Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Тема 1 Парная регрессия и корреляция Тема 2

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-10

Бесплатно
Узнать стоимость работы
Рассчитаем за 1 минуту, онлайн

ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ « ЭКОНОМЕТРИКА»

Руководство составлено на основании учебной программы данной дисциплины, составленной в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки студентов экономических специальностей.

Содержание

1. Перечень тем и подтем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

Тема 2. Множественная регрессия и корреляция

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

Тема 4. Временные ряды

2. Литература

  1.  Перечень тем

Тема 1. Парная регрессия и корреляция

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 2], Л2 [Гл. 1], Л3 [Гл. 1, 3, 5].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. По территориям региона приводятся данные за календарный год (см. табл. 1).

Таблица 1

Номер

региона

Среднедушевой прожиточный

минимум в день одного

трудоспособного, руб., x

Среднедневная

Заработная плата,

руб., y

1

78

133

2

82

148

3

87

134

4

79

154

5

89

162

6

106

195

7

67

139

8

88

158

9

73

152

10

87

162

11

76

159

12

115

173

Требуется:

  1.  Построить линейное уравнение парной регрессии y от x.
  2.  Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
  3.  Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
  4.  Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
  5.  Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
  6.  На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:

  1.  Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

;

.

Получим уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 100 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 89 руб.

  1.  Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;

Коэффициент детерминации при этом составит:

.

Это означает, что 51% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8-10%.

  1.  Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости  и степенях свободы  и  составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы  и  составит .

Определим случайные ошибки , , :

Таблица 2

x

y

1

78

133

10374

6084

17689

149

-16

12,0

2

82

148

12136

6724

21904

152

-4

2,7

3

87

134

11658

7569

17956

157

-23

17,2

4

79

154

12166

6241

23716

150

4

2,6

5

89

162

14418

7921

26244

159

3

1,9

6

106

195

20670

11236

38025

174

21

10,8

7

67

139

9313

4489

19321

139

0

0,0

8

88

158

13904

7744

24964

158

0

0,0

9

73

152

11096

5329

23104

144

8

5,3

10

87

162

14094

7569

26244

157

5

3,1

11

76

159

12084

5776

25281

147

12

7,5

12

115

173

19895

13225

29929

183

-10

5,8

Итого

1027

1869

161808

89907

294377

1869

0

68,9

Среднее

значение

85,6

155,8

13484,0

7492,3

24531,4

5,7

12,84

16,05

164,94

257,76

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры a, b и  не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью  параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

  1.  Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:  руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит:  руб.
    1.  Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб.

  1.  Построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):

Рис. 1.

Пример 2. По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (y, млн. руб.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

y

64

56

52

48

50

46

38

x

64

68

82

76

84

96

100

Требуется:

1. Для характеристики y от x построить следующие модели:

– линейную (для сравнения с нелинейными),

– степенную,

– показательную,

– гиперболическую.

2. Оценить каждую модель, определив:

– индекс корреляции,

– среднюю относительную ошибку,

– коэффициент детерминации,

F-критерий Фишера.

3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4. Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.

5. Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

;

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений x и объемом выпуска продукции y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1

,

.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 82,2 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

.

для = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Определим среднюю относительную ошибку:

.

В среднем расчетные значения  для линейной модели отличаются от фактических значений на 5,685%.


Таблица 1

y

x

yx

x2

1

64

64

4096

4096

13,43

180,36

-17,4

303,8

60,2

3,84

6,000

2

56

68

3808

4624

5,43

29,485

-13,4

180,36

58

-1,96

-3,500

3

52

82

4264

6724

1,43

2,0449

0,57

0,3249

50,3

1,74

3,346

4

48

76

3648

5776

-2,57

6,6049

-5,43

29,485

53,6

-5,56

-11,583

5

50

84

4200

7056

-0,57

0,3249

2,57

6,6049

49,2

0,84

1,680

6

46

96

4416

9216

-4,57

20,885

14,57

212,28

42,6

3,44

7,478

7

38

100

3800

10000

-12,6

158

18,57

344,84

40,4

-2,36

-6,211

Итого

354

570

28232

47492

0,01

397,71

1077,7

-0,02

39,798

Ср. знач.

