Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

ТЕМАТИКИ Учебное пособие по математике для студентов факультета клинической психол.

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.1.2022

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Курский государственный медицинский университет

Федерального агентства по здравоохранению

и социальному развитию»

КАФЕДРА ФИЗИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие по математике

для студентов факультета клинической психологии

Курск - 2012 

УДК:51(075.8)

ББК:22.1я73

Т19

Рецензент:

Кандидат физико–математических наук, заведующий  кафедрой  математического  анализа и прикладной  математики  КГУ,  Кабанко  М.  В.

Тарасова, С.А. Учебное пособие по математике для студентов факультета клинической психологии/ С.А. Тарасова. – Курск: ГБОУ ВПО КГМУ, 2012. –  [электронное издание].

          

Настоящее учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования третьего поколения по специальности 030401 «Клиническая психология».

          В учебном пособии изложены основы теории множеств, математической логики, теории вероятностей и математической статистики применительно к психологическому профилю специализации.

          Для студентов психологических факультетов высших учебных заведений.

© КГМУ, 2012

Тема №1 «Элементы теории множеств»

Цель: усвоить понятия множества, его элементов, конечного и бесконечного, равных множеств, научиться проводить основные операции над множествами.

Краткие теоретические сведения:

 Множество – одно из основных неопределяемых понятий математики. Множество – совокупность объектов, обладающих одним и тем же признаком, объекты, не входящие в эту совокупность таким признаком не обладают. Объекты множества называются его элементами.

Множества обозначаются большими латинскими буквами, его элементы - маленькими.

Универсальное множество  (универсум) – множество, которому принадлежат все те элементы, которые допустимо рассматривать при решении данной задачи.

 Пустое множество Ø  множество, которое не содержит ни одного элемента.

 Способы задания множеств:

1) перечислением элементов – ,

2) указанием характеристического свойства – .

Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, иначе множество называется бесконечным.

Если каждый элемент множества  является элементом множества , то множество называется подмножеством множества : .

Свойства подмножеств:

1) ,

2) Ø .

Множества  и  называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: .

Всякое подмножество  данного множества , которое не совпадает с  и Ø, называется собственным подмножеством .

Объединением множеств  и  называется множество , состоящее из элементов множеств  и .

Пересечением множеств  и называется множество , состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству  и множеству .

Разностью множеств  и  называется множество , состоящее из элементов , которых нет в .

Геометрически операции над множествами изображаются с помощью диаграмм Эйлера – Венна:

                  

                                         U                   ∩                 \

Свойства операций над множествами:

1) ,

2)  Ø,

3) ,

4) ,  - коммутативность,

5) ,  - ассоциативность,

6) ,  - дистрибутивность,

7) ,  - законы де Моргана,

8) , ,

9) ,  Ø ,

10)  Ø = Ø, ,

11) ,  - законы поглощения.

 Пример. Доказать свойство .

Решение. Пусть , тогда  и , то есть либо , либо . В первом случае , но тогда ; во втором случае , но тогда . Следовательно, .

Пусть , тогда либо , либо . В первом случае  и , тогда  и ; во втором случае  и , но тогда  и . Следовательно, .

Так как  и , то .

Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком следования элементов, называется упорядоченным множеством.

Основные числовые множества:

1)  – натуральные,

2)  – целые,

3)  - рациональные,

4)  – иррациональные,

5)  – действительные,

6)  – комплексные числа.

Между множествами  и  установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу множества  соответствует элемент множества . Соответствие называется взаимно-однозначным, если любому элементу из  соответствует только один элемент из  и наоборот. Два множества называются эквивалентными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие: ~.

Если множества эквивалентны, то они имеют одинаковую мощность или кардинальное число .

Мощность конечного множества равна числу элементов этого множества. Мощность пустого множества равна нулю.

Бесконечное множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Бесконечное множество, мощность которого превышает мощность счётного множества, называется несчётным.

Множество действительных чисел несчётно и его мощность называется мощностью континуума.

Пусть имеются два множества  и . Прямое (декартово) произведение есть множество всех упорядоченных пар , в которых первый элемент принадлежит множеству , а второй – множеству .

Пример. Пусть , . Тогда

.

Нечётким множеством  в универсальном множестве  называется совокупность упорядоченных пар   –  степень принадлежности  множеству .

Пример. Математико-психологический портрет группы студентов 1-го курса факультета клинической психологии по степени принадлежности каждого из них к множеству трудолюбивых людей.

Студенты

Антонова

Веркутов

Любимова

Миронова

Новиков

Калинина

Осина

0,8

0,7

0,4

0,9

0,3

0,5

0,4

Объединением нечётких множеств  и  называется нечёткое множество  с функцией принадлежности .

Пересечением нечётких множеств  и  называется нечёткое множество  с функцией принадлежности .

Лингвистическая переменная – переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языков.

Контрольные вопросы:

  1.  Понятие множества и его элементов. Способы задания множеств.
  2.  Конечное и бесконечное множества.
  3.  Подмножество. Свойства подмножеств.
  4.  Операции над множествами.
  5.  Основные числовые множества.
  6.  Мощность множества. Счётное и несчётное множества.
  7.  Декартово произведение множеств.
  8.  Нечёткие множества. Пример.
  9.  Операции над нечёткими множествами.
  10.  Понятие лингвистической переменной.

Контрольные задания:

1. Определить является ли одно из множеств  и  собственным подмножеством другого:

а)  {1,{1,2}}, {{1,2},2},

б)  {1}, {1,{1}}.

2. Какие из элементов множества  одновременно являются и его подмножествами: {Ø,{Ø},{1}}?

3. Для двухэлементного множества  построить  - множество всех подмножеств : ={1,2}.

4. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств  и :

а)  и  – множества всех букв слов «параллельность» и «трапеция»,

б)  и  – множества всех цифр чисел 3464675678 и 3464758858.

5. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:

а) [3;7), (4;9],

б) (-;5], (0;+ ),

в) [1;10], (-7;4].

6. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:

а) \ = \(),

б) \ = ()\,

в) ()\ = (\)( \),

г) (\)( \) = ()\.

7. Решить задачу:

Из 32 учеников класса 12 занимаются в волейбольной секции, 15 – в баскетбольной, 8 – и в той, и в другой. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секциях.

Задания для домашней работы:

1. Найти объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств  и :

а)  и  – множества всех букв слов «алгебра» и «планета»,

б)  и  – множества всех цифр чисел 5660399839 и 5382388992.

2. Доказать и с помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить:

а) (\)\ = \(),

б) \(\) = (\)( ),

в) (\)(\) = ()\( ).

3. Найти объединение, пересечение и разность следующих промежутков:

а) (-1;3), [2;+ ),

б) [1;4), [2;3],

в) [1;3), [5; +).

Тема №2 «Элементы математической логики»

Цель: научиться приводить дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы к совершенным дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным формам, используя логические равносильности; применять законы математической логики для решения логических задач; применять язык логики предикатов для записи математических предложений, определений, построения противоположных утверждений.

Краткие теоретические сведения:

Высказывание – любое повествовательное предложение, которому можно приписать истинностное значение.

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется элементарным.  

Высказывание, образованное из элементарных с помощью логических связок «и», «или», «если, то», «не», называется составным (сложным).

Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.

Логическая операция, соответствующая логической связке «не» («неверно, что») называется отрицанием: . Отрицание истинно, когда основное высказывание ложно.

1

0

0

1

Логическая операция, соответствующая логической связке «и», называется конъюнкцией: . Конъюнкция истинна, когда истинны оба высказывания.

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Логическая операция, соответствующая логической связке «или», называется дизъюнкцией: . Дизъюнкция ложна, когда ложны оба высказывания.

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

Логическая операция, имеющая вид «если , то », называется импликацией: . Высказывание  называется посылкой,  – заключением. Импликация ложна, когда посылка истинна, а заключение ложно.

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

Логическая операция, соответствующая сложному союзу «тогда и только тогда, когда», называется эквиваленцией: . Эквиваленция истинна, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Приоритет логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Под формулой логики высказываний понимается следующее:

  1.  всякое элементарное высказывание есть формула,
  2.  если  и  – формулы, то , , , , ,
  3.  других формул, кроме перечисленных в 1) и 2), нет.

Две формулы называются равносильными, если их таблицы истинности совпадают: .

Основные формулы математической логики:

1)  - закон тождества,

2)  - закон противоречия,

3)  - закон исключённого третьего,

4)  - снятие двойного отрицания,

5) ,  - идемпотентность,

6) ,  - коммутативность,

7) ,  - ассоциативность,

8) ,  - дистрибутивность,

9) ,  - законы Де Моргана,

10) , , ,  - сочленение переменной с константой,

11) ,  - законы поглощения,

12) ,  - законы склеивания,

13) ,  - замена импликации,

14)  - правило modus ponens,

15)  - правило силлогизма,

16)  - закон контрапозиции,

17)  - соединение посылок,

18)  - разъединение посылок.

 Примеры. 1) Доказать формулу .

Решение.

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

Видим, что средний столбик состоит из одних единиц, равносильность доказана.

2) Упростить формулу .

Решение.

.

Формула называется тождественно – истинной (тавтологией) (тождественно – ложной (противоречием)), если её истинностное значение «истина» («ложь») при любых возможных значениях переменных.

Предложение  называется прямым утверждением,  - обратным,  - противоположным,  - обратнопротивоположным.

Если предложение  - истинно, то оно называется теоремой.  - достаточное условие для ,   - необходимое условие для  или следствие .

Если  - истинно и  - истинно, то  - необходимое и достаточное условие для , а  - необходимое и достаточное условие для .

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) представляет собой дизъюнкцию конъюнкций переменных и их отрицаний, либо конъюнкцию самих переменных.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) представляет собой конъюнкцию дизъюнкций переменных и их отрицаний, либо дизъюнкцию самих переменных.

Любую формулу можно привести к ДНФ или к КНФ.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – дизъюнкция конъюнкций, содержащих все исходные переменные (с отрицанием или без).

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – конъюнкция дизъюнкций, содержащих все исходные переменные (с отрицанием или без).

Пример. Привести к ДНФ формулу .

Решение.

.

Функция, все значения которой принадлежат множеству {0; 1} называется предикатом: , .

Предикат с  различными переменными называется – местным предикатом.

Подмножество области определения предиката, состоящее из тех и только тех элементов, которым соответствует истинное значение предиката, называется областью истинности предиката.

Если область истинности предиката совпадает со всей областью определения, то предикат называется тождественно – истинным. Если же область истинности представляет собой пустое множество, то предикат называется тождественно – ложным.

Всякий одноместный предикат  с переменной , принимающей значения из некоторого непустого множества, выражает свойство, присущее некоторым элементам этого множества. Множество элементов, обладающих свойством , называется объёмом данного свойства. Многоместные предикаты выражают отношения.

Кванторы:

1)  - квантор всеобщности,

2)  - квантор существования,

3)  - квантор существования единственности.

Контрольные вопросы:

  1.  Высказывание. Простые и составные высказывания. Высказывательная форма.
  2.  Операции алгебры логики: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и их свойства.
  3.  Формула алгебры логики. Равносильные формулы алгебры логики. Тавтология.  Противоречие.
  4.  Основные равносильности.
  5.  Виды теорем. Необходимое и достаточное условия.
  6.  Элементарная конъюнкция. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ). Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
  7.  Элементарная дизъюнкция. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ). Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).
  8.  Предикат. Область истинности предиката.

Контрольные задания:

  1.  Доказать тождественную истинность основных формул математической логики.
  2.  Упростить:

а) ,        

б) ,

в) ((→)→)→,                        

г) (→)(→)().

