Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Построения на плоскости циркулем и линейкой

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13


Вопрос 1. Построения на плоскости циркулем и линейкой.

а) Решить задачу на построение -  описать способы построений, проводимые некоторыми абстрактными инструментами по определенным правилам.

I.Анализ – поиск решения задачи. Делают чертеж (набросок) от руки, проводят доп построения, устанавливают связи м/у элементами искомой фигуры и данными фигурами, выявляют цепочку основных построений, выполнение которых приводит к искомой фигуре. (считаем, что задача решена, анализируем её, ищем необ-мые элементы).

II.Построение – выполняем основные построения, порядок которых определен анализом (опираясь на аксиомы и базовые задачи).

III.Доказательство. Доказываем, что построенная фигура искомая, т.е. удовлетворяет всем требованиям задачи.

IV.Исследование – выясняет, всегда ли задача имеет решение и сколько ещё решений она имеет при различном выборе данных фигур.

б) Аксиомы абстрактной линейки (с помощью нее можно проводить бесконечные прямые) и абстрактного циркуля (им можно проводить окружности любого радиуса).

А1. Через две данные точки можно провести прямую и притом только одну.

А2. Любым данным радиусом можно провести окружность с центром в данной точке.

А3. Можно выбирать точки, принадлежащие или не принадлежащие данным или построенным фигурам.

Базовые задачи:

  1.  Деление отрезка пополам.
  2.  Деление угла пополам.
  3.  Откладывание данного отрезка на данном луче.
  4.  Построение угла, равного данному.
  5.  Проведение через данную точку перпендикуляра к данной прямой.
  6.  Проведение прямой через данную точку параллельно данной прямой.
  7.  Построение треугольника по определяющим его элементам (сторонам и углам).
  8.  Деление отрезка в данном отношении.

в) Методы решения задач:

Метод пересечения множеств

Строятся точки, удов-щие опр-ным усл-ям.

! положение некоторой  точки М опр-ся усл-ми a и b, тогда рассмотрим фигуру  Фа, Состоящую из всех точек, обладающих св-вом а, и фигуру Фb, состоящую из всех точек с условием b. Тогда точка М должна принадлежать обеим фигурам. Т.е. она принадлежит пересечению этих фигур.  

Пример 1(метод пересечения)

Построить кас-ную к данной окр-ти через данную точку, находящуюся вне круга, ограниченного данной окр-тью.

Изобразим данные элементы: окр-ть с центром О и некоторым радиусом r и точку А. Для проведения кас-ной построим точку касания на данной окр-ти. Чтобы найти способ ее построения, проведём анализ.

Анализ. ! прямая, проходящая через точку А, касается окр-ти в точке В. Радиус ОВ перпен-рен прямой АВ. В этом случае отрезок ОА виден из точки В под прямым углом  точка В лежит на окр-ти диаметра ОА.

Построение.

1) Разделим ОА пополам (известное построение), Р - середина ОА.

2) Проведем окр-ть с центром Р и радиусом РА (А2).

3) Отметим точки В и С пересечения окр-тей (А3).

4) Проведем прямые АВ и АС (А1).

Построения закончены. Теперь покажем, что проведенные прямые удовлетворяют усл-ю задачи.

Док-во. Прямая АВ (АС) перпен-рна радиусу окр-ти ОВ (ОС), т.к. АВО (АСО) опирается на диаметр ОА окр-ти  АВ и АС являются кас-ми к данной окр-ти.

Иссл-е. Так как построенная окр-ть проходит через внутреннюю точку О данной окр-ти и внешнюю точку А, то окр-ти перес-ся в двух точках. Задача имеет два решения.

Одно решение, если точка А лежит на окружности.

Решений нет, когда А внутри окружности.

Алгебраический метод

Если даны какая-то фигура или отрезки (их длины), то удобно искомый отрезок обозначить x и, используя св-ва данных фигур или которые надо построить, составить алг-е ур-ние или сист. ур-ний.

Пример 2. (алгебраический метод)

Построить прямую, || стороне данного ∆-ка так, чтобы она разбивала данный ∆ на две равновеликие части.

Анализ. ! задача решена и MN – искомая прямая.

MN||AC, тогда S∆MBN= S∆AMNC или S∆MBN=1/2 ABC; ∆MBN~∆ABC (по 1му признаку) =>  - коэф.подобия.

Вывод:  отношение S – ей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 где ∆АВС~∆А1В1С1

Пусть ВМ=х, АВ=с

k=x/c; ½=k2; ½ = x2/c2 => x2 = c2/2; x = c/√2; x = c√2/2.

Построение.

1. ∆AFB (A=90o, AF=AB=c)

2. M, MBA, BM=(c√2)/2

3. MN, MN||AC

MN – искомая

Док-во:

MBN~∆ABC (по 1му признаку)

г) Задачи неразрешимые циркулем и линейкой.