50,57

81,43

4033,14

6784,57

5,685

56,8

154

7,54

12,41


2. Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:  

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Факт

Переменная

1

64,0

1,806

64

1,806

2

56,0

1,748

68

1,833

3

52,0

1,716

82

1,914

4

48,0

1,681

76

1,881

5

50,0

1,699

84

1,924

6

46,0

1,663

96

1,982

7

38,0

1,580

100

2,000

28

354

11,893

570

13,340

Средн. знач.

50,5714

1,699

81,429

1,906

Обозначим , , .

Тогда уравнение примет вид:

– линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 2.

Таблица 2

y

Y

x

X

YX

X2

1

64

1,806

64

1,806

3,262

3,262

61,294

2,706

4,23

7,32

2

56

1,748

68

1,832

3,203

3,358

58,066

–2,066

3,69

4,27

3

52

1,716

82

1,913

3,284

3,662

49,133

2,867

5,51

8,22

4

48

1,681

76

1,880

3,162

3,537

52,580

–4,580

9,54

20,97

5

50

1,699

84

1,924

3,269

3,702

48,088

1,912

3,82

3,65

6

46

1,662

96

1,982

3,296

3,929

42,686

3,314

7,20

10,98

7

38

1,579

100

2,000

3,159

4,000

41,159

–3,159

8,31

9,98

Итого

354

11,893

13,339

22,637

25,452

0,51

42,32

65,40

,

.

Уравнение регрессии будет иметь вид :

.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации: 

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 83,6 % объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

.

для = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения  для степенной модели отличаются от фактических значений на 6,04%.

3. Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим , , .

Получим линейное уравнение регрессии:

.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.

,

.

Уравнение будет иметь вид: .

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование данного уравнения:

.

Определим индекс корреляции

.


Таблица 3.

y

Y

x

Yx

x2

1

64

1,8062

64

115,60

4096

0,1072

0,0115

-17,43

303,76

60,6

11,464

3,3859

5,290

2

56

1,7482

68

118,88

4624

0,0492

0,0024

-13,43

180,33

58

3,9632

-1,991

3,555

3

52

1,7160

82

140,71

6724

0,0170

0,0003

0,57

0,33

49,7

5,4221

2,3285

4,478

4

48

1,6812

76

127,77

5776

-0,017

0,0003

-5,43

29,47

53,1

25,804

-5,08

10,583

5

50

1,6990

84

142,71

7056

0,0000

0,0000

2,57

6,61

48,6

2,0031

1,4153

2,831

6

46

1,6628

96

159,62

9216

-0,036

0,0013

14,57

212,33

42,5

11,933

3,4544

7,509

7

38

1,5798

100

157,98

10000

-0,119

0,0142

18,57

344,90

40,7

7,3132

-2,704

7,117

Итого

354

11,8931

570

963,28

4749

0,0300

1077,7

67,903

0,8093

41,363

Средн. знач.

50,57

1,6990

81,4

137,61

6785

5,909


Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

.

Вариация результата y (объема выпуска продукции) на 82,8% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

.

для = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка:

.

В среднем расчетные значения  для показательной функции отличаются от фактических на 5.909%.

4. Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение

.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 4.

,

.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Определим индекс корреляции

.

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

.

Вариация результата t (объема выпуска продукции) на 83,5% объясняется вариацией фактора x (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

.


Таблица 4.

y

x

X

yX

X2

1

64

64

0,0156

1,0000

0,0002441

13,43

180,33

61,5

2,489

6,1954

3,889

2

56

68

0,0147

0,8235

0,0002163

5,43

29,47

58,2

-2,228

4,9637

3,978

3

52

82

0,0122

0,6341

0,0001487

1,43

2,04

49,3

2,740

7,5089

5,270

4

48

76

0,0132

0,6316

0,0001731

-2,57

6,61

52,7

-4,699

22,078

9,789

5

50

84

0,0119

0,5952

0,0001417

-0,57

0.32653

48,2

1,777

3,1591

3,555

6

46

96

0,0104

0,4792

0,0001085

-4,57

20,90

42,9

3,093

9,5648

6,723

7

38

100

0,0100

0,3800

0,0001000

-12,57

158,04

41,4

-3,419

11,69

8,997

Итого

354

0,0880

4,5437

0,0011325

397,71

354,2

-0,246

65,159

42,202

Средн. знач.