3. Привести формулу  к СДНФ и СКНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к ДНФ и КНФ:

  1.  Решить задачу:

По подозрению в совершённом преступлении задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот что они утверждали:

Браун: «Я совершил это. Джон не виноват»,

Джон: «Браун не виноват. Преступление совершил Смит»,

Смит: «Я не виноват, виноват Браун».

            Определить имя старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

  1.  Найти область истинности предиката : «быть кратным трём», если:

а) область определения {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},

б) {3,6,9,12,15},

в) {1,2,5,7,11,14}.

     6.  Записать на языке логики предикатов определения:

а) периодической функции,

б) чётной функции,

в) построить отрицания определений в примерах а) и б).

Задания для домашней работы:

  1.  Доказать равносильность следующих формул:  и .
  2.  Решить задачу:

 Известно, что если Джонс не встречал ночью Смита, то Смит – убийца. Джонс говорит неправду или Смит не убийца. Джонс говорит правду. Верно ли, что Джонс встретил ночью Смита.

  1.  Найти область истинности предиката : «х3-5х2+6х>0» и .

Тема №4 «Вычисление вероятностей случайных событий»

Цель: усвоить основные понятия теории вероятностей – достоверные, невозможные, случайные события; совместные и несовместные события; научиться использовать классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

Краткие теоретические сведения:

 Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

 Опытом (испытанием) называется всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Событием называется всякий возможный факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Обозначаются большими латинскими буквами.

Достоверным  называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте.

Невозможным Ø называют событие, которое в данном опыте не может произойти.

Случайным называют событие, которое в данном опыте может произойти, но может и не произойти.

Два события A и B называются несовместными, если в данном испытании они не могут произойти вместе.

Два события A и B называются совместными в данном испытании, если появление одного из них не исключает возможность появления другого события в этом же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если они несовместны и единственно возможные исходы испытания.

Если в полной группе только два события, то они называются противоположными.

Исход опыта называется благоприятствующим некоторому событию, если его появление влечет за собой появление данного события.

Вероятность некоторого события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов (классическое определение вероятности): .

Пример. Урна содержит 5 белых и 7 черных шаров, тщательно перемешанных. Какова вероятность того, что взятый наудачу из урны один шар окажется белым?

Решение. В данном испытании имеется всего 12 возможных исходов, из них 5 благоприятствуют появлению белого шара. Поэтому вероятность появления белого шара .

Относительной частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведённых опытов: .

Пример. Монетку подбросили 100 раз. Герб появился 52 раза. Тогда вероятность появления герба .

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения относительной частоты (статистическое определение вероятности).

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей событию А, к мере всей области: .

Пример. Найти вероятность попадания точки в круг, вписанный в квадрат со стороной .

Решение. Площадь круга, вписанного в квадрат со стороной , равна  - мера области, благоприятствующей нашему событию, площадь квадрата -  - мера всей области. Тогда искомая вероятность равна .

Свойства вероятности:

1) ,

2) Ø,

3) .

Контрольные вопросы:

1. Испытание, событие. Достоверное и невозможное события. Совместные и несовместные события. Равносильные, равновозможные и единственно возможные события. Полная группа событий. Противоположные события. Элементарные исходы. Благоприятствующие исходы.

2. Классическое определение вероятности.

3. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности. Свойство устойчивости относительной частоты.

4. Отличие классического и статистического определений вероятности.

5. Мера области. Геометрическое определение вероятности.

6. Размещения с повторениями, размещения без повторений, перестановки, сочетания.

7. Свойства вероятностей событий.

Контрольные задания:

1. Подбрасывается игральная кость, какова вероятность выпадения 5-ти очков.

2. В коробке 3 белых и 2 чёрных шара. Найти вероятность выбора белого шара из коробки.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

4. В колоде 36 игральных карт. Наудачу выбирают одну карту. Найти вероятность, что она окажется:

а) тузом,

б) красной,

в) пиковой дамой,

г) не картинкой.

5. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке слова МАТЕМАТИКА.

6. В коробке 12 деталей, 8 из них нестандартные. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность того, что среди них окажется только 2 стандартные детали.

7. Из колоды вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что:

а) среди них окажется два туза,

б) хотя бы один туз.

8. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

9. Наудачу выбирается четырёхзначное число. Найти вероятность того, что в десятичной записи этого числа нет нуля.

10 Колода из 36 карт разделена на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части будет по два туза.

11. Найти вероятность угадать шестизначный телефонный номер.

12. Найти вероятность угадать шестизначный телефонный номер, зная, что цифры в нём не повторяются.  

13. Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:

а) квадрата,

б) правильного треугольника.

14. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами 50 и 30 метров. На территории имеется 4 круглых нефтебака диаметром 10 метров каждый. Какова вероятность поражения нефтебака бомбой, попавшей на территорию нефтебазы.

Задания для домашней работы:

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

2. Из 5 букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получится слово «книга».

3. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются:

а) без возврата,

б) с возвратом.

4. Студент успел подготовить 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из трёх выбранных вопросов студент знает не менее двух.

5. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придётся ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 2 часа, а второго - 3 часа.

Тема №5 «Теоремы теории вероятностей»

Цель: научиться использовать для нахождения вероятностей событий теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий, умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, формулы полной вероятности и Байеса.

Краткие теоретические сведения:

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех событий.

Свойства операций над событиями:

1) ,

2)  Ø,

3) ,

4) ,  - коммутативность,

5) ,  - ассоциативность,

6)  - дистрибутивность,

7) ,  - законы де Моргана,

8) , ,

9) , Ø ,

10) Ø = Ø, .

 Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 

Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.

Если же вероятность события А зависит от наступления или ненаступления события В, то А называется зависимым от В событием.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается .

Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна , и вероятность события B равна . Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A), то вероятность появления события B при втором испытании будет . Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P(AB)=P(AP(B).

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло .

Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени?

Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A) равна P(A)=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B) равна P(B)=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P(AB)=P(A)P(B)=0,8·0,7=0,56.

Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AP(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94.

Формула полной вероятности:

Если случайные события Н12,...,Нn образуют полную группу, и если событие А может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события А можно определить по формуле:

,

Пример. В деканат поступили результаты тестирования по трём предметам в соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05, 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной. 

Решение. Пусть  - событие, состоящее в том, что взятая наугад работа по i-му предмету. Тогда по условию . Событие А состоит в том, что взятая наудачу работа – неудовлетворительная. По условию .

Тогда .

Формулы Байеса: , .

 Пример. Используя данные предыдущей задачи, определить вероятность того, что оказавшаяся неудовлетворительной работа – это работа по второму тесту.

Решение. .

Контрольные вопросы:

1. Сумма и произведение событий.

2. Свойства операций над событиями.

3. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий и следствия из нее.

4. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

5. Условная вероятность. Зависимые и независимые события.

6. Теорема о вероятности произведения двух независимых событий.

7. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

8. Формула полной вероятности (формула гипотез).

9. Формулы Байеса.

Контрольные задания:

1. На семи карточках написаны буквы А, А, А, Б, Б, Н, Р. Карточки перемешиваются и раскладываются случайным образом. Какова вероятность того, что получится слово БАРАБАН?

2. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,8. Найти вероятность того, что а) оба стрелка попадут в мишень,

б) хотя бы один стрелок попадёт в мишень.

3. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностью 0,1, а женщина – с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того что, по крайней мере, одно лицо что-нибудь купит?

4. В семье трое детей. Считая рождение мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье все мальчики.

5. Студент выучил лишь один билет из 30 экзаменационных. Определить, зависит или нет вероятность извлечения «счастливого билета» от того, первым, вторым или третьим выбирает студент свой билет.

6. В двух группах занимаются соответственно 20 и 30 студентов, причем в первой группе 5 юношей, а во второй – 3. Какова вероятность того, что выбранный наугад студент – юноша?

7. Для примера 6 определить вероятность того, что выбранный студент учится в первой или во второй группе, если известно, что он – юноша?

8. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом  равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя – 0,6, тремя – 1. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Задания для домашней работы:

1. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность разрушения моста, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3, 0,4, 0,6 и 0,7.

2. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что:

а) только один снаряд попадет в цель,

б) только два снаряда попадут в цель,

в) все три снаряда попадут в цель,

г) хотя бы один снаряд попадет в цель.

3. В первой урне 1 белый и 9 черных шаров, во второй – 1 черный и 5 белых. Из каждой урны выбираем наугад по одному шару, а оставшиеся ссыпаем в третью урну, из которой наугад вынули 1 шар. Найти вероятность того, что:

а) шар, вынутый из третьей урны, будет белым,

б) из обеих урн вынули белые шары, если шар, вынутый из третьей урны, оказался белым.

4. В швейной мастерской работают 3 мастера, производительности труда которых относятся как 5:6:7. Для первого мастера вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,95, для второго и третьего мастеров эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Изготовленное изделие оказалось отличного качества. Найти вероятность того, что его изготовил третий мастер.

Тема №6 «Схема Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Закон Пуассона»

Цель: познакомиться со схемой независимых повторных испытаний Бернулли, формулой Бернулли, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа, формулой Пуассона.

Краткие теоретические сведения:

 Схема Бернулли.

Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A. Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p, а вероятность появления противоположного события Ā есть q.

Тогда вероятность появления интересующего нас события A ровно k раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли:

Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка?

Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n=5, k=3, p=0,8 и q=1-0,8=0,2: .

Асимптотическая формула Пуассона.

В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний.

При этих условиях для вычисления вероятности  появление события k раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона:                

, где .

Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется 3 изделия бракованных?

Решение. В условии примера дано p=0,005, n=400, k=3, следовательно, . Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона .

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность  того, что событие A произойдет k раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

, где  - функция Гаусса, .

 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от  до , при достаточно большом числе приближенно равна:

, где  - функция Лапласа

, .

Следствия:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

1) Число k наступлений события А отличается от произведения np не более, чем на величину  равна:

2) Относительная частота  события A заключена в пределах от  до  равна:

,

,

3) Относительная частота  события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ>0 равна:

.

Контрольные вопросы:

1.Схема независимых повторных испытаний Бернулли.

2. Формула Бернулли.

3. Закон редких событий (формула Пуассона).

4. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Контрольные задания:

1. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более трех цветных?

2. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика,

б) не более двух мальчиков,

в) более двух мальчиков,

г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

3. Проблема Джона Смита. В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы  одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму – не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй, а второй больше, чем третий. Получить этот результат.

4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

5. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 и не более 90 раз,

б) не менее 75 раз,

в) не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02?

7. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,02. Сверла укладывают в коробку по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется не более трех бракованных сверл.

8. Производится 1000 однородных опытов. Предполагается, что в каждом независимом испытании вероятность отрицательного результата – 0,003. Найти вероятность того, что отрицательных результатов будет:

а) ровно два,

б) менее двух,

в) более двух,

г) хотя бы один.

Задания для домашней работы:

1. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырёх или пять из восьми?

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

2. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

4. Среди деталей, изготавливаемых участком, 0,1% бракованных. Детали укладываются в ящики по 200 штук. Чему равна вероятность того, что в ящике будет не более трех бракованных деталей?

Тема №7 «Дискретные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием дискретной случайной величины, научиться составлять закон и функцию распределения дискретной случайной величины, находить её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина  это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – это величина, бесконечное, несчетное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.

Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами X, Y, Z, а их значения маленькими - x, y, z.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения задаётся  в виде таблицы.

- условие нормировки.

