжа. Получаем:

Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество, которое в случае существования безрискового актива будет иметь в системе координат  форму луча (рис. 3.1.4).

2. Если эффективный портфель определяется с учетом отношения инвестора к риску, то задача оптимизации будет иметь следующий вид:

где  характеризует терпимость инвестора к риску. Решение задачи находится из системы  линейных уравнений с  неизвестными:

                                    (3.1.9)

где  – множитель Лагранжа.

Эффективный портфель, являющийся решением системы уравнений, можно представить в следующем виде:

,                             (3.1.10)

где  – портфель с минимальной дисперсией, для которого ,  – вектор, обладающий свойством: , причем:

Решая задачу оптимизации для каждого , получаем эффективное множество (рис. 3.1.4).

Докажем, что в случае наличия безрискового актива эффективное множество в системе координат (,) является лучом.

Любой портфель из достижимого множества (3.1.8) можно представить как совокупность двух активов: безрискового и рискового, являющегося комбинацией  рисковых активов. Обозначим через  долю капитала инвестора, вложенную в рисковую часть портфеля, ожидаемую доходность рискового актива портфеля – через , его дисперсию – через . Тогда доля безрискового актива в портфеле составит .  Доходность безрискового актива равна , а дисперсия – . Для любого портфеля  имеем:

где  – ковариация доходностей рисковой и безрисковой частей портфеля.

Отсюда , а значит  – уравнение луча с началом в точке , которая соответствует портфелю с минимальной дисперсией . Луч будет касаться эффективного множества, не имеющего безрискового актива (рис.3.1.4). Точка касания  соответствует портфелю, состоящему только из рисковых активов. Любая точка  слева от  характеризует портфель, для которого , т.е. когда инвестор делает вложения в безрисковый актив. Для любой точки  справа от  , т.е. инвестор заимствует безрисковый актив.

 

Рис. 3.1.4. Эффективное множество при наличии безрискового актива

Модель Марковитца в случае наличия дополнительных линейных ограничений

Предположим, что инвестор формирует портфель из  рисковых активов с вектором весов , вектором ожидаемых доходностей  и положительно определенной матрицей ковариаций . При этом существуют дополнительные линейные ограничения на эффективное или достижимое множество, например, запрет на осуществление короткой продажи  или требование покупки одних активов за счет продажи других: , где  и т.д. Отметим, что ограничение на достижимое множество (3.1.1) может принять следующую форму: .

Задачу оптимизации в случае наличия дополнительных линейных ограничений  можно сформулировать в общем виде следующим образом:

                                  (3.1.11)

где  – матрица ,  – вектор , определяющие ограничения на достижимое или эффективное множество.

Функция Лагранжа определяется следующим образом:

,

где  – вектор множителей Лагранжа. В соответствии с теоремой Куна-Таккера решение задачи (3.1.11) должно удовлетворять системе:

Решением системы  является кусочно-непрерывная функция , имеющая разрывы в некоторых точках , в которых не выполняются ограничения задачи оптимизации. Следовательно, эффективное множество в системе координат   будет также кусочно-непрерывным (рис.3.1.5).

 

                                                                                                                                  Рис. 3.1.5. Эффективное множество при наличии дополнительных 

линейных ограничений

Модель выбора инвестиционной стратегии с учетом обязательств

Рассмотрим однопериодную модель (), характеризующую деятельность на финансовом рынке инвесторов, которые формируют свой портфель активов с учетом текущих и будущих обязательств. Такими инвесторами являются, например, пенсионные фонды и страховые компании, которые выбирают инвестиционную стратегию в зависимости от соотношения между своими активами и обязательствами.

Обозначим через  начальную стоимость чистых обязательств инвестора (пенсионного фонда, страховой компании), а через  – их стоимость в конце рассматриваемого временного периода. Тогда показатель роста обязательств, зависящий, в частности, от таких факторов, как ставка процента по безрисковым активам, уровень инфляции, показатель экономического роста и т.д., будет представлен следующей случайной величиной:

.

Пусть начальная рыночная стоимость активов инвестора равна . Формируя инвестиционный портфель , состоящий из  рисковых вложений и имеющий доходность , инвестор увеличивает стоимость активов в конце рассматриваемого периода до величины

.