50,57

0,0126

0,6491

0,0001618

6,029


для = 0,05; , .

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т. к. .

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения  для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 6,029%.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 5.

Параметры

 Модель

Коэффициент

детерминации R2

F-критерий

Фишера

Индекс корреляции

yx (ryx)

Средняя

относительная

ошибка отн

1. Линейная

0,822

23,09

0,907

5,685

2. Степенная

0,828

24,06

0,910

6,054

3. Показательная

0,828

24,06

0,910

5,909

4. Гиперболическая

0,835

25,30

0,914

6,029

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Расчет прогнозного значения результативного показателя:

Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели, подставив в него планируемую (заданную по условию) величину объема капиталовложений:

(млн. руб.).

Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике.

Рис 2. Прогноз по лучшей модели.

Тема 2. Множественная регрессия и корреляция

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 3], Л2 [Гл. 2], Л3 [Гл. 4].

2. Примеры с решениями.

Пример. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  ().

Номер предприятия

y

Номер предприятия

y

1

7,0

3,9

10,0

11

9,0

6,0

21,0

2

7,0

3,9

14,0

12

11,0

6,4

22,0

3

7,0

3,7

15,0

13

9,0

6,8

22,0

4

7,0

4,0

16,0

14

11,0

7,2

25,0

5

7,0

3,8

17,0

15

12,0

8,0

28,0

6

7,0

4,8

19,0

16

12,0

8,2

29,0

7

8,0

5,4

19,0

17

12,0

8,1

30,0

8

8,0

4,4

20,0

18

12,0

8,5

31,0

9

8,0

5,3

20,0

19

14,0

9,6

32,0

10

10,0

6,8

20,0

20

14,0

9,0

36,0

Требуется:

  1.  Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
  2.  Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
  3.  Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
  4.  С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
  5.  С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .
  6.  Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение:

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

7,0

3,9

10,0

27,3

70,0

39,0

15,21

100,0

49,0

2

7,0

3,9

14,0

27,3

98,0

54,6

15,21

196,0

49,0

3

7,0

3,7

15,0

25,9

105,0

55,5

13,69

225,0

49,0

4

7,0

4,0

16,0

28,0

112,0

64,0

16,0

256,0

49,0

5

7,0

3,8

17,0

26,6

119,0

64,6

14,44

289,0

49,0

6

7,0

4,8

19,0

33,6

133,0

91,2

23,04

361,0

49,0

7

8,0

5,4

19,0

43,2

152,0

102,6

29,16

361,0

64,0

8

8,0

4,4

20,0

35,2

160,0

88,0

19,36

400,0

64,0

9

8,0

5,3

20,0

42,4

160,0

106,0

28,09

400,0

64,0

10

10,0

6,8

20,0

68,0

200,0

136,0

46,24

400,0

100,0

11

9,0

6,0

21,0

54,0

189,0

126,0

36,0

441,0

81,0

12

11,0

6,4

22,0

70,4

242,0

140,8

40,96

484,0

121,0

13

9,0

6,8

22,0

61,2

198,0

149,6

46,24

484,0

81,0

14

11,0

7,2

25,0

79,2

275,0

180,0

51,84

625,0

121,0

15

12,0

8,0

28,0

96,0

336,0

224,0

64,0

784,0

144,0

16

12,0

8,2

29,0

98,4

348,0

237,8

67,24

841,0

144,0

17

12,0

8,1

30,0

97,2

360,0

243,0

65,61

900,0

144,0

18

12,0

8,5

31,0

102,0

372,0

263,5

72,25

961,0

144,0

19

14,0

9,6

32,0

134,4

448,0

307,2

92,16

1024,0

196,0

20

14,0

9,0

36,0

126,0

504,0

324,0

81,0

1296,0

196,0

Сумма

192

123,8

446

1276,3

4581

2997,4

837,74

10828,0

1958,0

Ср. знач.