Используя таблицу можно закон распределения дискретной случайной величины изобразить графически в виде многоугольника (полигона) распределения.

 Другая форма закона распределения – функция распределения , которая представляет собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее наперёд заданного х, то есть .

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая линия, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям  случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Свойства функции распределения:

1) 0F(x)1,

2) функция распределения есть неубывающая функция,

3) F()-F().

4) , .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности .

Свойства математического ожидания:

1) ,

2) ,

3) ,

4)  (для независимых случайных величин)

5) ,

6) .

Вероятностный смысл: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайный величины.

Дисперсией  случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания  или .

СКО (средним квадратическим отклонением)  случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии .

Свойства дисперсии:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

Вероятностный смысл: дисперсия – степень рассеяния значений случайной величины около её математического ожидания.

Модой  случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой  случайной величины Х называется ее значение, находящееся в центре ряда распределения.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания: .

- коэффициент асимметрии.

- эксцесс.

Пример. В семье трое детей. Случайная величина Х - число мальчиков в семье. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти вероятность события Р(1<Х3)

е) найти М(Х), D(X), (X).

Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3.

Пусть Аi- событие, состоящее в том, что i-тый ребёнок мальчик, i=1,2,3.

Р(Х=0)=Р(Ā1Ā2Ā3)=,

Р(Х=1)=Р(А1Ā2Ā31А2Ā31Ā2А3)=,

Р(Х=2)=Р(Ā1А2А31Ā2А31А2Ā3) =,

Р(Х=3)=Р(А1А2А3) =.

а) закон распределения случайной величины Х имеет вид:

0

1

2

3

б)

в)                                                  

г)

д) Р(1<Х≤3)=Р=2)+Р(Х=3)= +=.

е)                                              М(Х)=,

М(Х2)= ,

D(X)=3-1,52=0,75,

=.

Контрольные вопросы:

1. Дискретная случайная величина.

2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения вероятностей.

3. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл.

4. Дисперсия дискретной случайной величины. Её свойства и вероятностный смысл. Среднее квадратическое отклонение.

5. Функция распределения дискретной случайной величины. Свойства функции распределения.

6. Числовые характеристики среднего арифметического независимых и одинаково распределённых случайных величин.

7. Мода и медиана дискретных случайных величин.

Контрольные задания:

1. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F(х),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(9<Х11)

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

2. Игральная кость брошена 4 раза.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число появления пятёрки.

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F(х),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(Х2),

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

Задания для домашней работы:

Произведены три выстрела по одной  и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно: 0,4, 0,5 и 0,7.

а) составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число попаданий по мишени,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения F),

г) построить график F(х),

д) найти вероятность события Р(1<Х≤3)

е) найти М(Х), D(X), (X), , .

Тема №8 «Непрерывные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием непрерывной случайной величины, научиться находить плотность и функцию распределения непрерывной случайной величины, её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью вероятности  непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения .

График плотности вероятности  называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

1) ,

2) ,

3) ,

4)  - условие нормировки,

5) F(x)=.

M)= - математическое ожидание непрерывной случайной величины,

D(Х)= - дисперсия  непрерывной случайной величины.

Модой Мо непрерывной случайной величины называется значение, для которого плотность вероятности достигает максимума.

Медианой Ме непрерывной случайной величины называется значение, для которого.

Пример. Случайная величина имеет плотность распределения вероятности

 

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти функцию распределения F(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р(),

д) найти параметры распределения.

Решение: а) используем свойство плотности распределения :

а=1, следовательно =2.

б) при х0  F(х)=,

при 0<х1 F(x)=,

при х>1 F(x)=, то есть

в)

                        

г) Р()=,

д)                                            М(Х)= =,

М(Х2)=,

D(X)= М(Х2)- М2(Х)=,

.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

F(x)= .

Решение. Найдем плотность распределения:

f(x)=F(x)= .

M(Х) =  ,

Найдем искомую дисперсию D(x)== .

Контрольные вопросы:

1. Непрерывная случайная величина.

2. Плотность вероятности непрерывной случайной величины.

3. Свойства плотности распределения вероятностей.

4. Условие нормировки.

5. Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины.

6. Основные характеристики непрерывной случайной величины.

Контрольные задания:

1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

                                                     .

Требуется:

а) найти постоянную ,

б) найти плотность распределения f(x),

в) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р(1,5<Х<2),

д) найти параметры распределения.

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности

.

а) найти функцию распределения F(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

в) найти Р(),

г) найти параметры распределения.

Задания для домашней работы:

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

                                                     .

Требуется:

а) найти плотность распределения f(x),

б) построить графики f(x) и F(x),

г) найти Р(0,25<Х<0,5),

д) найти параметры распределения.

Тема №9 «Основные законы распределения случайных величин»

Цель: познакомиться с основными законами распределения дискретных и непрерывных случайных величин, научиться применять их при решении задач теории вероятностей прикладного характера.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где  и  0<p<1, если , k=0,1,…,n.

, .

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями, которые определяются по формуле , k=0,1,…

, .

Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром р (0<p<1), если она может принимать только натуральные значения с вероятностями , .

, .

Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами m и n, , если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями .

, .

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если её распределение задаётся плотностью .

Функция равномерного распределения .

, .

Случайная величина имеет показательное распределение с параметром , если её распределение задаётся плотностью .

Функция показательного распределения .

, .

Cлучайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами  и , если ее плотность вероятности имеет вид:

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или Гауссовой кривой.

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по нормальному закону, равно параметру  этого закона, то есть , а ее дисперсия – параметру , то есть .

Функция распределения нормальной случайной величины , выражается через функцию Лапласа  по формуле:

.

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1) Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в интервал (х12), равна

,

где ,       

2) Вероятность того, что отклонение случайной величины , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания  не превысит величину , равна

, где  .

Правило «трех сигм»:

Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами  и , то есть , то достоверно, что ее значения заключены в интервале .

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами , , то есть  называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10;50).

Решение. х1=10, х2=50, σ =10, =30.

P(10<Х<50)==2Ф(2).

Из таблицы находим Ф(2)=0,4772 и окончательно имеем

P(10<Х<50)=2·0,4772=0,9544.

Контрольные вопросы:

1. Биномиальное распределение, его характеристики.

2. Распределение Пуассона, его характеристики.

3. Геометрическое распределение, его характеристики.

4. Гипергеометрическое распределение, его характеристики.

5. Равномерное распределение, его характеристики.

6. Показательное распределение, его характеристики.

7. Нормальный закон распределения случайной величины.

8. Изменение гауссовой кривой при изменении параметров σ и .

9. Функция распределения и плотность вероятности нормальной случайной величины.

10. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданной интервал.

11. Вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания.

12. Правило «трёх сигм».

Контрольные задания:

1. На большой перемене между занятиями в двух случаях из 10 вы покупаете булочку и кофе. Найти вероятность того, что в течение 5 дней в большую перемену вы будете питаться именно так.

2. В «Службу доверия» города Энска поступает в среднем 3 обращения в час. Какова вероятность того, что за 2 часа будет:

а) 5 обращений,

б) от 4 до 7 обращений,

в) не более 3 обращений.

3. Пусть в опытах по психодиагностике вероятность того, что тестируемый субъект зафиксирует световую вспышку в указанном секторе, равна 0,8. Какова вероятность того, что вспышка будет впервые обнаружена в третьем опыте?

4. Каждый день с 15.00 до 15.30 вы стоите у книжного киоска и ожидаете свою незнакомку, которая каждый раз проходит мимо не ранее 15.20, не замечая вас. Каково среднее время её появления в период вашего ожидания?

5. Психоаналитик на работе никогда не скучал, так как посетители шли к нему «валом». Если вы тоже захотите навестить знаменитого специалиста, рассчитайте вероятность обслуживания вас в ближайшие полчаса с учётом того, что поток обслуженных клиентов имеет плотность 4 человека в час. Каково среднее время обслуживания?

6. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины равны соответственно 12 и 3. Записать функцию и плотность распределения данной случайной величины.

7. Математическое ожидание порога чувствительности в серии психофизических опытов равно 40, а дисперсия – 100. Вычислить вероятность того, что в данном испытании порог будет заключен в интервале (30; 80), считая распределение порога нормальным.

8. Пусть случайная величина Х – центрированная. σ(Х)=5. Вычислить вероятность того, что величина Х не превосходит по абсолютной величине значения 5.

9. Математическое ожидание и СКО уровня настойчивости Х, распределённого по нормальному закону, соответственно равны 40 и 0,4. Какое значение данного показателя можно гарантировать с вероятностью 0,8?

Задания для домашней работы:

1. В группе 30 студентов, среди них 10 отличников. В деканат вызваны наугад 8 студентов. Какова вероятность, что среди вызванных ровно 3 отличника?

2. Производится взвешивание на аналитических весах, причём имеются гирьки весом не менее 1 г. Найти математическое ожидание ошибки и её дисперсию.

3. Уровень тревожности в нормальной обстановке распределён по показательному закону: . Найти вероятность того, что в результате испытаний уровень тревожности попадёт в интервал (0,2; 0,5).

4. Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что уровень pH находится между 7,35 и 7,45.

Тема №11 «Построение статистических рядов, нахождение их характеристик»

Цель: научиться составлять статистические распределения выборок, строить полигоны, гистограммы, строить эмпирические функции распределения.

Краткие теоретические сведения:

Математическая статистика – это раздел прикладной математики, посвящённый методам сбора, группировки и анализа статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Генеральной совокупностью называют множество объектов, однородных относительно некоторого признака.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Число объектов совокупности называется её объёмом.

Выборка называется репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Численное значение количественного признака называется вариантой.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант  и соответствующих им частот  или относительных частот .

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариант с соответствующими им частотами.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и – интервальным, если варианты могут отличаться одна от другой на сколь угодно малую величину.

Дискретный статистический ряд задается таблицей, в которой указываются варианты, частоты или относительные частоты их встречаемости. Графическое изображение дискретного статистического ряда называется полигоном частот (относительных частот). Это ломаная, в которой концы отрезков имеют координаты  или , .

Пример. Закон распределения дискретного статистического рядя и полигон частот.

1

2

3

4

5

20

26

9

Интервальный статистический ряд для случайных непрерывных величин и для случайных дискретных величин при больших объемах выборок. Интервальный ряд представляет собой таблицу, в которой указаны частичные интервалы, плотности частот или плотности относительных частот. Графическое изображение интервального статистического ряда называется гистограммой. Представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака, и высотами, равными частотам интервалов.

Пример. Закон распределения интервального статистического ряда и гистограмма.

(55;60)

(60;65)

(65;70)

(70;75)

(75;80)

(80;85)

(85;90)

15

68

59

32

17

7

2

Алгоритм построения интервального ряда:

Пусть дана выборка  с объёмом .

1) находим размах выборки ,

2) определяем число классов разбиения по формулам:

 (формула Стерджесса для )

  (формула Брукса для ),

3) находим величину классового интервала ,

4) границы частичных интервалов находим по формулам:

, , , .

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал.

 Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретного ряда кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки  или , . Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината накопленной частоте, равной 0. Другие точки соответствуют концам интервалов.

 Эмпирической функцией распределения  называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного , то есть .

Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция представляет собой разрывную ступенчатую функцию, для интервального – совпадает с кумулятой.

     

 

Основные числовые характеристики вариационного ряда:

Среднее арифметическое вариационного ряда , где  - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального,  - соответствующие им частоты.

Основные свойства средней арифметической:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) , где  - общая средняя,  - групповая средняя -той группы с объёмом ,  - число групп.

