Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Из этого определения следует что вектор где и ~ точки из множества параллелен

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13

Загрузка...

Диплом на заказ

Прямые в пространстве

  Пусть  – подмножество точек пространства  Вектор  называется параллельным  множеству , если найдется такая пара точек  из множества , что . Из этого определения следует, что вектор , где  и точки из множества , параллелен . Будем говорить, что множество  проходит параллельно вектору , если вектор  параллелен этому множеству, и обозначать этот факт символом ║.                                                                                                                                                                                                   

  Подмножество  пространства  называется  прямой, если оно обладает следующими свойствами:

  1. Если вектор ,  параллельный множеству , отложить от некоторой точки  множества :, то конец  этого вектора также принадлежит .                       

  2. Если  параллелен , то вектор  параллелен множеству  при любом .

   3.  Если векторы и  параллельны прямой , то .

  Вектор ,  параллельный прямой , называется направляющим вектором этой прямой.

  Теорема 1.10. Справедливы следующие утверждения.

  1. Множество , состоящее из точек , , , является прямой при любой точке  и любом векторе .

  2. Если  прямая , которая проходит через точку , т.е. , и вектор

  параллелен прямой , то

                                       , .                                         

  Доказательство

  1. Сначала докажем, что вектор  параллелен множеству  тогда и только тогда, когда . Имеем:

                    ║, ,

                    .

  Отсюда сразу вытекает, что множество  обладает свойством 2 из определения прямой. Если же векторы  и  параллельны множеству , то каждый из них пропорционален вектору . Следовательно, , т.е. множество  обладает и свойством 2 из определения прямой.

  Множество  обладает также свойством 1 из определения прямой, так как, используя доказанное утверждение ║, имеем следующую цепочку импликаций:

        , ║, ,

         . ■

  Прямую, проходящую через точку  параллельно вектору , будем обозначать символом . Если задать координаты точки  и вектора :   и , то из равенства  следует, что координаты произвольной точки  прямой  имеют вид:

                       ,.

Эти уравнения называются, также как и уравнение , параметрическим уравнением прямой .

  Из теоремы 1.10 вытекает следствие.

  Следствие. Прямая  является единственной  прямой, проходящей через точки  и .

   Доказательство. Параметрическое уравнение прямой  имеет вид

, . Отсюда следует, что , если . Если же , то , т.е. прямая  проходит через точки  и .

  Прямая  будет единственной  прямой, проходящей через точки  и , если она совпадает с произвольной прямой , проходящей через точки  и . Так как точки  и  принадлежат прямой , то вектор ║. Отсюда следует, что параметрическое уравнение прямой  имеет вид: , , т.е. параметрические уравнения прямых  и  совпадают, поэтому эти прямые совпадают. ■

 Отрезок и луч. Уравнение прямой, проходящей через точки , можно записать также в виде:

                            , .

Справедливость этого утверждения вытекает из следствия к теореме 1.10 и следующей цепочки равносильных утверждений:

   .

  Множество точек , называется отрезком  в пространстве . Отрезок  содержит точки  и : точку  получаем при значении , а точку  – при значении . Точки  и  называются концами отрезка . Точка , принадлежащая отрезку и не совпадающая с его концами, называется внутренней точкой этого отрезка. Отрезок  является подмножеством прямой, проходящей через точки  и .

  Точки отрезка , где ,, и только они являются решениями системы уравнений

                   ,…, , .

   Множество точек , ,  называется лучом , параллельным вектору  с началом в точке .     

Задачи

  1. Построить прямую  :

  a) , , б) , .

  2. Построить луч , :  

  а) , , б) , .

  3. Выяснить, принадлежит ли точка

  а) прямой, проходящей через точку  параллельно вектору ;

  б) лучу с началом в точке  и параллельному вектору ;

  в) отрезку  с концами  и .

  4. Даны три точки: , , . Выяснить, принадлежит ли точка

  а)  прямой, проходящей через точки  и ;

  б)  лучу, проходящему параллельно вектору  с началом в ;

  в)  отрезку .

  5. Доказать, что =, где и — точки пространства .

 6. Прямые в пространстве  называются параллельными, если они имеют общий направляющий вектор. Доказать, что если прямые не совпадают и параллельны, то они не имеют общих точек.

  7. Доказать, что параллельные прямые, имеющие общую точку, совпадают.




1. Задание 1. Укажите вправе ли субъекты Федерации принимать собственные законы по следующим вопросам обосну
2. 235 Пи от S2 229 Пи Определите разность фаз колебаний Ф и порядок интерференции k
3. ТЕМА ПИТАНИЯ двигателей газом Нижний Новгород 2003 С
4. Экономическая интеграция стран СНГ (доклад
5. у деревьев и 117 ~ у неба я по крайней мере должен был бы воспринимать целое разделенным именно на такие част
6. История и тенденции развития искусственного интеллекта
7. Тема урока- Шипящие согласные звуки
8. на тему Відмивка декоративної вази для студентів 1го курсу за спрямуванням Архітектура денної форм
9. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук.2
10. Тема 14 Управление рисками Цель- изучить понятие риска рассмотреть классификацию рисков источники возни
11. Тема- Особенности обеспечения лечебноохранительного режима в различных отделениях стационара и поликлини
12. Значение Порт-Артура в русско-японской войне
13. Процесс правового регулирования конфликтов в социально-трудовой сфере
14. введение [2] 2
15. Лекція 3 УКРАЇНСЬКІ ЗЕМЛІ ПІД ВЛАДОЮ ЛИТВИ І ПОЛЬЩІ Захоплення українських земель литовськими і пол
16. культурные герои.html
17. Тема 3 Создание сложных документов 3
18. це організації які об'єдналися разом для того щоб допомогти собі та іншим не маючи перед собою цілі отрима
19. Техника выполнения перевозок скоропортящихся грузов
20. Функции государства в экономике