9,6

6,19

22,3

63,815

229,05

149,87

41,887

541,4

97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

  1.  Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров a, , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ; .

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты  и  стандартизованного уравнения регрессии  находятся по формулам:

;

.

Т.е. стандартизованное уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора , чем фактора .

  1.  Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, т.к. . При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

  1.  Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов, и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата y в модели факторами  и .

  1.  Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает F-критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:

.

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

  1.  С помощью частных F-критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного F-критерия для  будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного F-критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора  является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

  1.  Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Тема 3. Системы эконометрических уравнений

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 4], Л2 [Гл. 3], Л3 [Гл. 9].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. Изучается модель вида:

Данная система из трех уравнений содержит три зависимые, эндогенные (, , ) и четыре независимые, экзогенные (, , , ) переменные.

В структурной форме (СФМ) для нахождения параметров модели и  (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

Параметры приведенной формой модели  могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели  и . Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации. 

Структурные формы модели могут быть

– идентифицируемые;

– неидентифицируемые;

– сверхиндетифицируемые.

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: , ,  (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и  (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и  взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

2

3

0

0

Во втором уравнении две эндогенные переменные:  и  (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная  (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных  и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных  и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

1

3

–1

Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: , ,  (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные и  (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных

Переменные

1

0

0

2

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.

Пример 2. Рассмотрим КМНК на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4.

Таблица 4.

Фактические данные для построения модели

n

у1

у2

х1

х2

1

33,0

37,1

3

11

2

45,9

49,3

7

16

3

42,2

41,6

7

9

4

51,4

45,9

10

9

5

49,0

37,4

10

1

6

49,3

52,3

8

16

Сумма

270,8

263,6

45

62

Средн. знач.

45,133

43,930

7,500

10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней  и  ( и  – средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 4 сведены в таблицу 5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов .

Для нахождения коэффициентов  первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n

Y1

Y2

X1

X2

Y1X1

X12

X1X2

Y1X2

Y2X1

Y2X2

X22

1

-12,133

-6,784

-4,500

0,667

54,599

20,250

-3,002

-8,093

30,528

-4,525

0,445

2

0,767

5,329

-0,500

5,667

-0,383

0,250

-2,834

4,347

-2,664

30,198

32,115

3

-2,933

-2,308

-0,500

-1,333

1,467

0,250

0,667

3,910

1,154

3,077

1,777

4

6,267

1,969

2,500

-1,333

15,668

6,250

-3,333

-8,354

4,922

-2,625

1,777

5

3,867

-6,541

2,500

-9,333

9,667

6,250

-23,333

-36,091

-16,353

61,048

87,105

6

4,167

8,337

0,500

5,667

2,084

0,250

2,834

23,614

4,168

47,244

32,115

Сумма

0,002

0,001

0,000

0,002

83,102

33,500

-29,001

-20,667

21,755

134,417

155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения 11 = 2,822 и 12 = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для нахождения коэффициентов 2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения 21 = 1,668 и 22 = 1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем  из второго уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b12 = 0,335; a11 = 2,264.

Найдем  из первого уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b21 = 0,591; a22 = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

,

.

Окончательный вид структурной модели

Пример 3. Изучается модель вида:

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение.

1. Модель имеет три эндогенные (у1, у2, у3) и три экзогенные (х1, х2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (у1, у3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие

переменные

y2

X2

Второе

–1

a22

Третье

b32

0

DetA = l0  b32a22  0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2, y3), отсутствующих экзогенных – 2 (x1, x3).

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и x3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие

переменные

x1

x3

Первое

a11

a13

Третье

a31

a33

DetA = a11a33   a31a13  0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (y2, y3), отсутствующих экзогенных – 1 (x2).

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуют y1 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие

переменные

y1

x2

Первое

–1

0

Второе

b21

a22

DetA = la22 b210 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные y3, x1 и x3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

  

  первое уравнение СФМ:

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и x3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим x1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует x3, которого нет в СФМ.

Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение x1:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить x3 через искомые y1, y3, и x2, заменим в выражении x3 значение x1 на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно,

.

