Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Матрица прямоугольная табл

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний.

1.Матрица—прямоугольная табл. вида: (mxn).

---нижняя треугольная М.

Св-ва:

(А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность.                              А+В=В+А

А+0=А                                                                                    А-А=А+(-А)=0

А=(аij)       -число    •А=(• аij)      1*А=А                   

(А+В)= А+В---дистрибутивность                             

2. А=АMxN                                      согласованные

В=ВNxR

С=АВ            С=СMxR

Св-ва:

2.1. А•0=0•А=0         2.3. (АВ)С=А(ВС)         2.5. А(В+С)=АВ+АС        

2.2. A•I=I•A=A         2.4. (А+В)С=АС+ВС     2.6. (АВ)=(А)В=А(В)

            А•В ≠ В•А --- в общих случаях

Док-во к 2.3.:   Аmxn   Bnxk   Ckxl

D=AB ------ mxk; DC=mxl;       E=BC -------nxl;  AE=mxl

 3.             Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji)

Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.(А)ТТ 3.4. (АВ)ТТАТ 3.3. (А+В)ТТТ

     

4. Перестановкой из n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом                                        порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов).

Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n!

Док-во: n способов для заполнения 1-го места

            (n-1) для --//-- 2-го места

            Для двух мест     n(n-1) --- способов. И т. д.

5. Перестановка наз чётной, если её число инверсий чётное (и наоборот).

(инверсия – если , при i>j, то  пара АЛи  и  АЛж образует ИНВЕРСИЮ)

Теорема2:Транспозиция меняет чётность перестановки.

Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки

             Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная

Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность.

6. Определителем n-го порядка матрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-- вторых индексов --//--, т. е. ,

                                              ,

Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании.

Док-во:          |Ат|=|А|

a’ --- транспонированное  a

7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0.

   Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль, зн. и сумма равна 0.

  Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца.     Док-во: 

8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля.

  Док-во: 

;; S-нечётное.

Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0.

Док-во: Пусть в опр-ле m-тая и k-тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А||А|=0

Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0.

Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности , то получим две равные строки, при этом опр-ль станет равным 0.

                                                                    

9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида , то опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m-той строке первые слагаемые у первого опр-ля и вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.

Док-во: 

Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы

         1,2,…, k R---числа

        1u1+1u1+…+1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk

Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0

Док-во: (из св-ва 7)

Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на число, то опр-ль не изменится.

Док-во: (из св-тв 7-8).

10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов.

     Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида:

, где А12,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы.

11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки)

                      Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна опр-лю данной матрицы.   

Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых:

ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn

Тогда:

Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:

12. Теорема: замещения.

Сумма произведений некоторых n-чисел на алгебраическое дополнение эл-тов k-той строки матрицы А, равна опр-лю матрицы, которая получается из м-цы А, если в ней k-тую строку заменить строкой (любой).

    Теорема: аннулирования.

Сумма произведений эл-тов в какой-либо строке на алгебраические дополнения равна 0.

13. Теорема: об определителе произведения.

Опр-ль произведения двух матриц равен произведению опр-лей этих матриц.   |АВ|=|А|*|В|.

Док-во: 

14. Обратной для данной матрицы наз. матрица А-1, которая обладает след. св-вом: А*А-1-1*А=I

Как бы теорема (о единственности): Если для матрицы А сущ. обратная, то она единственная.

Как бы док-во: А-11, А-12 --- возможные обратные матрицы.

Как бы теорема(о вырожденной матрице): Если А---вырожденная, то обратной м-цы не существует.

Как бы док-во: Аij---алгебраические дополнения эл-тов aij матрицы А.

Составим присоединённую м-цу :

; ;

;

15. Св-ва обратных матриц:

  1.  -1)-1=А             2.   (АВ)-1-1А-1         (АВ)=(В-1А-1)=А(ВВ-1-1IА-1АА-1=I

3.  (Аn)-1=(А-1)n         4.   (АТ)-1=(А-1)Т          (АТ)(А-1)Т=(А-1А)Т=IТ=I

16. Системой m линейных ур-ний с n неизвестными x1, x2,…,xn наз.