 Дисперсия вариационного ряда .

 Основные свойства дисперсии:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) , где  - общая дисперсия,  - групповая дисперсия,  - средняя арифметическая групповых дисперсий,  - межгрупповая дисперсия.

6) - дисперсия среднего значения.

 Среднее квадратическое отклонение .

 Коэффициент вариации .

 Медиана вариационного ряда , где  - начало медианного интервала,  - его длина,  - объём выборки,  - сумма частот интервалов, предшествующих медианному,  - частота медианного интервала. Для дискретного ряда медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

 Мода , где  - начало модального интервала,  - его длина,  - частота модального интервала,  и  - частоты соответственно предшествующего и последующего за модальным интервалов. Для дискретного ряда мода - варианта, которой соответствует наибольшая частота.

 Начальный момент -го порядка .

 Центральный момент -го порядка .

 Коэффициент асимметрии .

 Эксцесс .

Контрольные вопросы:

  1.  Генеральная и выборочная совокупности, их объём.
  2.  Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд.
  3.  Дискретный статистический ряд. Полигон частот.
  4.  Интервальный статистический ряд. Гистограмма.
  5.  Алгоритм построения интервального статистического ряда.
  6.  Эмпирическая функция распределения. Кумулятивная кривая.
  7.  Среднее арифметическое вариационного ряда и его свойства.
  8.  Дисперсия и её свойства. СКО.

Контрольные задания:

1. Как известно, почерк человека, в том числе наклон букв, тесно связан с его характером. Низкий наклон (3040 град.) свидетельствует о вспыльчивости и возбудимости человека, излишней прямоте и торопливости в поступках; наклон 40 – 50 град. характеризует гармоническое развитие натуры; наклон 50 – 90 град. свидетельствует о самообладании, узком диапазоне увлечений.

Среди студентов института выборочно был исследован почерк 50 человек. Оказалось, что почерк у 30% присутствующих имеет низкий наклон, у 50% - наклон 40 – 50 и у 20% - наклон 5090 град.

Найти распределение частот, относительных частот, построить полигон и гистограмму.

2. Дано распределение признака , полученное по  наблюдениям. Необходимо:

1) построить (полигон) гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения;

2) найти: среднюю арифметическую, моду и медиану, дисперсию, СКО и коэффициент вариации, начальные и центральные моменты -го порядка.

а)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

146

97

73

34

23

10

6

3

4

2

2

б)

 

4-6

6-8

8-10

10-12

12-14

14-16

16-18

18-20

20-22

22-24

24-26

1

3

6

11

15

20

14

12

10

6

2

3. Вычислить общие и групповые средние и дисперсии и убедиться в справедливости правила сложения дисперсий.

группа 1

группа 2

85

34

96

102

103

63

69

83

89

106

2

5

11

8

4

2

6

8

3

1

4. Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет. По случайной выборке объема 35: 175, 167, 168, 169, 168, 170, 174, 173, 177, 172, 174, 167, 173, 172, 171, 171, 170, 167, 174, 177, 171, 172, 173, 169, 171, 173, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174, найти статистический интервальный ряд распределения и построить гистограмму частот.

Задания для домашней работы:

Дано распределение признака , полученное по  наблюдениям. Необходимо:

1) построить (полигон) гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения;

2) найти: среднюю арифметическую, моду и медиану, дисперсию, СКО и коэффициент вариации, начальные и центральные моменты -го порядка.

а)

1

3

5

7

9

10

15

30

33

12

б)

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

4

6

16

36

24

10

4

Тема №12 «Нахождение точечных и интервальных оценок параметров распределения»

Цель:  научиться определять точечные и интервальные статистические оценки генеральных параметров нормального распределения по выборочным данным генеральной совокупности.

Краткие теоретические сведения:

Статистической оценкой (статистикой) неизвестного параметра  распределения генеральной совокупности называют функцию результатов наблюдений *.

Статистическая оценка * является случайной величиной.

Оценка, определяемая одним числом, зависящим от выборочных данных, называется точечной.

Требования, предъявляемые к точечным статистическим оценкам:

1) состоятельность (стремление по вероятности к оцениваемому параметру при ),

2) несмещённость (отсутствие систематических ошибок при любом объёме выборки (*) = ),

3) эффективность (среди всех возможных оценок эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией).

Точечные оценки генеральных параметров нормально распределённой совокупности:

Генеральный параметр

Точечная оценка

- выборочная средняя

- исправленная

дисперсия

- исправленное

среднеквадратическое

отклонение

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность точечной оценки.

Точностью  оценки называется отклонение по модулю * от .

Предельной ошибкой выборки  называется максимально допустимое по модулю отклонение * от .

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки * называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |  *|<. Обычно = 0,95; 0,99; 0,999

Вероятность того, что неизвестный параметр не попадёт в интервал |  *|<, равна  - уровню значимости.

Доверительным называется интервал (*-;*+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

Интервальные оценки параметров нормального распределения:

1) Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии .

, где  находят из таблицы функции Лапласа, учитывая .

2) Доверительный интервал для математического ожидания  при неизвестной дисперсии .

, где  находят из таблицы коэффициентов Стьюдента.

3) Доверительный интервал для дисперсии  при известном .

     , где   находят из таблицы распределения  при 1-,   находят при  с числом степеней свободы .

 4) Доверительный интервал для дисперсии  при неизвестном .

, где   находят из таблицы распределения  при 1-,   находят при  с числом степеней свободы .

Пример 1. Вычислить несмещённые оценки параметров генеральной совокупности  по выборочным данным: 64 63 71 68 73 71 74 73 70 75 68 67 73.

Решение.

,

,

,

.

 Пример 2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения при уровне значимости 0,05, если из генеральной совокупности сделана выборка, используемая в примере 1.

Решение. Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии:

,

где

.

Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании:

,

где = ()==4,4 и =

,

Контрольные вопросы:

1. Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения.

2. Точечная оценка.

3. Требования к точечным оценкам: несмещённость, состоятельность, эффективность.

4. Генеральная и выборочная средняя.

5. Генеральная и выборочная дисперсии.

6. Поправочный коэффициент. Исправленная выборочная дисперсия.

7. Генеральное среднеквадратическое отклонение и его точечная оценка.

8. Оценка дисперсии и СКО выборочной средней.

9. Интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности.

10. Доверительная вероятность и уровень значимости.

11. Доверительный интервал.

12. Правило нахождения доверительного интервала.

13. Доверительный интервал для математического ожидания  при известной дисперсии .

14. Доверительный интервал для математического ожидания  при неизвестной дисперсии .

15. Доверительный интервал для дисперсии  при известном .

16. Доверительный интервал для дисперсии  при неизвестном .

Контрольные задания:

1. При проверке успеваемости факультета были выборочно протестированы 50 обучаемых, распределившихся по результатам тестирования следующим образом ( - балл,  - количество обучаемых с данным баллом):

6

7

8

9

10

6

13

16

10

5

Найти средний балл.

2. Некто N собрал следующий статистический материал, касающийся дистанции при его общении с другими людьми в течение недели:

Вид общения

Расстояние (см)

Относительная

частота

Интимное

0-45

0,3

Персональное

45-120

0,2

Социальное

120-400

0,1

Публичное

400-750

0,4

Найти выборочную среднюю дистанции общения.

3. Найти разброс среднего балла в задании 1 тестирования 50 студентов.

4. Найти оценку разброса скорости чтения, распределение, которой представлено в таблице, предварительно определив относительную частоту средней скорости чтения.

Скорость слов в 1 мин

200

низкая

250-300

средняя

300-450

быстрая

650

сверхбыстрая

Относительная частота

0,1

?

0,4

0,05

5. Найти несмещённые оценки генеральной средней, дисперсии и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности по выборке объема 12, описывающей продолжительность в секундах физической нагрузки до развития приступа стенокардии: 289, 208, 259, 243, 232, 210, 251, 246, 224, 239, 220, 211.

6. Имеется выборка объема  – это значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока: 127, 124, 155, 129, 77, 147, 65, 109, 145, 141. Определить дисперсию и среднеквадратическое отклонение выборочной средней.

7. По схеме бесповторной выборки из 400 испытуемых в опытах Францена и Оффенлоха с применением вызванных потенциалов отобраны 100 человек и проведены замеры латентных периодов. Результаты испытаний приведены в таблице:

Длительность

латентного

периода, мс

[40;42]

(42;44]

(44;46]

(46;48]

(48;50]

Итого

Количество

испытуемых

7

24

38

19

12

100

Задано среднее квадратическое отклонение . Найти:

а) вероятность того, что средний латентный период всех 400 человек отличается от среднего периода в выборке не более чем на 0,31 мс (по абсолютной величине),

б) границы, в которых с вероятностью  заключено среднее значение латентного периода,

в) объём выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой  имели бы место с доверительной вероятностью .

8. Распределение ежедневных визитов Карлсона к Малышу в течение месяца показано в таблице:

Число визитов

5

10

12

15

20

25

Частота

2

4

8

9

5

2

Определить границы, в которых с вероятностью  заключено среднее количество визитов.

9. Случайная величина  имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним =24,5, если объём выборки  и задана надёжность оценки .

10. Количественный признак  генеральной совокупности распределён нормально. По выборке объёма  найдены выборочная средняя =20,2 и исправленное среднее квадратическое отклонение . Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надёжностью 0,95.

11. Для 9 претендентов на должность руководителя была проведена оценка профессионального показателя , характеризующего способность руководить людьми. Считая показатель  распределённым по нормальному закону со средним квадратическим отклонением  усл. ед., определить с надёжностью  доверительный интервал для истинного среднего квадратического отклонения  показателя .

Задания для домашней работы:

1. Найти оценки генеральных средней, дисперсии и среднего квадратического отклонения, если совокупность задана таблицей распределения:

6,76

6,78

6,80

6,82

6,84

52

44

14

11

1

2. Вычислить несмещённые оценки параметров генеральной совокупности  по выборочным данным. По желанию можно составить вариационный ряд по значениям:

71  71  69  74  75  70  78  66  69  74  81  73  74

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

-0,5

-0,4

-0,2

0

0,2

0,6

0,8

1

1,2

1,5

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределённого признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

4. Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95, если из генеральной совокупности сделана выборка:

67  70  69  68  74  72  66  66  74  69  72  78  67

Тема №13 «Проверка статистических гипотез о равенстве дисперсий и математических ожиданий»

Цель:  научиться проверять статистические гипотезы о равенстве дисперсий и математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей.

Краткие теоретические сведения:

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку второго рода – уровень  значимости . 

Статистическим критерием называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которой нулевую гипотезу отвергают.

Область принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при котором гипотезу принимают.

Если  принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если  принадлежит  области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Критическими точками  называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Критические точки ищут, исходя из требования, что при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий  попадет в критическую область, была равна принятому уровню значимости.

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

Когда  найдена, вычисляют по данным выборок  и, если  >  (правосторонняя критическая область), < (левосторонняя), <<, <  (двусторонняя), то  отвергается.

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей:

Пусть  и  распространены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными  и , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу .

1) выдвигаем конкурирующую гипотезу  (),

2) находим ,

3) по таблице критических точек Фишера –Снедекора находим  (), где  ,   и  - объём выборки, которой соответствует ,  - ,

4) если , то принимаем нулевую гипотезу, в противном случае – альтернативную.

Критерий Бартлетта. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема:

Пусть  распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки различных объемов . Найдены исправленные выборочные дисперсии. По уровню значимости  и исправленным выборочным дисперсиям проверить гипотезу об однородности дисперсий : .