Тh Гаусса-Ванцеля: прав-ный n-угольник  возможно построить циркулем и линейкой  когда  , где pi — различные простые числа Ферма, т.е. имеют вид ,

1. Удвоение куба. Построить ребро куба, V которого в 2 раза больше V данного куба.

Пусть а - ребро данного куба, х – ребро куба с удвоенным объёмом, тогда

По критерию разрешимости  построить нельзя.

Решение задачи Платоном (4в.до н.э.) с помощью двух прямых подвижных углов.

Архимед с помощью циркуля и линейки со вставкой.

2. Трисекция угла. Разделить данный угол на 3 равные части.

В частных вариантах эта задача разрешима циркулем и линейкой. Невозможно разделить цирк-м и лин-ой угол 600. Эта задача равносильна построению прав-го 18-угольника, впис-го в окр-ть. На основании Тh Гаусса построить такой 18-уг-к невозможно.

3. Квадратура круга. Построить квадрат, S которого = S данного круга.

r-радиус круга, х – сторона квадрата. Тогда  

Задача свелась к новой задаче на построение отрезка  – это длина полуокр-ти радиуса r. Задача о спрямлении окр-ти.

Вопрос 2. Многоугольник. Площадь мн-ка. Равновеликость, равносоставленность многоугольников. Теорема Бояи-Гервина.

а) Опр. Ломанной линией наз.сов-ть отрезков А1А22А3,…Аn-1 Аn, Аi – вершины ломаной, А1А2,…-звенья.

Опр. Ломаная прямая наз. простой, если любые два смежных звена не лежат на одной прямой.

Опр. простая ломаная линия наз.замкнутой, если ее начало совпадает с концом.

Опр: Многоугольник — это геом. фигура, определяемая как замкнутая ломаная (без самопересечения). Вершины ломаной называются вершинами многоуг-ка, а отрезки — сторонами многоуг-ка.

Площадь многоуг-ка:

!М:=некоторый многоуг-к

Расс-м Q – мн-во всех мног-ков,   - мн-во полож-х действ-х чисел и отобр-е S:   , тогда S(M) – площадь M, если вып-ся сл. усл-я:

  1.  равные мног-ки имеют равные пл-ди
  2.  если M = M1 + M2,

то S(M)=S(M1)+S(M2);

  1.  площадь прямоуг-ка Р, две смежные стороны которого a и b, равна a * b.

Эти условия явл-ся аксиомами площади многоуг-ка.

б) Площадь треугольника

 

Док-во:

Дано: ∆ABC, BC = a, высота AH = h, углы B и C - острые.

Расс-м ср.линию DE, DEAH=F, AF = FH = n/2 Опустим перпен-ры из точек C и B на прямую DE, получим прямоуг-к  CMNB, кот. состоит из трапеции CDEB, 

CMD и ∆BNE.

 (акс.2)

С др.стороны:   - площадь данного треуг-ка

 

но  

По акс.1, из этих равенств получаем:  

в) Опр: Мног-ки наз. равновеликими (р/в), если они имеют одинак-е площади.

Опр: Если мног-к М1 можно разбить на мног-ки A1,…,An а мног-к  M2 на мног-ки B1,…,Bn и A1=B1,…,Bn=An, то мног-ки M1 и М2 наз-ся равносоставленными (р/с).

По акс.2: равносост-е мног-ки явл-ся равнов-ми. Справедливо и обратное утв-е.

ЛЕММА 1: Если мног-к М равносоставлен с мног-ми М1 и М2, то М1 и М2, -  равносост-е.

ЛЕММА 2: Дан прямоуг-к с измерениями a и b. Можно построить равносост-й с ним прямоуг-к с данной стороной c, большей a и b.

ТЕОРЕМА Бояи-Гервина: Всякие равнов-е мног-ки равносост-е.

Док-во: Даны два равнов-х мног-ка М1 и М2,

S1)= S2).

Разобьем мног-ки М1 и М2 на треуг-ки. Для каждого треуг-ка построим равносост-й с ним прямоуг-к. Выбираем отрезок c, равный наиб-й из сторон всех прямоуг-ков, и для каждого прямоуг-ка построим равносост-й с ним прямоуг-к со стороной c (см.рис). Тогда все прямоуг-ки, полученные из многоуг-ка М1 можно сложить в прямоуг-к P1  со сторонами c и a1, а из всех прямоуг-ков, относящихся к М2, можно составить прямоуг-к P2 со сторонами c и a2.

М1 равносост-н с P1=>S(M1)=S(P1)

М2, равносост-н с P2=>S(M2)=S(P2)

Т.к. S(M1)=S(M2), S(P1)= c * a1, S(P2)= c * a 2 , то 

Значит, прямоуг-ки равны.

Т.о. и , , и - равнос-е.

По лемме 1:  и  – равносост-е. ЧТД.

Вопрос 3. Линии второго порядка.

