Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Тема 9.1. Случайные события и операции над ними.

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 24.1.2022

ЧАСТЬ  4.  ОСНОВЫ  ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел 9. Случайные  события  и  их  вероятности

Тема 9.1. Случайные события и операции над ними. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Введение  (терминология).

Случайные  величины:  параметры погоды  (температура, давление, влажность), число студентов на лекции, срок службы элементов прибора, результат измерения (например, взвешивание) – их случайность усугубляется тем, что действительное число – высокая абстракция, малоинформативная, для практики в действительности важно нахождение результата измерения в некоторых допустимых пределах. (Что такое: «Результат  измерения равен π»? Что с ним делать?)

Неслучайные величины:    результаты вычисления  ,  .

Но во многих случайных событиях существуют закономерности (погода – времена года, средняя посещаемость лекции, бросание монеты), проявляющиеся при анализе большого числа однотипных событий. Только такие случайные события изучает теория вероятностей.

Как формулировать эти закономерности? Простейшая математическая модель для этого – классическое определение вероятности.

Интуитивно:  бросание монеты  (герб выпадает примерно в ½  бросаний),  кости  (6 очков выпадает примерно в 1/6 бросаний).

Пространство  элементарных событий  (ПЭС).

Опыт – процесс, исход которого – появление (наступление) или ненаступление исследуемого события.

Элементарное событие (ЭС)  ω  - неразложимый исход опыта. (ЭС  по другой терминологии – случай).

Одно и только одно из ЭС обязательно произойдет при опыте.

Ω = {ω} – множество всех ЭС данного опыта     ПЭС опыта.

А - событие в опыте  , т.е   А – некоторое подмножество  в  Ω. Событие А  происходит  в результате опыта произошло какое-либо ЭС . ЭС  называется благоприятным для А.

Пример. Опыт – одно бросание кости. Исход опыта – выпадение числа очков от 1 до 6.

                                      ЭС:  1, 2, 3, 4, 5, 6

                                      Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

                                      выпадение четного числа  (событие А)  не  ЭС.

                                     A ={2, 4, 6}    

                                     В ={1, 3, 5}     выпадение нечетного числа

                                     C={3, 6}      выпадение числа очков, делящегося на 3

В примере  А, В, С – различные события.

Ω – достоверное событие  (всегда наступает),   – невозможное событие (никогда не наступает).

 

Операции над событиями

Пусть    (=>  операции над событиями аналогичны операциям над  множествами).

1) A = B     A=B   как подмножества  Ω.

2) А + В  происходит    происходит  А  или   В   (Теория множеств:  А  B)

3)    происходит    происходит   и  А, и   В  ()

А, В  - несовместные события  Ø       = Ø. ( А  и  В  не могут наступить одновременно)

4)  А – В  наступает    наступает  А, но не наступает  В      (A\B).

5)  -  противоположное к  А  событие.

    -  наступает  не наступает  А.                                                      ()

6)    -    А  -   частный случай В  

                       если наступает А,  то наступает  В  (A  =>  B)                  

Классическое определение вероятности

Пусть - ПЭС опыта, состоящего из конечного множества  равновозможных   (из симметрии опыта) ЭС,     состоит из  m  ЭС  ()

 - вероятность наступления события  А  в опыте.

Из определения очевидны следующие свойства вероятности:

    Р(Ø) = 0,  Р(Ω) = 1.

   

   

Примеры.  Кость.  P(A > 4) =   2/6  =  1/3.

                 Урна:  3  белых,  7 черных шаров.  Р (вынут белый шар) = 3/10.

Теорема сложения.  Для любых  

Если  А  и  В  несовместны, то  P(A+B) = P(A)  +  P(B).

Доказательство.  

Если А и  В  несовместны, то  А· В = Ø  =>  m = 0  =>  P(A· B) = 0.

Следствие.  Для попарно несовместных событий  

Определение.   Условной вероятностью   события  А при наличии события  В  называется вероятность события  А, при условии, что событие  В  произошло.

Пример. Бросаем кость. A = {2},   B = {2, 4, 6}. Р(А = 2) = 1/6, P(A| B) =  1/3, P(B|A) =  1.

Определение.  А, В – независимые, если  Р(А | B) = P(A),  равносильно  Р(В | A) = P(B).

Пример. Опыт – два бросания монеты.    независимы.

Теорема умножения.  