1) находим , где

,

,

2) находим  по таблице критических точек ,

3) если , то принимаем нулевую гипотезу.

Критерий Кочрена. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема:

Пусть  распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки одинакового объёма . Найдены исправленные выборочные дисперсии, все с одинаковым числом степеней свободы . По уровню значимости  и исправленным выборочным дисперсиям проверить гипотезу об однородности дисперсий : .

1) находим

2) находим  по таблице критических точек Кочрена,

3) если , то принимаем нулевую гипотезу.

Сравнение двух математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны:

Пусть  и  распределены нормально, их дисперсии  известны. По выборкам объемов  и  найдены выборочные средние  и . По средним и  требуется проверить , то есть значимо или незначимо различаются средние.

1) выдвигаем конкурирующую гипотезу  (), [],

2) находим ,   

3) находим  из условия  (), [] по таблице значений функции Лапласа и симметричную ей ,

4) если  (), [], то принимаем нулевую гипотезу.

Сравнение двух математических ожиданий нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы:

Пусть  и  распределены нормально, их дисперсии  неизвестны. По выборкам объемов  и  найдены выборочные средние  и  и исправленные дисперсии и . По уровню значимости   требуется проверить , то есть значимо или незначимо различаются средние. Предполагаем (если есть основание) дисперсии одинаковы или сравниваем их.

1) выдвигаем конкурирующую гипотезу  (), [],

2) находим ,   

3) находим  по таблице критических точек Стьюдента и симметричную ей ,

4) если  (), [], то принимаем нулевую гипотезу.

Контрольные вопросы:

  1.  Понятие статистической гипотезы.
  2.  Нулевая и конкурирующая гипотезы.
  3.  Ошибки 1-го и 2-го рода.
  4.  Понятие  статистического  критерия. Наблюдаемое  значение критерия.
  5.  Критическая область, область принятия гипотезы. Критические точки.
  6.  Основной принцип проверки нулевой гипотезы.
  7.  Статистический критерий для проверки гипотезы . Закон его распределения.
  8.  Критерии Бартлетта и Кочрена.
  9.  Статистический критерий для проверки гипотезы  в случаях, когда дисперсии известны и неизвестны, но одинаковы. Законы их распределения.

Контрольные задания:

1. По двум независимым выборкам объёмов  и , извлечённым из нормальных генеральных совокупностей  и , найдены исправленные выборочные дисперсии =11,41 и =6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу  о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .

2. По четырём независимым выборкам, объёмы которых соответственно равны 10, 12, 15, 16, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25, 0,40, 0,36, 0,46. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область правосторонняя).

3. По четырём независимым выборкам одинакового объёма 17, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные дисперсии: 0,26, 0,36, 0,40, 0,42. Требуется:

1) при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область правосторонняя);

2) оценить генеральную дисперсию.

4. По двум независимым выборкам, объёмы которых соответственно равны 60 и 50, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние  и . Генеральные дисперсии известны: . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей .

5. По двум независимым малым выборкам, объёмы которых соответственно равны  и , извлечённым из нормальных генеральных совокупностей  и , найдены выборочные средние ,  и исправленные дисперсии  и  При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей .

Задания для домашней работы:

1. Две группы детей, одинаковых по оценке умственных способностей, независимо обучались по двум различным методикам. Затем их подвергли выборочному тестированию, давшему следующие результаты:

, ,

, .

В предположении, что изучаемые показатели в каждой группе имеют нормальное распределение, проверить при уровне значимости 0,05, существенно ли отличаются средние показатели групп. Альтернативную гипотезу взять .

2. По двум выборкам при уровне значимости 0,05 проверить сначала гипотезу о равенстве дисперсий и, если она принимается, то затем гипотезу о равенстве математических ожиданий:

73  69  66  74  72  76  75  72  72  64  68  73  68

68  69  71  60  80  72  72  69  69  75  72  71  69

Тема №14 «Дисперсионный анализ»

Цель:  научиться применять однофакторный дисперсионный анализ для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких нормально распределённых генеральных совокупностей.

Краткие теоретические сведения:

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить, оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор , который имеет  уровней  на изучаемую величину . Или, фактически, проверяют гипотезу о равенстве математических ожиданий наблюдаемых значений на каждом из уровней.

Идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порожденной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами.

Если различия между дисперсиями значимо, то фактор оказывает существенное влияние на , в этом случае математические ожидания наблюдаемых значений на каждом уровне (групповые средние) различаются также значительно.

Пусть на  действует фактор , который имеет  постоянных уровней. Будем предполагать, что число наблюдений (испытаний) на каждом уровне равно . Тогда наблюдалось  значений  признака , где  – номер испытания,  – номер уровня фактора.

Результаты наблюдений оформляются в виде таблицы:

№ испытания

Уровни фактора

1

2

Далее рассчитываем остаточную и факторную дисперсии по формулам:  

,

, ,

, .

Гипотеза о значимости фактора принимается, если , где  уровень значимости,  и отвергается, если  (смотрите тему о  сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей).

Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором и 2 – на третьем.

№ испытания

Уровни фактора

1

40

62

92

2

44

80

76

3

48

71

4

36

91

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Решение.

44942-40960=3982,

=44272-40960=3312,

Qост=3982-3312=670.

S2факт=, S2ост=.

, .

Так как Fнабл>Fкр – нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий отвергаем, следовательно, принимаем гипотезу о значимости фактора.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи дисперсионного анализа.

2. Факторная и остаточная дисперсии.

3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких генеральных совокупностей методом дисперсионного анализа.

4. Двухфакторный дисперсионный анализ.

5. Дисперсионные модели.

Контрольные задания:

1. Произведено по 4 испытания на каждом из трёх уровней. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Номер испытания

Уровни фактора

1

51

52

42

2

52

54

44

3

56

56

50

4

57

58

52

2. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Номер испытания

Уровни фактора

1

54

63

58

2

80

66

3

38

4

36

77

3. В четырёх экспериментальных центрах проверялись три методики тестирования. Данные об успешности тестирования приведены в таблице. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить влияние на успешность тестирования методик (фактор А) и экспериментальных центров (фактор В).

А1

А2

А3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

В1

50

54

58

62

60

58

65

71

65

В2

54

46

50

64

59

60

59

54

61

В3

52

48

50

70

62

60

59

66

64

В4

60

55

56

58

54

50

71

74

62

Задания для домашней работы:

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями.

Номер испытания

Уровни фактора

1

42

66

35

64

70

2

55

91

50

70

79

3

67

96

60

79

88

4

67

98

69

81

90

Тема №15 «Применение непараметрических критериев»

Цель:  научиться применять критерий  - Пирсона,  - критерий Колмогорова,  - критерий Колмогорова – Смирнова, ранговый критерий Уилкоксона для сравнения эмпирического распределения с теоретическим или для установления однородности двух эмпирических распределений.

Краткие теоретические сведения:

Если закон распределения генеральной совокупности неизвестен, то соответствующие критерии, используемые для установления этого закона, называются непараметрическими.

- критерий Пирсона:

Критерий согласия Пирсона служит для проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. Сравнивается эмпирическое распределение с теоретическим, но возможно и сравнение двух эмпирических распределений.

1) выдвигаем гипотезу о том, что данное эмпирическое распределение подчиняется конкретному закону,

2) находим , где  и - эмпирические и теоретические частоты,

то есть определяем меру расхождения эмпирических и теоретических частот,

3) для выбранного уровня значимости по таблице  - распределения находим критическую точку , где ,  - число интервалов эмпирического распределения,   - число параметров теоретического распределения,

4) если <, то частоты расходятся незначительно, а, следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Критерий Колмогорова:

Имеет то же назначение что и критерий Пирсона.

1) выдвигаем гипотезу о том, что данное эмпирическое распределение подчиняется конкретному закону,

2) строим эмпирическую функцию распределения  и предполагаемую теоретическую ,

3) находим , где ,

4) по таблице критических точек для данного уровня значимости находим ,

5) если , то принимаем нулевую гипотезу.

Критерий Колмогорова – Смирнова:

Служит для проверки гипотез об однородности выборки – то есть гипотез о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной о той же генеральной совокупности. Сравниваются две эмпирические функции распределения.

1)  выдвигаем гипотезу о том, что выборки однородны,

2) находим  , где  - эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам объемов  и ,

3) при  находим в специальных таблицах, при   совпадает со статистикой Колмогорова  ,

4) если <, то принимаем нулевую гипотезу, то есть выборки однородны.

Ранговый критерий Уилкоксона:

Критерий Уилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок:  и , распределения которых неизвестны, но величины должны быть непрерывными. Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения   и .

1) выдвигаем нулевую гипотезу о том, что выборки однородны, то есть , тогда конкурирующая гипотеза  (), [],

2) ранжируем варианты обеих выборок,  - сумма рангов номеров вариант первой выборки,

3)  (), [] находим по таблице критических точек Уилкоксона, если ,

и , где [ ] – целая часть числа, (), [] находим, используя таблицу функции Лапласа, если ,

4) находим ещё одну критическую точку по формуле ,

5) если  (>), [<].

Контрольные вопросы:

1. Назначение  - критерия  Пирсона.

2. Наблюдаемое и критическое значения критерия Пирсона.

3. Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим с помощью критерия Пирсона.

4. Назначение  - критерия Колмогорова.

5. Наблюдаемое и критическое значения критерия Колмогорова.

6. Алгоритм сравнения эмпирического распределения с теоретическим с помощью критерия Колмогорова.

7. Назначение  - критерия Колмогорова – Смирнова.

8. Наблюдаемое и критическое значения критерия Колмогорова - Смирнова.

9. Алгоритм сравнения двух эмпирических распределений с помощью критерия Колмогорова.

10. Ранговый критерий Уилкоксона.

11. Правила ранжирования.

12. Наблюдаемое и критическое значения критерия Уилкоксона.

13. Алгоритм проверки однородности двух выборок с помощью критерия Уилкоксона.

Контрольные задания:

1. Вычислить, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, теоретические частоты и, используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами  и вычисленными теоретическими .

5

7

9

11

13

15

17

19

21

15

26

25

30

26

21

24

20

13

2. В гениальной комедии Н. В Гоголя «Женитьба» у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было четыре жениха. На смотринах внимательная тётушка наблюдала за поведением Агафьи:

благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз

благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича 5 раз

благосклонно смотрела на Ивана Павловича 8 раз

благосклонно смотрела на Бальтазара Бальтазарыча 5 раз

Кому из женихов Агафья Тихоновна отдаёт наибольшее предпочтение?

3. В выборке из здоровых лиц мужского пола, студентов технических и военно-технических вузов в возрасте от 19 до 22 лет, средний возраст 20 лет, проводился тест Люшера в 8 -цветном варианте. Установлено, что жёлтый цвет предпочитается испытуемыми чаще, чем отвергается. Можно ли утверждать, что распределение жёлтого цвета по 8 позициям у здоровых испытуемых отличается от равномерного распределения? Экспериментальные данные наблюдаемых частот попадания жёлтого цвета на каждую из восьми позиций представлены в таблице.

Позиции жёлтого цвета

1

2

3

4

5

6

7

8

Наблюдаемые частоты

24

15

13

8

15

10

9

8

4. Сопоставить данные, полученные в предыдущем примере, с данными обследования

Х. Кларом 800 испытуемых. Х. Кларом было показано, что жёлтый цвет является единственным цветом, распределение которого по восьми позициям не отличается от равномерного. Для сопоставления им использовался метод . Полученные им наблюдаемые частоты представлены в таблице.