, где ---матрица коэффициентов системы ,

числа aij---коэффициенты, b1,b2,…, bn---свободные члены, ---вектор-столбец,

АХ=b---краткая запись. Реш-ем с-мы наз. совокупность чисел х1122,…,хn= αn , при подстановке которых получится правильное равенство.   ---столбец решений.

Матричный способ решения:

А=Аnxn   |A|≠0 --- невырожденная. Ах=b (2). Рассмотрим обратную матрицу А-1. Умножим обе чести равенства (2) на А-1.       А-1Ах=А-1b;   Ix=A-1bx=A-1b   (3)

Чтобы получить решение с-мы (2) нужно умножить обратную м-цу на b. Если м-ца □ и невырожденная, то решение с-мы единственное.

17.Ф-лыКрамера: ;;   ; ;

---опр-ль м-цы, который получается заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

18.  A=Anxn. Отметим r сток и столбцов. Рассмотрим м-цу из эл-тов, находящихся на пересечении. Такая м-ца и её опр-ль наз. минором порядка r. Рангом матрицы А наз. наибольший из порядков миноров отличных от нуля. Такой минор наз. базисным. rgA---обозначение ранга.

Св-ва ранга матрицы:

1.     2.   3., то ---невырожденная.   4.

5. Если в м-це все миноры порядка k равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю.

Док-во к 5: минор порядка k+1 разложим как опр-ль по эл-там строки. Получим с точностью до знака сумму произведений эл-тов данного минора на миноры порядка k, которые равны нулю.

19. Теорема (о неизменности ранга при элементарных преобразованиях): Ранг м-цы не меняется при элементарных преобразованиях строчек и столбцов.

Док-во: 1. При перестановке миноры исходной м-цы либо не изменяются, либо поменяют знак. Тем самым все ненулевые миноры остаются ненулевыми, т. е. ранг не меняется.

  1.  При умножении строки м-цы на число , миноры содержащие эту строку увеличатся в  раз. Набор ненулевых миноров не изменится, и зн. сохранится ранг.

20.    A=Amxn    u1, u2,…,un---строчки

Данная совокупность строк наз. линейно-зависимой, если сущ. числа (не все=0) такие, что    (*). Если (*) возможно только в случае , то данный набор строк наз. линейно-независимым.

Св-ва: 1.Если в наборе есть нулевая строка, то он линейно-зависим. u1=0, u2,…, uk≠0, .

2.Если к линейно-зависимой добавить какую-либо строку, то она будет линейно-зависимой

3.Если из лин.-завис. совокупности строк удалить строку, то получим линейно-независимую.

4.Если в совокупности есть одинаковые строки, то она будет линейно-зависимой

Теорема(критерий линейной зависимости): Совокупность строк линейно-зависима тогда и только тогда, когда одна из строчек явл. линейной комбинацией др. строчек.

Док-во:  u1, u2,…,un--- линейно-зависимые. Покажем: u1---линейная комбинация др. строчек.

Действительно, сущ.  такие что .

Обратно: Пусть , зн.

21. Теорема(о базисном миноре):Строки и столбцы, на пересечении которых находятся эл-ты базисного минора, также наз. базисными.1.Любая строка матрицы явл. линейной комбинацией базисных строчек.

2.Базисные строчки линейно-независимы.

Док-во к 1: Можно считать, что базисным явл. минор, состоящий из , расположенный в левом верхнем углу м-цы А. В противном случае можно переставить столбцы и строки так, что эл-ты базисного минора окажутся в левом верхнем углу.   rgA=const.

i---столбец   j---строка

,      ,   , зн.  при i и  j.

Если i,j>r, то ---это минор порядка r+1, зн. =0

Если i и/или j r, то , т. к. имеются равные строки.

Разложим рассматриваемый опр-ль по эл-там последней строки: , где .

Коэффициенты  не зависят от номера строки . Используя такие равенства при , можем записать: , т. е. j-тый столбец есть линейная комбинация базисных столбцов.

Док-во к 2: Предположим, что базисные строки линейно-зависимы, тогда одна из базисных строчек явл. линейной комбинацией др. строчек, тогда и в базисной матрице тоже самое, но в этом случае базисный минор =0, чего быть не должно.

