Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Матрица прямоугольная табл

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


Матрицы, определители, с-мы лин. ур-ний.

1.Матрица—прямоугольная табл. вида: (mxn).

---нижняя треугольная М.

Св-ва:

(А+В)+С=A+(В+C)---ассоциативность.                              А+В=В+А

А+0=А                                                                                    А-А=А+(-А)=0

А=(аij)       -число    •А=(• аij)      1*А=А                   

(А+В)= А+В---дистрибутивность                             

2. А=АMxN                                      согласованные

В=ВNxR

С=АВ            С=СMxR

Св-ва:

2.1. А•0=0•А=0         2.3. (АВ)С=А(ВС)         2.5. А(В+С)=АВ+АС        

2.2. A•I=I•A=A         2.4. (А+В)С=АС+ВС     2.6. (АВ)=(А)В=А(В)

            А•В ≠ В•А --- в общих случаях

Док-во к 2.3.:   Аmxn   Bnxk   Ckxl

D=AB ------ mxk; DC=mxl;       E=BC -------nxl;  AE=mxl

 3.             Если Ат=А, то А---симметричная. (аij=aji)

Св-ва:3.1. (АТ)Т=А 3.2.(А)ТТ 3.4. (АВ)ТТАТ 3.3. (А+В)ТТТ

     

4. Перестановкой из n эл-тов наз всякое положение эл-тов мн-ва М в определённом                                        порядке (или упорядоченный набор этих эл-тов).

Теорема1: Число всех перестановок из n эл-тов Pn=n!

Док-во: n способов для заполнения 1-го места

            (n-1) для --//-- 2-го места

            Для двух мест     n(n-1) --- способов. И т. д.

5. Перестановка наз чётной, если её число инверсий чётное (и наоборот).

(инверсия – если , при i>j, то  пара АЛи  и  АЛж образует ИНВЕРСИЮ)

Теорема2:Транспозиция меняет чётность перестановки.

Док-во: Транспозиция соседних эл-тов меняет чётность перестановки

             Была (…,АЛи,АЛи+1,…)---чётная. Стала (…,АЛи+1,АЛи,…)---нечётная

Число инверсий при транспозиции соседних эл-тов меняется на 1, тем самым меняется чётность.

6. Определителем n-го порядка матрицы А называется число detА или |А| и равно алгебраической сумме всяких эл-тов, взятых ровно по одному из каждой строчки и каждого столбца, снабжённых знаком (-1)s+t, где s-число инверсий перестановки первых индексов данного произведения, а t- --//-- вторых индексов --//--, т. е. ,

                                              ,

Св-во1: Определитель не меняется при транспонировании.

Док-во:          |Ат|=|А|

a’ --- транспонированное  a

7. Св-во2: Если матрица А имеет нулевую строку, то её определитель равен 0.

   Док-во: Согласно общему определению определителя в каждом произведении будет множитель нуль, зн. и сумма равна 0.

  Св-во3: Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя, а зн. и столбца.     Док-во: 

8. Св-во4: Если в опр-ле поменять местами две строчки, то изменится знак опр-ля.

  Док-во: 

;; S-нечётное.

Св-во5: Если в опр-ле есть две равные строки, то он равен 0.

Док-во: Пусть в опр-ле m-тая и k-тая строчки равны. Поменяем их местами и получим: |А|=-|А||А|=0

Св-во6: Если в опр-ле есть две пропорциональные строки, то опр-ль равен 0.

Док-во: Если вынести коэффициент пропорциональности , то получим две равные строки, при этом опр-ль станет равным 0.

                                                                    

9. Св-во7: Если в опр-ле строка представлена в виде суммы вида , то опр-ль равен сумме двух опр-лей, у которых в m-той строке первые слагаемые у первого опр-ля и вторые слагаемые у второго опр-ля. Все остальные эл-ты остаются неизменными.

Док-во: 

Св-во8: u1, u2,…, uk---некоторые строки матрицы

         1,2,…, k R---числа

        1u1+1u1+…+1u1---линейная комбинация строк u1, u2,…, uk

Если в опр-ле явл. линейной комбинацией др. строк, то опр-ль=0

Док-во: (из св-ва 7)

Св-во9: Если к какой-либо строке матрицы добавить другую строку этой матрицы, умноженную на число, то опр-ль не изменится.

Док-во: (из св-тв 7-8).

10. Св-во10: Опр-ль ∆-ной матрицы равен произведению диагональных эл-тов.

     Св-во11: Опр-ль матрицы след. вида:

, где А12,…,АК---квадратные матрицы, Аi---блочные матрицы.

11. Теорема (о разложении опр-ля по эл-там строки)

                      Сумма произведений эл-тов строки матрицы А на их алгебраические дополнения равна опр-лю данной матрицы.   

Док-во: В опр-ле матрицы А представим в виде суммы n слагаемых:

ak1+0+0+…+0, 0+ak2+0+…+0, …, 0+0+…+akn

Тогда:

Загоняем переставлением 1 на место [] и получим:

12. Теорема: замещения.

