Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Лабораторная работа 5 Математический маятник Цель работы- Изучение свободных колебаний маятника с хо

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-10


Лабораторная работа № 5

Математический маятник

Цель работы: Изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного  падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.

Оборудование: лабораторная установка.

Теоретическое введение

Период малых колебаний физического маятника (см. работу № 6) равен:

                                                                                                (1)

где Io  момент инерции маятника относительно оси ОО качаний, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т.е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.

Исследуемый в лабораторной                                                                

установке маятник схематически изо-

бражен на рис. 1. Он представляет со-

бой стальной шарик радиусом r на би-

филярном подвесе: тонкая нить пропу-                  

щена через центр шарика, концы нити

закреплены на стойке. Длина подвеса

может регулироваться в пределах от

нескольких сантиметров до примерно

25 см. Период колебаний с высокой

(до 10-4с) точностью измеряется с

помощью электронного секундомера.

                                                                                                                 Рис. 1.

          Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси ОО в виде:

                      Io = Iс + ma2 = 2mr2/5 + ma2                                            (2)

Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса-Штейнера, если учесть, что момент инерции Iс однородного шара радиусом r и массой m относительно оси, проходящей через центр шара, равен

Iс = 2mr2/5

Рассмотрим случай, когда радиус шара мал по сравнению с длиной подвеса (случай математического маятника):    r a.       Тогда   в (2)   можно пренебречь слагаемым          Iс = 2mr2/5 по сравнению с ma2 и положить:

                                            Io   ma2                                                            (3)

В этом приближении Io определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью

           Iсист /Io = (2mr2/5)/(ma2 ) = (2r2)/(5a2 )                                (4)

которую в условиях эксперимента легко оценить (она равна, примерно, 0,5%).

С учетом (3) период колебаний  маятника может быть записан в виде:

                                                                                                        (5)

Он, как должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого равна а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:

                                               g = 42a/T2                                                     (6)

Измерения

Соотношение (6) позволяет опытным путем определить значение ускорения свободного падения в нашей лаборатории. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний Т маятника и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6) и оценить точность полученного значения.

Однако прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.

Дело в том, что выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:

  1.  маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);
  2.  затуханием колебаний можно пренебречь

Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3-5о) и большой (30-45о) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника при различных значениях амплитуды в пределах от 2-3о до 10-15о.

Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки Т к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.

В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости V его движения:

Fтр = - bV

где b  0 – коэффициент пропорциональности.

Период T колебаний маятника несколько увеличивается, а частота

= 2/T колебаний уменьшается по сравнению с частотой o = 2/To колебаний маятника без трения:

                                                                                               (7)

а их период

                                                                                (8)

где

Здесь  - коэффициент затухания, который выражается через число колебаний N (обычно это достаточно большое число), за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз:

                            = 1/(NT)   1/(NTo)                                     (9)

Из соотношений (7) – (9) находим

     (10)

                    (11)

Откуда

                 T/T = (T – To)/T 1/(82N2)                          (12)

Видно, что уже при N  10 эта поправка меньше, чем 10-3 (т.е. меньше 0,1 %) и ею можно пренебречь.

Задание

  1.  Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8 – 10 значений амплитуды   в пределах от 0 до 30о. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1 % ; 0,5 % ; 1 %.

Таблица 1.

 

Т()

2. Определите по формуле (12) влияние затухания на период колебаний. Для  этого найдите число N колебаний, за которое амплитуда колебаний маятника уменьшается примерно в три раза.

3.Вычислите наименьшую длину подвеса маятника амин, при которой с точностью до 0,5 % можно считать момент инерции маятника равным Io = ma2. Для этого в соотношении (4) примите Iсист /Iо = 0,005 и вычислите амин.

4. Проверьте, подтверждается ли на опыте линейная зависимость Т 2 = 42а/g

между квадратом периода колебаний Т 2 и длиной подвеса а. (см. (6)). Для этого измерьте период колебаний маятника для пяти - семи длин подвеса в пределах от амин  до амакс .

  При измерениях амплитуда  колебаний должна быть малой, т.е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности. Результаты измерений занесите в табл. 2.

Таблица 2.

а, м

Т(а), с

Т2(а), с2

По результатам измерений постройте график зависимости Т 2 от а в осях координат а, х = у = Т 2.

5. Определите ускорение свободного падения g. Для этого измерьте период колебаний маятника с необходимой точностью при наибольшем значении длины подвеса а = амакс, чтобы уменьшить относительную погрешность а/a. Вычислите g с помощью формулы (6 ) при найденных значениях Т и а. 

  Оцените погрешность g и запишите полученный результат в виде:

g = gср   g = …

Контрольные вопросы.

1. Основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух. На шар радиусом R, движущийся со скоростью V, действует сила трения                    Fтр = 6RV , где - коэффициент вязкости. Вязкость воздуха при нормальных условиях = 1,710-5 Пас. Оцените максимальную силу трения, действующую на шар, например,   при а = 25 см, R = 1 см и   = 15о.

  1.  Что называется моментом инерции ?
  2.  Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.
  3.  От чего зависит точность измерения периода колебаний ?
  4.   Что означает следующее утверждение: »В диапазоне амплитуд от 0 до 15о колебания остаются изохронными с точностью до 1 %» ?


О

а




1. Дианетику Л. Рона Хаббарда Дианетика искателям сфабрикованного счастья Эрих Фромм Челов
2. 1917 гг. После реформы 1861 г.
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Харків ~6 Дисе
4. Фев. Март Апр
5. Тема Підвищення кваліфікації і атестація педагогічних працівників
6. УТВЕРЖДАЮ Генеральный директор Название Компании Ф
7. Frmer Boys
8. Содержание договора и классификация его условий
9. Контрольно-надзорные полномочия органов исполнительной власти
10. Лекция с использованием ИКТ Оценивание в образовании- как и для кого 1 слайд титульный лист 2 слайд Раз.html
11. Milky Clenserшаг 1- очищающее молочко 300 1320 р MU3 Illum
12. Контрольная работа- Міжнародний факторинг як форма кредитування зовнішньої торгівлі
13. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата юридичних наук Київ ~ Дисе
14. документооборот.html
15. 9 ВВЕДЕНИЕ
16. К данному понятию относится структура системного программного обеспечения а также комбинация аппаратного
17. Актуальные проблемы гражданского процессуального права 1
18. ЧТО ГДЕ КОГДА приглашает Принять активное участие в конкурсе который с
19. . Мера неопределенности в состоянии поведении наблюдаемых или управляемых объектов в выборе управляющих ре.
20. .И. Горбачев Минск 2013 COДEРЖНИE [1] COДEРЖНИE [1