Позиции жёлтого цвета

1

2

3

4

5

6

7

8

Наблюдаемые частоты

98

113

116

87

91

112

97

86

5. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объёмов 6 и 8 при конкурирующей гипотезе .

15

23

25

26

28

29

12

14

18

20

22

24

27

30

6. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объёмов 30 и 50 при конкурирующей гипотезе , если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки =1600.

Задания для домашней работы:

1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами  и теоретическими , которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

14

18

32

70

20

36

10

10

24

34

80

18

22

12

2. В эксперименте психологу необходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чистоты эксперимента необходимо получить «идеальный» кубик, то есть такой, чтобы при достаточно большом числе подбрасываний каждая его грань выпадала бы примерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный кубик близок к идеальному? Для решения этой задачи психолог подбрасывал кубик 60 раз, при этом количество выпадений каждой грани распределилось следующим образом:

Грани кубика

1

2

3

4

5

6

Количество выпадений

12

9

11

14

8

6

3. Известны результаты психологического тестирования в виде двух выборок, объёмы которых соответственно равны 6. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности при конкурирующей гипотезе .

12

10

8

15

14

11

13

9

16

17

7

18

 

4. Используя критерий Уилкоксона, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок, объёмы которых соответственно равны 30 и 50, при конкурирующей гипотезе , если известно, что сумма порядковых номеров вариант первой выборки в общем вариационном ряду =1150.

Тема №16 «Корреляционно-регрессионный анализ»

Цель:  научиться составлять выборочные уравнения линейной регрессии в случае сгруппированных данных, вычислять выборочный коэффициент линейной корреляции и проводить оценку его значимости, проверять значимость уравнения линейной регрессии с помощью дисперсионного анализа, делать прогноз значений зависимой переменной.

Краткие теоретические сведения:

Основная задача корреляционного анализа – выявление связи между случайными переменными и оценка её тесноты.

Статистической зависимостью называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечёт изменение распределения других величин.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, при которой изменение одной из величин изменяет среднее значение других.

В психологических исследованиях имеет место статистический разброс данных: при одном и том же значении одной величины другая величина принимает несколько значений и наоборот. Графическое изображение экспериментальных данных называется диаграммой рассеяния.

Необходимы ответы на вопросы:

1) какой вид имеет тенденция,

2) какая теснота между тенденцией и разбросом данных.

Для этого необходимо не сгруппированные данные подвергаются первичной обработке. Составляется корреляционная таблица.

        

где ,  – середины интервалов, , , .

Для ответа на первый вопрос используем аппроксимацию. Наиболее простой вариант – квадратическая аппроксимация, которая обосновывает метод наименьших квадратов.

Суть его состоит в том, что сумма квадратов отклонений между экспериментальным и теоретическим значениями должна быть минимальной:

.

Если , тогда .

Из теории функции нескольких переменных известно, что для минимума необходимо равенство нулю всех частных производных:

Решив данную систему относительно неизвестных коэффициентов  мы получим уравнения, которые называются уравнениями регрессии:

- выборочное уравнение регрессии  на ,

- выборочное уравнение регрессии  на .

Для линейной зависимости:

или

,

где  и  – выборочные коэффициенты регрессии  на  и  на .

Для их нахождения используются формулы и данные корреляционной таблицы:

, .

Для ответа на второй вопрос вводим еще одну характеристику, учитывающую разброс данных вокруг линии регрессии, то есть тесноту связи - выборочный коэффициент корреляции:

Знак берётся равным знаку коэффициентов регрессии, которые оба или положительны или отрицательны. При этом один коэффициент регрессии по абсолютной величине больше 1, другой  меньше 1. Коэффициент корреляции не имеет размерности и .

Так как выборка случайна, то отличное от нуля значение выборочного коэффициента линейной корреляции необходимо проверить на значимость.

1) на уровне = 0,05 выдвигаем нулевую гипотезу  при конкурирующей ,

2) в качестве критерия проверки используем случайную величину ,

3) табличное значение  находим по таблице распределения Стьюдента,

4) если , то принимаем нулевую гипотезу, а значит, генеральный коэффициент линейной корреляции равен нулю.

Основная задача регрессионного анализа – установление формы и изучение зависимости между переменными, оценка функции регрессии, прогноз значений зависимой переменной.

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной зависимой переменной  от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной : , где  - возмущение, характеризующее отклонение от функции регрессии.

Будем рассматривать только линейный регрессионный анализ.

определяется по МНК, а воздействие неучтённых случайных факторов и ошибок наблюдений в модели находится с помощью дисперсии возмущений или остаточной дисперсии, несмещённой оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия:

,

где – групповая средняя, найденная по уравнению регрессии, – выборочная оценка возмущения или остаток регрессии.

Доверительный интервал прогноза среднего значения:

,

где  

,

находим по таблице распределения Стьюдента

При определении доверительного интервала для индивидуальных значений  зависимой переменной вместо  берём

.

Доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений  определяется формулой:

.

Проверка значимости уравнения регрессии (используется дисперсионный анализ):

Вычисляем несмещённые оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтённых случайных факторов и ошибок,  - число оцениваемых параметров уравнения регрессии,  - число наблюдений по формулам:

,

, ,

, .

Гипотеза о значимости уравнения регрессии принимается, если

, где  уровень значимости,  и отвергается, если .

Контрольные вопросы:

1. Статистическая и корреляционная зависимость.

2. Диаграмма рассеяния.

3. Корреляционная таблица.

4. Расчет средних по данным корреляционной таблицы.

5. Суть метода наименьших квадратов.

6. Выборочные коэффициенты линейной регрессии, их свойства и геометрический смысл.

7. Выборочные уравнения линейной регрессии.

8. Выборочный коэффициент линейной корреляции и его свойства.

9. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной регрессии.

10. Основная задача регрессионного анализа.

11. Основные предпосылки регрессионного анализа.

12. Возмущения и дисперсия возмущений.

13. Доверительный интервал прогноза среднего значения.

14. Доверительный интервал прогноза индивидуального значения.

15. Проверка значимости уравнения регрессии.

Контрольные задания:

1. При исследовании пяти групп людей на степень подверженности гипнозу использовались различные методики. Получены следующие данные:

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1,0

1,3

1,4

1,9

2,0

Проверить целесообразность линейной аппроксимации зависимости результатов исследований от конкретной методики и определить коэффициенты этой зависимости МНК.

2. Используя метод наименьших квадратов, сгладить с помощью функций заданного вида следующие табличные зависимости:

а)

x

-1

0

2

3

5

y

1

2

5

9

24

 

б)

x

1

2

4

7

8

10

y

2

8

25

55

68

80

 

в)

x

-2

-1

1

2

3

5

y

1

0,8

0,4

0,1

0

0

 

3. Составить выборочные уравнения линейной регрессии Y на Х и Х на Y, вычислить выборочный коэффициент корреляции  по выборочным данным, представленным в таблице:

170

172

174

176

178

180

182

65

8

4

2

70

15

19

11

5

1

75

7

10

16

11

3

80

2

8

12

3

1

1

2

85

3

2

5

4

5

4. При обследовании 50 учеников 4-го класса получены следующие данные о весе и росте учащихся:

(24,125) (28,128) (26,128) (30,133) (25,127) (26,127) (27,127) (28,130)

(26,127) (27,128) (27,128) (28,129) (28,130) (24,126) (28,130) (29,131)

(26,127) (28,131) (26,128) (29,130) (27,130) (29,130) (27,129) (26,127)

(28,129) (28,130) (25,128) (28,129) (29,131) (27,130) (27,129) (29,131)

(28,129) (27,128) (25,126) (27,129) (28,129) (27,129) (29,129) (27,128)

(28,129) (28,130) (26,128) (25,126) (30,132) (25,127) (26,129) (26,129)

(27,128) (29,132)

Представить результаты обследования в виде корреляционной таблицы. По данным корреляционной таблицы оценить тесноту связи между весом (X) и ростом (Y) учеников четвертого класса и составить выборочное уравнение линейной регрессии X на Y.

5. Проверить значимость выборочных коэффициентов корреляции, полученных в задачах 2 и 3 при .

Задания для домашней работы:

1. Используя метод наименьших квадратов, сгладить с помощью функций заданного вида следующие табличные зависимости:

 а)

x

1,8

2

2,4

2,7

3,3

y

5

4

7

8

10

б)

x

0,5

1

2

4

6

y

1

3

9

22

45

      в)

x

-2

0

1

1,2

1,5

y

1

0,3

0,2

0,2

0,2

  1.  При приёме на работу 14 кандидатам на вакантные должности было предложено два теста. Результаты тестирования (в баллах) приведены в таблице:

32

30

36

40

41

47

56

54

60

55

61

67

69

76

20

24

28

30

31

33

34

37

38

40

41

43

45

48

а) найти уравнение регрессии  по ,

б) проверить значимость уравнения регрессии на 5%-ном уровне по  - критерию,

в) оценить среднее значение показателя второго теста с показателем первого 60 баллов и построить для него 95%-ный интервал, аналогичный доверительный интервал найти для индивидуальных значений.

Тема №26 «Анализ и сглаживание временных рядов»

Цель: научиться находить основные характеристики временного ряда, сглаживать ряд методами наименьших квадратов и скользящего среднего, проверять значимость уравнения тренда, делать краткосрочный и среднесрочный прогнозы.

Краткие теоретические сведения:

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Х  в последующие равноотстоящие моменты времени.

Отдельные наблюдения называются уровнями ряда - , – число уровней.

В общем виде при исследовании временного ряда  выделяется несколько составляющих: (, где:

тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая тенденцию изменения признака,

– сезонная компонента, отражающая повторяемость процессов в течение не очень длительного периода,

– циклическая компонента, отражающая повторяемость процесса в течение длительных периодов,

– случайная компонента, отражающая влияние неподдающихся учету и регистрации случайных факторов.

, ,  – являются закономерными, неслучайными.

Стационарные временные ряды – ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Временной ряд () называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей  наблюдений  такое же, как и  наблюдений  при любых , и , то есть закон распределения и его числовые характеристики не зависят от времени. Следовательно, среднее значение и дисперсия может быть оценены по наблюдениям () по формулам:

,

.

Степень тесноты связи между наблюдениями временного ряда  и  (сдвинутых относительно друг друга на  единиц) может быть определена с помощью автокорреляционной функции .

Статистической оценкой  является выборочный коэффициент автокорреляции :

Функцию  называют выборочной автокорреляционной функцией, а её график – коррелограммой. При расчете  обычно берут .

Важнейшей классической задачей при исследовании временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции (тренда) развития изучаемого процесса и отклонений от неё, а также прогнозирование на его основе дальнейшего развития процесса.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов.

Другим методом выравнивания временного ряда, то есть выделения неслучайной составляющей является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Значимость полученного уравнения тренда проверяется по - критерию. Затем можно приступать к прогнозу.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему применимы рассмотренные выше методы анализа.

Следует, однако, иметь в виду, что при работе с временными рядами возмущения во многих случаях не являются независимыми случайными величинами с математическим ожиданием равным нулю. Если последовательные значения  коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции возмущений.

С помощью критерия Дарбина – Уотсона проверяется гипотеза об отсутствии автокорреляции между соседними остаточными членами ряда  и , где  – выборочная оценка .

Статистика имеет вид: .

При достаточно большом : .

Если : – корреляция отсутствует,  – полная положительная корреляция,  – полная отрицательная корреляция.

Если  – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается,  или – в таком случае вопрос остается открытым, – принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции, – принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

и  находим в таблице критических точек Дарбина – Уотсона.