Сумма произведений некоторых n-чисел на алгебраическое дополнение эл-тов k-той строки матрицы А, равна опр-лю матрицы, которая получается из м-цы А, если в ней k-тую строку заменить строкой (любой).

    Теорема: аннулирования.

Сумма произведений эл-тов в какой-либо строке на алгебраические дополнения равна 0.

13. Теорема: об определителе произведения.

Опр-ль произведения двух матриц равен произведению опр-лей этих матриц.   |АВ|=|А|*|В|.

Док-во: 

14. Обратной для данной матрицы наз. матрица А-1, которая обладает след. св-вом: А*А-1-1*А=I

Как бы теорема (о единственности): Если для матрицы А сущ. обратная, то она единственная.

Как бы док-во: А-11, А-12 --- возможные обратные матрицы.

Как бы теорема(о вырожденной матрице): Если А---вырожденная, то обратной м-цы не существует.

Как бы док-во: Аij---алгебраические дополнения эл-тов aij матрицы А.

Составим присоединённую м-цу :

; ;

;

15. Св-ва обратных матриц:

  1.  -1)-1=А             2.   (АВ)-1-1А-1         (АВ)=(В-1А-1)=А(ВВ-1-1IА-1АА-1=I

3.  (Аn)-1=(А-1)n         4.   (АТ)-1=(А-1)Т          (АТ)(А-1)Т=(А-1А)Т=IТ=I

16. Системой m линейных ур-ний с n неизвестными x1, x2,…,xn наз.

, где ---матрица коэффициентов системы ,

числа aij---коэффициенты, b1,b2,…, bn---свободные члены, ---вектор-столбец,

АХ=b---краткая запись. Реш-ем с-мы наз. совокупность чисел х1122,…,хn= αn , при подстановке которых получится правильное равенство.   ---столбец решений.

Матричный способ решения:

А=Аnxn   |A|≠0 --- невырожденная. Ах=b (2). Рассмотрим обратную матрицу А-1. Умножим обе чести равенства (2) на А-1.       А-1Ах=А-1b;   Ix=A-1bx=A-1b   (3)

Чтобы получить решение с-мы (2) нужно умножить обратную м-цу на b. Если м-ца □ и невырожденная, то решение с-мы единственное.

17.Ф-лыКрамера: ;;   ; ;

---опр-ль м-цы, который получается заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

18.  A=Anxn. Отметим r сток и столбцов. Рассмотрим м-цу из эл-тов, находящихся на пересечении. Такая м-ца и её опр-ль наз. минором порядка r. Рангом матрицы А наз. наибольший из порядков миноров отличных от нуля. Такой минор наз. базисным. rgA---обозначение ранга.

Св-ва ранга матрицы:

1.     2.   3., то ---невырожденная.   4.

5. Если в м-це все миноры порядка k равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю.

Док-во к 5: минор порядка k+1 разложим как опр-ль по эл-там строки. Получим с точностью до знака сумму произведений эл-тов данного минора на миноры порядка k, которые равны нулю.

19. Теорема (о неизменности ранга при элементарных преобразованиях): Ранг м-цы не меняется при элементарных преобразованиях строчек и столбцов.

Док-во: 1. При перестановке миноры исходной м-цы либо не изменяются, либо поменяют знак. Тем самым все ненулевые миноры остаются ненулевыми, т. е. ранг не меняется.

  1.  При умножении строки м-цы на число , миноры содержащие эту строку увеличатся в  раз. Набор ненулевых миноров не изменится, и зн. сохранится ранг.

20.    A=Amxn    u1, u2,…,un---строчки

Данная совокупность строк наз. линейно-зависимой, если сущ. числа (не все=0) такие, что    (*). Если (*) возможно только в случае , то данный набор строк наз. линейно-независимым.

Св-ва: 1.Если в наборе есть нулевая строка, то он линейно-зависим. u1=0, u2,…, uk≠0, .

2.Если к линейно-зависимой добавить какую-либо строку, то она будет линейно-зависимой

3.Если из лин.-завис. совокупности строк удалить строку, то получим линейно-независимую.

4.Если в совокупности есть одинаковые строки, то она будет линейно-зависимой

Теорема(критерий линейной зависимости): Совокупность строк линейно-зависима тогда и только тогда, когда одна из строчек явл. линейной комбинацией др. строчек.

Док-во:  u1, u2,…,un--- линейно-зависимые. Покажем: u1---линейная комбинация др. строчек.

Действительно, сущ.  такие что .

Обратно: Пусть , зн.

21. Теорема(о базисном миноре):Строки и столбцы, на пересечении которых находятся эл-ты базисного минора, также наз. базисными.1.Любая строка матрицы явл. линейной комбинацией базисных строчек.

2.Базисные строчки линейно-независимы.

