Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Лекция 15 пп.15.235 основан на определении постоянных интегрирования в общем решении дифференциального уравн

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


2.7 Решение уравнений цепи непосредственным интегрированием.  Затухающие колебания в LCR-контуре.

Метод непосредственного интегрирования, использованный при расчете переходных процессов в простейших цепях (Лекция 15, пп.15.2,3,5), основан на определении постоянных интегрирования в общем решении дифференциального уравнения путем решения системы уравнений, выражающих искомую величину и ее младшие производные при t = 0. Этот метод целесообразно применять к уравнениям невысокого порядка при достаточно простом законе изменения действующих в цепи источников f(t) — постоянных во времени [f(t) = f0 = соnst], синусоидальных [f(t) = sin ( t + )] и экспоненциальных [f(t) = е t].

Ограничимся рассмотрением системы уравнений второго порядка, которая в развернутой форме имеет общий вид:

Определим переменную состояния х1.  Ее общее решение имеет вид суммы частного решения неоднородной системы  и общего решения однородной системы :

Для перечисленных законов изменения внешних источников f(t) частные решения  и  находят в результате подстановки в уравнения состояния выражений вида , где  и  — константы; (t) — функция, выражающая закон изменения внешних источников. Для цепи, находящейся под действием постоянных источников (t) = 1, при воздействии синусоидального источника с частотой  частное решение определяют в виде (t= А sin t + В соs t; для экспоненциального возбуждения цепи(t) = еt. Подстановка указанных частных решений в уравнения состояния приводит их к алгебраической системе, из которой находят константы  и . Для случаев постоянного и синусоидального источников это частное решение определяется состоянием цепи после окончания переходного процесса. Его можно найти как из системы уравнений состояния указанным способом, так и непосредственно из анализа рассчитываемой цепи в установившемся режиме при t   .

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при различных корнях характеристического уравнения имеет вид

Для определения корней характеристического уравнения 1,2 подставим в однородную систему (т. е. при f1 = f2 = 0) ее экспоненциальные частные решения . В результате дифференцирования и сокращения уравнений на еt получаем однородную систему:

Она имеет нетривиальное решение при равенстве нулю главного определителя:

,

которое и представляет характеристическое уравнение

.

Его корни  1 и  2 являются собственными числами матрицы

В общем случае (п — любое) характеристическое уравнение записывается аналогично

После нахождения корней получим общее решение системы второго порядка для x1 в виде

Для определения двух постоянных интегрирования A1 и A2 используют два начальных условия — значения х1и 1/dt при t = + 0. Значение х1(+ 0) определяют из анализа режима в рассматриваемой цепи до коммутации. Так как переменная состояния в момент коммутации непрерывна, то

Начальное значение производной 1/dt найдем из первого уравнения состояния при t = + 0

Непрерывность переменных состояния позволяет найти их значения при t = 0, входящие в последнее выражение, из анализа цепи до момента коммутации. Производная /dt в общем случае не сохраняет непрерывности в момент коммутации. Поэтому ее значение при t = + 0 нельзя определить из рассмотрения цепи до коммутации (/dt(+0)  /dt(– 0)). В результате подстановки найденных начальных значений в общее решение для x1 и его производную при t = 0 получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2:

При расчете цепи, находящейся под действием постоянных источников, установившееся значение x'1 не зависит от времени, и производная в правой части второго уравнения равна нулю. Аналогично можно найти и вторую переменную состояния х2, для которой общее решение . Частное решение  было уже найдено,  1 и  2 также определены, а константы Аи А4 определяют из системы, аналогичной системе для Аи А2; они выражаются через начальные значения х2(0) и 2/dt(+ 0). Эти последние величины определяют так же, как и начальные условия для переменной х1.

Пример, иллюстрирующий применение указанного способа, дан в Задаче 14.1.

Изложенная схема принципиально не изменяется и при решении системы уравнений более высокого порядка (п > 2)Так, при произвольном п общее решение для любой из переменных состояния при отсутствии кратных корней характеристического уравнения включает п экспонент, отвечающих отдельных корням

Нахождение частного решения х' аналогично рассмотренному выше случаю. Однако для определения п постоянных интегрирования Ak теперь необходимо знать п начальных условий — значения искомой переменной х(0) и ее (n – 1) производную при t = + 0. Если первая производная dх/dt непосредственно выражается через уравнения состояния, то производные более высоких порядков приходится находить последовательным дифференцированием уравнений состояния, в результате которого р-я производная d(p)х/dtp будет выражена через (р – 1)-е производные всех переменных состояния. Эта схема позволяет последовательно определить все производные d(p)х/dtp(+ 0), необходимые для нахождения Ak. Заключительный этап сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, подобных приведенной выше системе для определения A1 и А2:

Здесь под производной нулевого порядка (р = 0) понимается значение самой функции х(0). Очевидно, что изложенная схема решения при больших значениях п довольно громоздка, более эффективным оказывается решение с помощью матричной экспоненты, рассматриваемое ниже.




1. 12 2 24 3 36 4 410 5 515 Для внесения амальгамы в кариозную полость необходим инструмент- 1 Што
2. Растения и аллергия
3. а. Единица измерения веса в СИ ньютон иногда используется единица СГС дина
4. Спартак Игрок Голы Яковчик В
5. Православное воспитание.html
6. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ИСТОРИИ
7. Сочинение- Дон Кихот и его рыцарские подвиги
8. Как помочь роднику и речке
9. Знакомство Участники по очереди по кругу представляются и жестами выражают своё настроение например- М
10. Введение. Основная характеристика английского языка История английского языка начинается с 5 века наше
11. курсовий проект я розробив проект виконання робіт на капітальний ремонт повітряного вимикача ВВН22015
12. Конституционный статус главы государства в Испании и США
13. Режимы налогообложения малых предприятий
14. Рождение Руси
15. Эти двое ~ лоно единая пара
16. Применениe подоходного налога
17. ГОРНАЯ ~ СВЯЗКА Группа 1 Класс дистанции- 3 Протяженность- 58 м
18. 2014 учебный год График проведения практических занятий по дисциплине Фармакогнозия для студентов 5
19. продажу товаров выполнение работ и оказание услуг покупателям для их личного семейного домашнего использо
20. об образовании в РФ