В случае отсутствия автокорреляции возмущений методом регрессионного анализа может быть найдена не только точечная, но и интервальная оценка уровней ряда, то есть осуществлены их точечный и интервальный прогнозы.

Если в рассматриваемой регрессионной модели автокорреляция возмущений существует, то необходимы меры по её устранению. Используются различные методы.

Один из них - использование авторегрессионной модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, то есть переменные влияние которых в регрессионной модели характеризуется некоторым запаздыванием.

Авторегрессионная модель -го порядка:

, ().

Контрольные вопросы:

1. Временной ряд, его уровни.

2. Составляющие временного ряда.

3. Основная задача исследования временных рядов.

4. Основные этапы анализа временных рядов.

5. Стационарные и строго стационарные временные ряды.

6. Автокорреляционная функция и её оценка.

7. Методы сглаживания временного ряда.

8. Проверка значимости уравнения тренда.

9. Автокорреляция возмущений.

10. Критерий Дарбина – Уотсона.

11. Методы снижения автокорреляции возмущений.

12. Точечный и интервальный прогнозы развития изучаемого процесса.

13. Авторегрессионная модель.

Контрольные задания:

В таблице приведены данные, отражающие цену и спрос на некоторый лекарственный препарат за восьмилетний период (усл. ед.):

Год,

1

2

3

4

5

6

7

8

Цена,

492

462

350

317

340

351

368

381

Спрос,

213

171

291

309

317

362

351

361

а) для ряда  найти среднее значение, СКО и коэффициенты автокорреляции (для лагов =1;2),

б) для временного ряда  найти уравнение тренда, полагая его линейным,

в) проверить значимость полученного уравнения по  - критерию на 5%-ном уровне значимости,

г) провести сглаживание временного ряда  методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания  года,

д) выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции возмущений для временного ряда ,

е) дать точечную и интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на девятый год,

ж) выяснить на уровне значимости 0,05, оказывает ли цена влияние на спрос.

З) для ряда  составить авторегрессионную модель, проверить её значимость по  - критерию на 5%-ном уровне значимости.

Задания для домашней работы:

Провести анализ ряда  из предыдущего задания.

Самостоятельная работа

Тема №1 «Задачи теории вероятностей»

1. Решить задачу, используя теоремы сложения или умножения вероятностей.

1 Из коробки, в которой 15 синих и 5 красных стержней для авторучки, наудачу вынимают стержень, фиксируют его цвет и возвращают обратно в коробку. После этого наудачу одновременно извлекают два стержня. Найти вероятность того, что за оба раза извлекли два красных стержня.

2 Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий - с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
3 В двух ящиках находятся детали: в первом —
10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

4 Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком — 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

5 В первой урне 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны вынимают на удачу по одному шару, затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Какова вероятность того, что он белый?

6 Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что:

а) только один снаряд попадет в цель,

б) только два снаряда попадут в цель,

в) все три снаряда попадут в цель,

г) хотя бы один снаряд попадет в цель.

7 Студент Иванов подготовил к экзамену 20 вопросов из 25. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Какова вероятность того, что два из них Иванов знает, а один - нет?

8 В аптеке работают 4 мужчины и 12 женщин. По табельным номерам наудачу отобрано 8 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 мужчины?

9 Брошены две игральные кости.  Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме 6 очков?

10 В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрано 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

11 На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем, 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

12 В ящике 10 деталей, из которых окрашено 4. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

13 В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекают:

а) без возвращения,

б) с возвращением.

14 В читальном зале имеются 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

15 На перевозку груза были направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

2. Решить задачу, используя формулу полной вероятности или формулы Байеса.

1 В сельской библиотеке 2500 книг. Из них приключенческих 790, научно-популярных журналов 250, исторических 780, детских 680. Вероятность того, что книга издана после 2000 года соответственно равна 0,78, 0,65, 0,54, 0,35. Найти вероятность того, что читатель закажет книгу, изданную после 2000 года.

2 На склад аптечного киоска привезли 100 упаковок лекарственных средств. Из них 25 – анальгин, 36 – парацетамол, 39 – аспирин. Известны вероятности того, что указанные лекарственные средства удовлетворяют ГОСТу соответственно 0,98, 0,95, 0,97. Найти вероятность того, что извлеченное лекарственное средство, удовлетворяет ГОСТу и является парацетамолом.

3 Служащий банка может ездить на работу на трамвае или на автобусе. В 1/3 случаев он пользуется трамваем, а в 2/3 автобусом. Если он едет на трамвае, то опаздывает с вероятностью 0,05, а если на автобусе, то с вероятностью 0,01. Сегодня служащий опоздал. Какова вероятность, что он ехал на трамвае.

4 При разрыве бронебойного снаряда 20% от общего числа составляют крупные осколки, 30% – средние и 50% – мелкие. Крупный осколок пробивает броню танка с вероятностью 0,8, средний – с вероятностью 0,5, а мелкий осколок – с вероятностью 0,2.

а) Найти вероятность того, что в броне танка образовалась пробоина.

б) В результате испытания бронебойного снаряда броня танка оказалась пробитой. Какова вероятность того, что пробоина образовалась от мелкого осколка?

5 Два станка производят детали. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Первый станок производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым станком.

6 Два станка производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения бракованных деталей на первом станке - 0,04, на втором - 0,05. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь не бракованная.

7 Детали для сборки вырабатываются на двух станках, из которых первый производит деталей в 3 раза больше второго. При этом брак составляет в выпуске первого станка 0,025, а в выпуске второго — 0,015. Одна взятая наудачу деталь оказалась годной для сборки. Найти вероятность того, что она выработана на втором станке.

8 В магазин поставляют изделия две фабрики. В продукции первой из них 90% стандартных изделий, второй – 80%. Известно, что во всей стандартной продукции магазина количество изделий фабрик относятся как 27 : 8. Изделие, отобранное случайным образом из всей продукции, оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно изготовлено на второй фабрике.

9 С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьго – 20%, с четвёртого – 10%. Вероятности брака для каждого из станков 0,1%, 0,2%, 0,25%, 0,5% соответственно. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

10 Для участия в спортивных соревнованиях из  первой группы было выделено 4 студента, из второй - 6, из третьей – 5 студентов. Вероятность того, что студент каждый из групп попадает в сборную института равны 0,5, 0,4, 0,3 соответственно для каждой из групп. Наудачу выбранный участник попал в сборную. К какой из трёх групп он вероятнее всего принадлежит?

11 В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

12 Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

13 В деканат поступили работы (результаты тестирования) по трём предметам в соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из этих предметов соответственно равны 0,05, 0,02 и 0,08. Определить вероятность того, что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.

14 На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из первого цеха, 45% из второго цеха и 25% из третьего цеха. Среди изделий первого цеха брак составляет 0,6%, по второму цеху -  0,4% и по третьему цеху - 0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком?

15 Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесёт ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов  предприниматель, по меньшей мере, ничего не потеряет?

3. Решить задачу, используя формулы Бернулли или закон Пуассона.

1 Вероятность того, что расход лекарственного препарата в течение одних суток не превысит нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход препарата в течение 4 суток не превысит нормы.

2 Вероятность выигрыша по лотерейному билету 1/7. Какова вероятность того, что обладатель 5 билетов выиграет:

а) по всем пяти,

б) ни по одному,

в) хотя бы по одному билету?

3 Пусть вероятность того, что в течении гарантийного срока телевизор потребует ремонта 0,2. Найти вероятность того, что из шести телевизоров:

а) не более одного потребует ремонта;

б) хотя бы один потребует ремонт.

4 Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

5  В хлопке имеется 10% коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из пяти волокон окажется не более двух коротких?

6 Партия изделий содержит 6% брака. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 8 изделий окажется 3 бракованных.

7 В партии из 10 изделий 4 бракованных. Наугад выбирают 6 изделий с возвращением каждый раз вынутого изделия обратно. Определить вероятность того, что среди этих изделий окажется 2 бракованных.

8 Вероятность того, что стиральная машина потребует ремонта в течение гарантийного срока равна 0,01. Найти вероятность того, что из 500 стиральных машин в течение гарантийного срока потребуют ремонта:

а) три машины,

б) не менее одной машины.

9 В городе 14% пенсионеров и и среди них каждый двухсотый верит «некачественной» рекламе. Какова вероятность того, что хотя бы 2 пенсионера поверят рекламе, если население города составляет 10000 человек.

10 В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:

а) два студента;

б) не менее пяти студентов.

11 В партии деталей двух сходных форматов число крупных деталей вдвое больше числа мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?

12 При синтезировании в лабораторных условиях какого-то вещества вероятность взрыва в отдельном опыте 0,02. определить вероятность того, что:

а) в серии из 10 синтезов взрыв произойдет три раза,

б взрыва не произойдет.

13 Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных?

14 Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка?

15 Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.

4. Решить задачу, используя теоремы Муавра – Лапласа.

1 Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

2 Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

3 Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

4 Вероятность изготовления изделия отличного качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся отличного качества.

5 Фабрика выпускает в среднем 70% изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

6 При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Определить вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

7 Штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% брака. Пользуясь теоремой Лапласа, определить вероятность наличия от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм.

8 Вероятность рождения мальчика 0,515 . Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?

9 Процент отсева среди студентов первокурсников составляет 10%. Найти вероятность того, что из 900 будет отчислено от 80 до 110 студентов (включительно).

10 Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 не более 120 потребуют такую обувь.

11 Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами  и . Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

12 Вероятность того, что деталь не проверялась ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, не проверенных ОТК.

13 По статистическим данным, в 20% случаев коммерческому банку удается привлечь имеющихся у населения сбережения. Найти вероятность того, что среди населения данного округа численностью 1500 человек доля граждан, желающих вложить свои сбережения в коммерческий банк, отклонится от указанной вероятности не более чем на 0,03 (по абсолютной величине).

14 Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из которых равна 0,8. Оценить вероятность того, что приживутся от 100 до 440 кустарников (включительно).
15 Найти вероятность того, что среди наудачу взятых
100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных и не отполированных.

5. Дана случайная величина. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х (для первых пяти заданий),

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти М(Х), D(X), (X), если:

1 Х – число выпадений герба при четырёх подбрасываниях монетки

2 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность каждого попадания 0,7

3 Х – количество попаданий в мишень при трёх выстрелах, вероятность первого попадания 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,4

4 Х – число выпадений пяти очков при трёх подбрасываниях игральной кости

5 Х – число дождливых дней в неделю, если количество дождливых дней в году 170.

6

xi

0,5

1,0

1,7

2,0

2,4

2,8

pi

0,1

0,15

0,2

0,22

0,18

0,15

7

xi

1,5

3,2

5,1

7,4

8,9

10,5

pi

0,05

0,09

0,15

0,21

0,29

0,21

            8

xi

0

1

2

3

4

5

6

pi

0,03

0,06

0,11

0,17

0,23

0,22

0,18

 

            9

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

pi

0,02

0,08

0,14

0,17

0,19

0,16

0,13

0,11

 

             10

xi

10,1

10,8

11,6

12,5

13,6

14,8

pi

0,12

0,15

0,19

0,23

0,17

0,14

11

xi

10,1

10,3

10,5

10,6

10,8

pi

0,1

0,2

0,3

0,2

0,2

12

xi

0,5

1,5

2,6

3,8

4,3

pi

0,1

0,2

0,4

0,2

0,1

13

xi

-4,7

-4,5

-4,2

-3,9

-3,4

pi

0,11

0,13

0,22

0,24

0,3

14

xi

21

22

23

24

25

26

pi

0,15

0,20

0,25

0,20

0,15

0,05

15

xi

35

36

38

45

49

53

 55

pi

0,12

0,13

0,18

0,20

0,15

0,17

0,05

Тема №2 «Проверка статистических гипотез»

Из двух нормально распределенных генеральных совокупностей  и  получены малые независимые выборки, объемы которых

       и        ,

где [ ] означают целую часть числа, заключенного в эти скобки,  - порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Значения вариант  и  рассчитываются по формулам:

,  и , ,

где  – номер студенческой группы.