Разница между активами и обязательствами в начальный момент времени равна , а в конце периода –. В соответствии с подходом Марковитца выбор инвестиционного портфеля  с учетом текущих и будущих обязательств осуществляется таким образом, чтобы обеспечить максимизацию соотношения

при минимальном значении риска

.

Получаем следующую задачу оптимизации:

или в векторной форме

                        (3.1.12)

где    ,

Чтобы решить задачу оптимизации (3.1.12), построим функцию Лагранжа:

.

Искомый вектор , который существует и единственен, должен удовлетворять следующей системе уравнений:

Для  получаем портфель с минимальной дисперсией:

,

где  совпадает с оптимальным портфелем (3.1.6) с минимальной дисперсией из задачи оптимизации (3.1.4) и определяется только матрицей ковариаций доходностей рисковых активов ,

обладает следующим свойством: .

Для произвольного  решение задачи можно записать в следующем виде:

,

где  – единственный вектор в правой части формулы, зависящий от .

Решая задачу для всех , находим эффективное множество .

Диверсификация портфеля как способ снижения риска

Из формулы (3.1.2) для расчета дисперсии портфеля становится очевидной роль корреляции (или ковариации) доходностей активов, представленных в портфеле, как фактора увеличения или снижения риска:

,

где  – корреляция между  и , ,  .

Чем больше отрицательных корреляций (ковариаций) между доходностями активов, тем меньше показатель дисперсии для одного и того же уровня ожидаемой доходности.

Так, в случае  формула для расчета дисперсии портфеля из двух активов приобретает следующий вид:

.

Если , то дисперсия при прочих равных условиях будет минимальной. И наоборот, портфель, составленный из 2-х абсолютно положительно коррелированных активов (), будет связан с наибольшим риском. Рис. 3.1.6 наглядно демонстрирует это.

                                                                                                                                               Рис. 3.1.6. Эффективное множество и корреляция для двух активов 

Требование отрицательной коррелированности доходностей активов есть один из главных принципов диверсификации портфеля. Помимо этого способом снижения риска портфеля является увеличение количества активов .

Пусть портфель составлен из  активов с некоррелированными доходностями () и ограниченными дисперсиями (). Тогда:

Если, например, , то:

Та составляющая риска, которая может быть редуцирована  диверсификацией, т.е. является управляемой, называется несистематическим риском. Включение в портфель большого количества отрицательно коррелированных активов позволяет снизить несистематический риск. Другая составляющая риска – систематический риск – не поддается управлению диверсификацией и связана со стохастической природой финансового рынка. Оценка систематического и несистематического риска будет рассмотрена в следующей главе.

14




1. МОДУЛЬ ФАРМАЦЕВТМЕНЕДЖЕР ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ.
2. на тему История и проблемы эвтаназии в разных странах Выполнила- Оюн Урана Михайловна Магистрант ІI
3. Образование в России- Инструкция по использованию, или Как вырасти образованным
4. А мне удобно I
5. Статья 15 Бюджетного кодекса РФ определяет что бюджет субъекта Российской Федерации региональный бюджет э
6. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Київ2001 Дис
7. тематическая модель управляемого объекта или процесса описывающая его поведение с течением времени под вли.
8. Общие сведения об остеологии Скелет skeleton ~ совокупность всех костей человеческого организма
9. МОДУЛЬ 1 Общая и специальная неврология название модуля Содержательный модуль 5 Заболевания п
10. Хлебные злаки и группы 12 ТН ВЭД Масличные семена и плоды в части семян подсолнечника подгруппа 1206
11. РЕФЕРАТОВ ПО ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ИСТОРИИ Александр I- замыслы реформ и противоречия внутренней политик
12. Бразильское нагорье
13. Производительность труда
14. Лекция 16 11Генераторы когерентного света Слово лазер является аббревиатурой выражения ldquo;Light mplifiction by sti
15. Инновационный менеджмент Тесты
16. Введение Сварка широко применяется в основных отраслях производства потребляющих металлопрокат так к
17. Утверждаю Ректор ФГАОУ ВПО Уральского федерального университета имени первого Президента России Б1
18. Леопард
19. темах Наноэлектроника ~ область науки которая изучает электронные приборы с характерными размерами L л
20. Реферат- Модель briefcase средствами MIDAS