22.  AX=b  (1)

Теорема Кронекера-Капели: (1)---совместная, когда ранг расширенной м-цы данной с-мы = рангу м-цы коэффициентов: rg(A|b)=rgA.

Док-во:    существуют, то , ,

где 1, 2,…, n---столбцы м-цы А .               А=

,зн. столбец свободных членов явл. линейной комб-цией столбцов м-цы А.

Вычитая в (A|b) из последнего столбца соответствующую линейную комб-цию, получим (А|0). В результате ранг м-цы не меняется.   rg(A|b)=rg(A|0)=rgA.  Предположим rg(A|b)= rgA, зн. столбец свободных членов b не входит в число базисных столбцов расширенной м-цы. Согласно теореме о базисных минорах, столбец b явл. линейной комбинацией базисных столбцов, а зн. и всех столбцов матрицы А, т. е. совместность системы (1)

23. Ах=0---однородная с-ма.

Если Ах=b в столбце b есть один ненулевой эл-т, то неоднородная. Однородная всегда совместна.

---тривиальное решение. Остальные решения, нетривиальные.

Теорема о сущ-нии нетривиального решения: С-ма линейных однородных ур-ний с м-цей коэффициентов mxn имеет нетривиальное решение тогда, когда rgA<n (n---число неизвестных, Amxn).

Док-во: Пусть сущ-ет ненулевое решение , Ах=0,

Тогда    (не все ) 1, 2,…, n---линейно-зависимые, не все базисные, зн. число базисных столбцов < n. rgA<n.

Св-ва множества решений: 1 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет нетривиальное решение если она вырожденная.

                                                 2 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет тривиальное решение если она невырожденная.

24.Теорема о структуре общего решения с-мы линейных однородных ур-ний: Пусть A=Amxn, тогда система Ах=0 имеет n-r линейно-независимых решений, где r ---ранг м-цы А. Любое решение данной системы явл. их линейной комбинацией.

Док-во: rgA=r---ранг. Сущ. r линейно-независимых столбцов м-цы, а остальные столбцы---их линейные комбинации. Без ограничения общности можно считать, что 1, 2,…, r    .

                     

                   

        

              

, ,…, ---эти решения линейно-независимы если составить из них м-цу, то последние n-r строк образуют минор М:   

Совокупность n-r линейно-независимых решений наз. фундаментальной системой решений.

25. Теорема о структуре общего решения линыйных неоднородных ур-ний: A=Amxn всякое решение неоднородной с-мы AX=b представлено так: , где ---некоторое частное решение, ---общее решение соответствующей однородной с-мы (AX=0).

Док-во: ,   ---решение

Пусть Х---некоторое решение, тогда  AX=b (1); AX*=b (2). Вычитая (2) из (1) получим:

;   ;    

---фундаментальная с-ма решений       




1.  С этой точки зрения большое значение приобретают прогрессивные высокопроизводительные методы обработки
2.  2014 г
3. реферата по дисциплине Общая энергетика для студентов очной формы обучения Реферат по дисциплине Общ
4. ВАРИАНТ Группа 30 человек 3 сопровождающих бесплатно Дорогие выпускники Вот Вы и на фин
5. Word 2007
6. ся в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития объекта прогноза и переносе и
7. темах 22070062 Автоматизация технологических процессов и производств 221000
8. ВАРИАНТ 15 1. Что такое боковая окклюзия
9. И С Тургенев Дворянское гнездо Образы главных героев романа
10. кваліфікаційний рівень ~ бакалавр заочна форма навчання 1 курс Затверджена на засіданні
11. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Д
12.  1 101 Для всех живых организмов характерно 1 образование органических веществ из неорганических2 погл
13. Лекція 22 ЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ КОЛОЇДНИХ СИСТЕМ І КОАГУЛЯЦІЯ План 1
14. . Журналист всегда обязан действовать исходя из принципов профессиональной этики зафиксированных в настоя
15. Менеджер по продвижению интернет ресурсов
16. Subjectus лежащий внизу находящийся в фундаментальныя категория философии
17. деятельность специально формируемая
18. Роль естествознания как науки
19. темам и управлению информационными ресурсами системные аналитики разработчики бизнесприложений.
20. изучает физикохимические свойства ионных систем а также явления и процессы на границе раздела фаз с учетом