Требуется по данным выборкам при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу  при альтернативной гипотезе .

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

Решение. Определим объемы выборок:

===[2,5]+8=2+8=10

===[3]+7=3+7=10.

Далее найдем значения вариант обеих выборок:

x1=1+5,5=6,5; x2=7,5; x3=8,5; x4=9,5; x5=10,5; x6=11,5; x7=12,5; x8=13,5; x9=14,5; x10=15,5;

y1==2; y2=3; y3=4; y4=5; y5=6; y6=7; y7=8; y8=9; y9=10; y10=11.

Вычислим средние и исправленные дисперсии:

=11;

=·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=· 41,25=· 13,756≈9,167,

=6,5;

=·(2·4,52+2·3,52+2·2,52+2·1,52+2·0,52)=9,167.

Проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий , при конкурирующей .

, , так как , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Можно переходить к сравнению математических ожиданий.

, (0,05,18)=2,10, так как    то гипотеза  о равенстве математических ожиданий отвергается.

Тема №3 «Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном законе распределения»

По выборочным данным, представленным ниже, требуется проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критериям согласия Пирсона и критерию Колмогорова на уровне значимости 0,05.

Здесь  - номер студенческой группы,  - номер фамилии студента в журнале.

11,70

12,90

10,32

9,50

5,91

11,56

10,81

9,32

13,00

12,90

7,35

11,80

17,00+/10

14,10

9,74

9,76

6,96

15,05

14,67

9,73+N/10

11,35

10,51

15,95

12,41

13,56

6,68

13,75

16,95

8,81

10,60+N/10

13,90

9,03

7,39

13,85

11,99

6,23

12,56

12,03

12,97

15,95

11,00

7,76

10,48

12,80

12,05

12,33

5,60-/10

8,80

9,85

10,11+/10

9,75

13,70

12,09

13,40

9,02

6,67

12,37

11,67

12,00

13,60

15,21

9,70

13,70

16,10

13,60

14,40

14,75

8,06

13,01

10,70+N/10

13,57

15,30

12,30

15,85

17,60

11,25

12,75

11,50

12,27

11,50

9,21

10,79

11,11

12,31

16,80

16,20

10,36

6,86

12,90

8,64+(N+)/10

14,90

16,00

12,00

12,31

9,35

16,60

15,67

15,33

8,69+/10

12,07

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =0.

Решение.

11,70

12,90

10,32

9,50

5,91

11,56

10,81

9,32

13,00

12,90

7,35

11,80

17,00

14,10

9,74

9,76

6,96

15,05

14,67

9,73

11,35

10,51

15,95

12,41

13,56

6,68

13,75

16,95

8,81

10,60

13,90

9,03

7,39

13,85

11,99

6,23

12,56

12,03

12,97

15,95

11,00

7,76

10,48

12,80

12,05

12,33

5,60

8,80

9,85

10,11

9,75

13,70

12,09

13,40

9,02

6,67

12,37

11,67

12,00

13,60

15,21

9,70

13,70

16,10

13,60

14,40

14,75

8,06

13,01

10,70

13,57

15,30

12,30

15,85

17,60

11,25

12,75

11,50

12,27

11,50

9,21

10,79

11,11

12,31

16,80

16,20

10,36

6,86

12,90

8,64

14,90

16,00

12,00

12,31

9,35

16,60

15,67

15,33

8,69

12,07

Для удобства расположим варианты в порядке возрастания.

5,60

8,06

9,50

10,48

11,50

12,05

12,56

13,56

14,40

15,95

5,91

8,64

9,70

10,51

11,50

12,07

12,75

13,57

14,67

15,95

6,23

8,69

9,73

10,60

11,56

12,09

12,80

13,60

14,75

16,00

6,67

8,80

9,74

10,70

11,67

12,27

12,90

13,60

14,90

16,10

6,68

8,81

9,75

10,79

11,70

12,30

12,90

13,70

15,05

16,20

6,86

9,02

9,76

10,81

11,80

12,31

12,90

13,70

15,21

16,60

6,96

9,03

9,85

11,00

11,99

12,31

12,97

13,75

15,30

16,80

7,35

9,21

10,11

11,11

12,00

12,33

13,00

13,85

15,33

16,95

7,39

9,32

10,32

11,25

12,00

12,37

13,01

13,90

15,67

17,00

7,76

9,35

10,36

11,35

12,03

12,41

13,40

14,10

15,85

17,60

1) находим размах выборки:

,

2) определяем число классов разбиения по формуле Стерджесса:

,

3) находим величину классового интервала:

,

4) границы и середины частичных интервалов находим по формулам:

,

,

 и так далее,

,

 и так далее.

5) подсчитываем частоты попадания вариант в каждый интервал:

Границы

интервалов

Середина

интервала

Эмпирическая

частота

4,815

6,385

5,600

3

6,385

7,956

7,171

7

7,956

9,527

8,741

11

9,527

11,097

10,312

16

11,097

12,668

11,883

24

12,668

14,239

13,453

19

14,239

15,809

15,024

9

15,809

17,380

16,595

10

17,380

18,951

18,165

1

 

Эмпирический интервальный ряд составлен, найдём среднее значение и СКО:

, .

Теперь найдём теоретические частоты, предполагая нормальное распределение совокупности:

Границы

интервалов

Границы

интервалов

-

-

4,815

6,385

-

-5,497

-1,921

-0,5

-0,4726

0,0274

2,74

6,385

7,956

-5,497

-3,927

-1,921

-1,372

-0,4726

-0,4147

0,0579

5,79

7,956

9,527

-3,927

-2,356

-1,372

-0,823

-0,4147

-0,2939

0,1208

12,08

9,527

11,097

-2,356

-0,785

-0,823

-0,274

-0,2939

-0,1064

0,1875

18,75

11,097

12,668

-0,785

0,785

-0,274

0,274

-0,1064

0,1064

0,2128

21,28

12,668

14,239

0,785

2,356

0,274

0,823

0,1064

0,2939

0,1875

18,75

14,239

15,809

2,356

3,923

0,823

1,372

0,2939

0,4147

0,1208

12,08

15,809

17,380

3,923

5,497

1,372

1,921

0,4147

0,4726

0,0579

5,79

17,380

18,951

5,497

-

1,921

0,4726

0,5

0,0274

2,74

1

100

Найдём наблюдаемые значения  и .

3

2,74

0,03

0,0274

0,03

0,0274

0,0026

0,0247

7

5,79

0,07

0,0579

0,10

0,0853

0,0147

0,2529

11

12,08

0,11

0,1208

0,21

0,2061

0,0039

0,0966

16

18,75

0,16

0,1875

0,37

0,3936

0,0236

0,4033

24

21,28

0,24

0,2128

0,61

0,6064

0,0036

0,3477

19

18,75

0,19

0,1875

0,80

0,7939

0,0061

0,0033

9

12,08

0,09

0,1208

0,89

0,9147

0,0247

0,7853

10

5,79

0,10

0,0579

0,99

0,9726

0,0174

3,0612

1

2,74

0,01

0,0274

1,00

1,00

0

1,1050

=

=0,0247

=0,247

=

=6,080

 

Критические значения находим в соответствующих таблицах:

=, так как 6,08< , то принимается гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, аналогично

, так как <, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается и критерием Колмогорова.

Доказали, что совокупность распределена нормально, найдём оценки генеральных параметров этой совокупности.

-6,283

118,428

-744,083

4675,073

-4,712

155,421

-732,344

3450,805

-3,142

108,59

-341,19

1072,019

-1,571

39,489

-62,037

97,46

0

0

0

0

1,57

46,833

73,528

115,439

3,141

88,793

278,899

876,022

4,172

222,029

1046,201

4929,699

6,282

39,476

247,988

1557,861

8,19

-2,33

167,744

 

11,883

8,274

2,876

-0,0979

-0,548

12,064

11,948

Найдём доверительный интервал для математического ожидания  при неизвестной дисперсии .

, где ,

,

Найдём доверительный интервал для дисперсии  при неизвестном .

, где , ,

,

,

.

Тема №4 «Корреляционно-регрессионный анализ»

Найти выборочный коэффициент корреляции и составить выборочные уравнения прямых линий регрессии  на и  на  по данным корреляционной таблицы:

                  

3

2

6

4

1

13

5

1

2

4

8

4

2

2

4

6

2

6

1

5

1

4

1

2

4

1

1

1

1

Значения , ,  и  найти по формулам:

, ,

, ,

=,

=,

где  – номер студенческой группы,  – порядковый номер фамилии студента в групповом журнале.

Пример вычисления для студента с параметрами =0, =1.

По формулам вычисляем недостающие элементы.

                  

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

6

3

2

5

11

6

4

10

16

1

13

5

19

21

1

2

4

8

9

24

26

4

2

6

31

2

4

6

2

14

36

6

1

5

12

41

1

4

1

6

46

2

4

1

1

8

51

1

1

2

56

11

11

3

10

19

9

14

19

9

8

6

6

1

13

117

Вычислим выборочные средние, средние квадратов, среднее произведения и  и среднеквадратические отклонения:

,

=,

,

,

,

,

.

Тогда ,

,

.

Выборочное уравнение линейной регрессии  на  . В нашем случае .

Выборочное уравнение линейной регрессии  на  . В нашем случае .

Приложения

Значения функции Лапласа

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2704

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,0

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

1,6

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

1,7

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

1,8

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

1,9

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

2,0

0,4772

0,4778

0,4783

0,4788

0,4793

0,4798

0,4803

0,4808

0,4812

0,4817

2,1

0,4821

0,4826

0,4830

0,4834

0,4838

0,4842

0,4846

0,4850

0,4854

0,4857

2,2

0,4861

0,4864

0,4868

0,4871

0,4875

0,4878

0,4881

0,4884

0,4887

0,4890

2,3

0,4893

0,4896

0,4898

0,4901

0,4904

0,4906

0,4909

0,4911

0,4913

0,4916

2,4

0,4918

0,4920

0,4922

0,4925

0,4927

0,4929

0,4931

0,4932

0,4934

0,4936

2,5

0,4938

0,4940

0,4941

0,4943

0,4945

0,4946

0,4948

0,4949

0,4951

0,4952

2,6

0,4953

0,4955

0,4956

0,4957

0,4959

0,4960

0,4961

0,4962

0,4963

0,4964

2,7

0,4965

0,4966

0,4967

0,4968

0,4969

0,4970

0,4971

0,4972

0,4973

0,4974

2,8

0,4974

0,4975

0,4976

0,4977

0,4977

0,4978

0,4979

0,4979

0,4980

0,4981

2,9

0,4981

0,4982

0,4982

0,4983

0,4984

0,4984

0,4985

0,4985

0,4986

0,4986

3,0

0,4987

0,4987

0,4987

0,4988

0,4988

0,4989

0,4989

0,4989

0,4990

0,4990

3,1

0,4990

0,4991

0,4991

0,4991

0,4992

0,4992

0,4992

0,4992

0,4993

0,4993

3,2

0,4993

0,4993

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4995

0,4995

0,4995

3,3

0,4995

0,4995

0,4995

0,4996