Док-во к 1: Можно считать, что базисным явл. минор, состоящий из , расположенный в левом верхнем углу м-цы А. В противном случае можно переставить столбцы и строки так, что эл-ты базисного минора окажутся в левом верхнем углу.   rgA=const.

i---столбец   j---строка

,      ,   , зн.  при i и  j.

Если i,j>r, то ---это минор порядка r+1, зн. =0

Если i и/или j r, то , т. к. имеются равные строки.

Разложим рассматриваемый опр-ль по эл-там последней строки: , где .

Коэффициенты  не зависят от номера строки . Используя такие равенства при , можем записать: , т. е. j-тый столбец есть линейная комбинация базисных столбцов.

Док-во к 2: Предположим, что базисные строки линейно-зависимы, тогда одна из базисных строчек явл. линейной комбинацией др. строчек, тогда и в базисной матрице тоже самое, но в этом случае базисный минор =0, чего быть не должно.

22.  AX=b  (1)

Теорема Кронекера-Капели: (1)---совместная, когда ранг расширенной м-цы данной с-мы = рангу м-цы коэффициентов: rg(A|b)=rgA.

Док-во:    существуют, то , ,

где 1, 2,…, n---столбцы м-цы А .               А=

,зн. столбец свободных членов явл. линейной комб-цией столбцов м-цы А.

Вычитая в (A|b) из последнего столбца соответствующую линейную комб-цию, получим (А|0). В результате ранг м-цы не меняется.   rg(A|b)=rg(A|0)=rgA.  Предположим rg(A|b)= rgA, зн. столбец свободных членов b не входит в число базисных столбцов расширенной м-цы. Согласно теореме о базисных минорах, столбец b явл. линейной комбинацией базисных столбцов, а зн. и всех столбцов матрицы А, т. е. совместность системы (1)

23. Ах=0---однородная с-ма.

Если Ах=b в столбце b есть один ненулевой эл-т, то неоднородная. Однородная всегда совместна.

---тривиальное решение. Остальные решения, нетривиальные.

Теорема о сущ-нии нетривиального решения: С-ма линейных однородных ур-ний с м-цей коэффициентов mxn имеет нетривиальное решение тогда, когда rgA<n (n---число неизвестных, Amxn).

Док-во: Пусть сущ-ет ненулевое решение , Ах=0,

Тогда    (не все ) 1, 2,…, n---линейно-зависимые, не все базисные, зн. число базисных столбцов < n. rgA<n.

Св-ва множества решений: 1 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет нетривиальное решение если она вырожденная.

                                                 2 однородная с-ма с квадратной м-цей коэффициентов имеет тривиальное решение если она невырожденная.

24.Теорема о структуре общего решения с-мы линейных однородных ур-ний: Пусть A=Amxn, тогда система Ах=0 имеет n-r линейно-независимых решений, где r ---ранг м-цы А. Любое решение данной системы явл. их линейной комбинацией.

Док-во: rgA=r---ранг. Сущ. r линейно-независимых столбцов м-цы, а остальные столбцы---их линейные комбинации. Без ограничения общности можно считать, что 1, 2,…, r    .

                     

                   

        

              

, ,…, ---эти решения линейно-независимы если составить из них м-цу, то последние n-r строк образуют минор М:   

Совокупность n-r линейно-независимых решений наз. фундаментальной системой решений.

25. Теорема о структуре общего решения линыйных неоднородных ур-ний: A=Amxn всякое решение неоднородной с-мы AX=b представлено так: , где ---некоторое частное решение, ---общее решение соответствующей однородной с-мы (AX=0).

Док-во: ,   ---решение

Пусть Х---некоторое решение, тогда  AX=b (1); AX*=b (2). Вычитая (2) из (1) получим:

;   ;    

---фундаментальная с-ма решений       




1. Человек и социальная сфера
2. 99 гг Выполнили- студенты VI курса
3. Национальная инновационная система как ключевой элемент развития экономики России
4. Чтобы создать перекрестную ссылку на элемент в другом документе необходимо сначала объединить соответству
5. ПРИДНІПРОВСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ КАФЕДРА МІЖНАРОДНОЇ ЕКОНОМІКИ
6. Содействие 1
7. тенью и произведен от мира идей т
8. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ ~ Дисертаціє
9. А Подход с позиции выделения различных школточек зрения- научного управления; административного упр.html
10. статья 385 Трудового кодекса РФ
11. Україна в першій половині 1950-х рокі
12. Мостовой RC-генерато
13. 9688181888 Mritl Sttus- single klyuchnikov
14. Ю Б Гіппенрейтер виділяє наступні відмінності між науковою та життєвою психологією- Життєві зн
15. это наука изучающая наиболее общие закономерности связанные с возникновением развитием и функционирован
16. Проблемы бухгалтерского учета и их влияние на экономику предприятия на Украин
17. Статья 1 Правительство Российской Федерации высший исполнительный орган государственной власти Российско
18. Беспроводной доступ для предприятия
19. Западная культура XIX века
20. 1цельзадачи курса История Отечества всегда вызывала огромный интерес мыслящей части нашего общества1