Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Из этого определения следует что вектор где и ~ точки из множества параллелен

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


Прямые в пространстве

  Пусть  – подмножество точек пространства  Вектор  называется параллельным  множеству , если найдется такая пара точек  из множества , что . Из этого определения следует, что вектор , где  и точки из множества , параллелен . Будем говорить, что множество  проходит параллельно вектору , если вектор  параллелен этому множеству, и обозначать этот факт символом ║.                                                                                                                                                                                                   

  Подмножество  пространства  называется  прямой, если оно обладает следующими свойствами:

  1. Если вектор ,  параллельный множеству , отложить от некоторой точки  множества :, то конец  этого вектора также принадлежит .                       

  2. Если  параллелен , то вектор  параллелен множеству  при любом .

   3.  Если векторы и  параллельны прямой , то .

  Вектор ,  параллельный прямой , называется направляющим вектором этой прямой.

  Теорема 1.10. Справедливы следующие утверждения.

  1. Множество , состоящее из точек , , , является прямой при любой точке  и любом векторе .

  2. Если  прямая , которая проходит через точку , т.е. , и вектор

  параллелен прямой , то

                                       , .                                         

  Доказательство

  1. Сначала докажем, что вектор  параллелен множеству  тогда и только тогда, когда . Имеем:

                    ║, ,

                    .

  Отсюда сразу вытекает, что множество  обладает свойством 2 из определения прямой. Если же векторы  и  параллельны множеству , то каждый из них пропорционален вектору . Следовательно, , т.е. множество  обладает и свойством 2 из определения прямой.

  Множество  обладает также свойством 1 из определения прямой, так как, используя доказанное утверждение ║, имеем следующую цепочку импликаций:

        , ║, ,

         . ■

  Прямую, проходящую через точку  параллельно вектору , будем обозначать символом . Если задать координаты точки  и вектора :   и , то из равенства  следует, что координаты произвольной точки  прямой  имеют вид:

                       ,.

Эти уравнения называются, также как и уравнение , параметрическим уравнением прямой .

  Из теоремы 1.10 вытекает следствие.

  Следствие. Прямая  является единственной  прямой, проходящей через точки  и .

   Доказательство. Параметрическое уравнение прямой  имеет вид

, . Отсюда следует, что , если . Если же , то , т.е. прямая  проходит через точки  и .

  Прямая  будет единственной  прямой, проходящей через точки  и , если она совпадает с произвольной прямой , проходящей через точки  и . Так как точки  и  принадлежат прямой , то вектор ║. Отсюда следует, что параметрическое уравнение прямой  имеет вид: , , т.е. параметрические уравнения прямых  и  совпадают, поэтому эти прямые совпадают. ■

 Отрезок и луч. Уравнение прямой, проходящей через точки , можно записать также в виде:

                            , .

Справедливость этого утверждения вытекает из следствия к теореме 1.10 и следующей цепочки равносильных утверждений:

   .

  Множество точек , называется отрезком  в пространстве . Отрезок  содержит точки  и : точку  получаем при значении , а точку  – при значении . Точки  и  называются концами отрезка . Точка , принадлежащая отрезку и не совпадающая с его концами, называется внутренней точкой этого отрезка. Отрезок  является подмножеством прямой, проходящей через точки  и .

  Точки отрезка , где ,, и только они являются решениями системы уравнений

                   ,…, , .

   Множество точек , ,  называется лучом , параллельным вектору  с началом в точке .     

Задачи

  1. Построить прямую  :

  a) , , б) , .

  2. Построить луч , :  

  а) , , б) , .

  3. Выяснить, принадлежит ли точка

  а) прямой, проходящей через точку  параллельно вектору ;

  б) лучу с началом в точке  и параллельному вектору ;

  в) отрезку  с концами  и .

  4. Даны три точки: , , . Выяснить, принадлежит ли точка

  а)  прямой, проходящей через точки  и ;

  б)  лучу, проходящему параллельно вектору  с началом в ;

  в)  отрезку .

  5. Доказать, что =, где и — точки пространства .

 6. Прямые в пространстве  называются параллельными, если они имеют общий направляющий вектор. Доказать, что если прямые не совпадают и параллельны, то они не имеют общих точек.

  7. Доказать, что параллельные прямые, имеющие общую точку, совпадают.




1.  все сеансы Реконструкции 2 раза в неделю по 3 часа которые попадают в период с 1 по 30 или 31 число в зави
2. экономическими расчетами и применяться при согласовании с энергосистемой
3. Обоснование постановки поисковооценочных работ на ЮжноОрловском месторождении1
4. а Задача рассеяния- фазовая теория фазы рассеяния матрица рассеяния Напомнить квантовую постановку з
5. Роль государства в переходной экономике Украины
6. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Харків ~2
7. .. тот кто велит нам познать самих себя приказывает познать свою душу.html
8. Международный государственный экологический университет имени А
9. 1 POP3 англ Post Office Protocol Version 3 протокол почтового отделения версия 3 стандартный Интернетпротокол при
10. Тема урока- Моя любимая игрушка Цель урока- систематизация лексических единиц по теме Игрушки Задачи
11. Im westen nichts Neue
12. Тема-Аналіз рядів динаміки Обсяг часу2г Контрольні запитання для вивчення теми 1
13. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата сільськогосподарських наук.1
14. Сперанский - святило российской бюрократии
15. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по истории Класс- 9.html
16. 22-34 Подвижная игра ~ это увлекательная эмоционально насыщенная деятельность р
17. Авторская позиция и форма ее выявления Ф.М. Достоевского Преступление и наказание
18. Модуль 4 Защита населения и объектов от ЧС ЗАНЯТИЕ 7.
19. темах 6 Макроэкономическая политика в рыночной экономике
20. Монополия, олигополия, монопсония