Линии на пл-ти задаются урав-ми F(x,y)=0. Линия состоит из всех точек, коорд-ты которых (x,y) удовл-ют этому ур-нию.

Опр: Линия G наз-ся алгебраической 2го порядка  если она имеет вид:

Совершая || -ный перенос, поворот, осевую и цент-ную симметрии, линия 2го порядка примет вид невырожденной линии (эллипс, гипербола, парабола) или вырожденной (мнимый эллипс, точка, пара прямых), вырож-е интереса не вызывают, поэтому рассм-м только невырожденные и исследуем их каноническое урав-е:

Опр: Эллипс – мн-во точек пл-ти, сумма расстояний от которых до двух фикс-ных точек(фокусов) - величина постоянная, большая чем расстояние м/у фокусами.

Каноническое ур-ние:

Опр: Парабола – мн-во точек пл-ти, равноуд-х от фикс-ной точки (фокуса), и фикс-ной прямой (директрисы), не прох-щей ч/з фокус. Каноническое ур-ние:

Oпр: Гипербола – мн-во точек пл-ти, разность расстояний от кот. по абсол. вел-не до двух данных точек и (фокусов) – вел-на постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами. 

Каноническое ур-ние:

Док-во ур-ния гиперболы:

G - кривая гиперболы

Строим в системе коор-т. Расстояние м/у фокусами обозначим через 2c, c>a.

О – середина F1F2, F1F2 принад.ОХ.

Т.к. F1F2=2с, то  F1(-c;0), F2(c;0),

, тогда:

Возводим обе части в квадрат:

Возводим обе части в квадрат:

Так как с > a, то c2a2 >0.

Пусть c2a2 = b2, тогда  

Разность расстояний от любой точки, квадраты кот. удовл-ют этому ур-нию, до фокусов, по модулю равна  2a.

Иссл-е ур-ния гиперболы:

  1.  

A1, A2 - вершины гиперболы.

A1A2 =2aдейств-я ось гиперболы

A1O=OA2 – действ-е полуоси

2)  

3) Коэф-ты текущ. точки входят в ур-ние  G  в чёт степенях x2 и y2 => G расположена сим-чно отн-но осей и (0;0).

4) Асимптоты гиперболы:

рассмотрим I четв. (x>0, y > 0)

– асимптоты

Докажем для

В силу симметричности - тоже асимптота

5)  - Эксцентриситет гиперболы, a – действительная полуось.

т.к. с > a, то

характеризует форму гиперболы. Если зафикс-ем a, , то

Построение гиперболы

Отрезки a и b заданы.

Строим прямоуг-к ABCD: AB=2a, BC =2b

AC∩BD=O, OX Э O, OX || AB, OY Э O, OY || BC,

!A1середина AD, A2середина BC => A1(-a;0), A2(a;0)вершины гип-лы

Где  - асимптота

Аналогично OA - асимптота

Найдем фокусы: т.к. c2 - a2 = b2 

В ∆A2OB: A2O = a, A2B = b => OB = c.

Отложим OF1 = c, OF2 = c => F1 и F2  - фокусы.

- точки гиперболы

(r - произвольный радиус),

Т.к. FM1 – FM2 = r – r + 2a = 2a

Также FN1 – FN2 = 2a.

, если 2c > 2r + 2a, r < c-a.

и  касается, если r = c - a,

пересек-ся в двух точках, если r > c-a


C

B

A

N

М




1. Лабораторная работа 5 Рабочее оборудование машин для подготовительных работ Цель работы- Ознакомить
2. Автоматизированная система бухгалтерского учета Министерства здравоохранения
3. . Методологические основы организации учета продаж реализации товаров 1
4. Правовой статус гражданина. Административная ответственность. Заключение брак
5. Основные модели и этапы ипотечного кредитования
6.  Спирт этиловый из всех видов сырья за исключением спирта коньячного
7. . Нервная регуляция висцеральных функций эффекты с висцерорецепторов классификация висцерорецепторов вис
8. Тема- Пожарная безопасность
9. Тема- Использование данных управленческого учета для анализа и принятия управленческих решенийБюджет пред
10. Тема 1.1 Капитальное строительство в системе инвестиционного комплекса
11. Лабораторна робота 1 1
12. Тема 1 ПРЕДПРИЯТИЕ В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ [3
13. Горюче смазочные материалы, технические жидкости и резинотехнические изделия для автомобиля ВАЗ-21043
14. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине ldquo;Процессы и аппараты пищевых производствrdquo;
15. БАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА ЧИ ГОУ ВПО БГУЭП Кафедра мировой эконо
16. Вейделевская средняя общеобразовательная школа Вейделевского района Белгородской области п
17. 1 вопрос. Название слоя Высота верхней границы Харак
18. Преступления против общественной безопасности
19. Реализация уровневой дифференциации при обучении математике
20. М Ю Лермонтова Информационные ресурсы Информкультура Ресурсы Интернета в библиотечной практике