Доказательство.

Пример 1 с двумя независимыми стрелками.

Пример 2. Бомба в самолете.                

Следствия.   1)  А,  В  независимы  

2) Для независимых в совокупности  

Определение независимых в совокупности событий : эти события попарно независимы и каждое  независимо от произведения любого числа остальных событий  .         

Независимость и несовместность.   Независимые события  А, В  с положительными вероятностями всегда совместны:   Попарная независимость событий

не влечет их независимость в совокупности:  Агапов. N 53.

Тема 9.2. Формула полной вероятности и формулы Байеса. Испытания Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона

Определение полной группы событий

События   образуют для опыта  полную группу событий, если они попарно несовместные    при  i j)  и в сумме дают достоверное событие  .

Аналогия из теории множеств: множество   представлено как объединение своих попарно непересекающихся подмножеств  .

Пусть для опыта  события      образуют полную группу событий;   при     Они называются гипотезами. Тогда для любого  события   

                                           

Доказательство.  

 несовместные     - несовместные. По теореме сложения

                    

Формула позволяет “укрупнить” пространство ЭС за счёт перехода к схеме неравновозможных  ЭС.

Пример.  В студенческой группе  a  отличных студентов,  b   хороших,  с   слабых. На экзамене  отличный студент получит  только 5, хороший – 4 или 5, слабый   2 или 3 . Выбирается 1 студент для экзамена.   Р(А – он получил 4 или 5)?

Формулы Байеса  (теорема гипотез).

- полная группа гипотез для опыта  . Известны их априорные вероятности

Проведен опыт, в результате которого произошло событие А. Найти апостериорные вероятности гипотез  

    По теореме умножения

                        

Пример. Отличники по математике в группах                                             Зима 2006 год

                                       Отл.в гр.    Числ. группы в %

СО1 – 1        9    из  28         0,321                21,2                      П01-1     9     25    0,36     37,3 %           

    1-  2         8          27         0,296                20,5                           1-2     2     25     0,08    37, 3%

    1-  3         3          25         0,12                  18,9                           1-3     1     17     0,06    25,3 %

    1-  4         7          25         0,28                  18,9

    1-  5         6          27         0,27                  20,5                       

           всего   33 из 132                                                                             12   из   67

Событие А – выбор отличника при случайном выборе одного студента с 1 курса факультета.

Р(А  -  выбор отл) =  33/132   =  0,25                                                      Р(А) = 0,179

Из какой группы выбран отличник?  По формулам Байеса

                                      P(ПО1-1|A) = 0,75

    CO1-2                                     0,244                                             ПО1-2    = 0,168

    СО1-3                                     0,092                                             ПО1-3    = 0,083

    СО1-4                                     0,212

    СО1-5                                     0,184

Пример. Случайность экз. оценки   -   на семинар!

Пример. В пробирке неизвестный бесцветный раствор. Гипотезы:

                                

                                         

                .

         

Опыт:  в пробирку капнули фенолфталеин, раствор стал малиновым – событие А  => в пробирке щелочь, т.к. при остальных веществах раствор останется бесцветным. Следовательно,    - не верны.                     

PAGE  5




1. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
2. і. КЛАСИФІКАЦІЯ ІіII ПО
3. Лабораторная работа по курсу общей физики
4. Индивидуальные особенности и нарушения памяти
5. Тема Решение задач Контролируемая самостоятельная работа студента Выполнила студентка 2 курса 3
6. Дно жизни в пьесе М
7. это не нечто вне меня это процесс встречи автора с реальностью с действом зрителя с выраженным предметом
8. Споруди транспорту АВТОМОБІЛЬНІ ДОРОГИ
9. ЛА Власова ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ
10. Пояснительная записка
11. на тему- ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ для курсантов и студентов 1 курса всех специально
12. тематическая статистикаrdquo; Цель предмета ldquo;Математическая статистикаrdquo; освоить методологию моде
13. темах чаще всего проявляются в виде ряда последовательно расположенных в хронологическом порядке значений
14. а 3 стадия повышенное АД с изменениями внутренних органов и нарушениями их функций
15. Анализ финансового состояния на примере ЗАО промтэкс
16. АтамекенПрод
17. 40 Цена- 135900 руб
18. 900 ТАУ лек
19. Возникновение и формирование профсоюзного движения
20. Адвокат у кримінальному процесі