Подставим полученные x1 и x3 во второе уравнение ПФМ:

 второе уравнение СФМ.

3) из второго уравнения ПФМ выразим x2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

.

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

– третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид

Тема 4. Временные ряды

1. Предварительно ознакомиться с теоретическим материалом:

Л1 [Гл. 5], Л2 [Гл. 4], Л3 [Гл. 6].

2. Примеры с решениями.

Пример 1. МОДЕЛЬ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Приведены данные о количестве продукции, проданной компанией в течение последних 13 кварталов.

Дата

Объем продаж,

тыс. шт.

Дата

Объем продаж,

тыс. шт.

1

2

1

2

Январь-март 2003

239

Октябрь-декабрь

384

Апрель-июнь

201

Январь-март 2005

401

Июль-сентябрь

182

Апрель-июнь

360

Октябрь-декабрь

297

Июль-сентябрь

335

Январь-март 2004

324

Октябрь-декабрь

462

Апрель-июнь

278

Январь-март 2006

481

Июль-сентябрь

257

Требуется:

  1.  Построить аддитивную модель временного ряда.
  2.  Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение.

1. Проанализируем данные и попробуем обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, то построенную модель можно будет использовать для прогнозирования объема продаж в следующих кварталах.

Для этого построим график временного ряда (см. рис.).

Из графика следует, что возможен возрастающий тренд, содержащий сезонные колебания. Так объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменилась за последние три года. Тренд показывает, что в среднем объем продаж возрос с 240 тыс. шт. в 2003 г. до 480 тыс. шт. в 2006 г., однако увеличение сезонных колебаний не наблюдалось. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой

.              (1)

2. Расчет сезонной компоненты.

Для исключения влияния сезонной компоненты используют метод скользящей средней, суть которого заключается в нахождении среднего арифметического значения параметра за m моментов времени

.

Для рассмотренных данных об объемах продаж проведем следующие расчеты.

  1.  Производя скольжение по значениям квартальных продаж из колонки 2, вычислим сумму продаж за каждые четыре квартала и внесем ее в колонку 3 табл. 1.
  2.  Вычислим скользящую среднюю за каждые 4 квартала (колонка 4).
  3.  Поскольку усредненные данные, внесенные в колонку 3, относятся не к конкретному кварталу, а к моменту времени между двумя кварталами (например, между апрелем-июнем и июлем-сентябрем 2003 г.), то необходимо получить центрированную скользящую среднюю для каждой пары значений из колонки 4. Полученные значения относятся к конкретным кварталам, начиная с июля-сентября 2003 года, их вносят в колонку 5. Таким образом, величины из колонки 5 являются десезонализированными средними значениями за квартал.
  4.  Сезонную компоненту, содержащую остаток, рассчитывают по формуле  и вносят в колонку 6.
  5.  Используя данные за все годы, вычисляют среднее значение для каждого квартала, что позволит уменьшить значения ошибок (табл. 2).
  6.  Средние оценки сезонной компоненты корректируются, путем увеличения или уменьшения некоторых из них на одно и то же число, таким образом, чтобы их общая сумма была равна 0. Корректирующий фактор рассчитывают следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Например, если в качестве сезонов рассматриваются не кварталы, а дни недели, то устранения влияния сезонной компоненты рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг. Поэтому в этом случае необходимость в центрировании отпадает.

3. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация исходных данных заключается в вычитании скорректированных сезонных компонент (последняя строка табл. 2) из фактических значений данных за каждый квартал, т.е.  (табл. 3).

Нанесем значения новых оценок тренда из колонки 4 на график исходных данных, что еще раз подтвердит существование явного линейного тренда.

Определим уравнение линии тренда методом наименьших квадратов

.           (2)

Таблица 1

Дата

Объем продаж, тыс. шт.

Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за четыре квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

2

3

4

5

6

Январь-март 2003

239

Апрель-июнь

201

919

229,75

Июль-сентябрь

182

240,375

–58,375

1004

251

Октябрь-декабрь

297

260,625

+36,375

1081

270,25

Январь-март 2004

324

279,625

+44,375

1156

289

Апрель-июнь

278

299,875

–21,875

1243

310,75

Июль-сентябрь

257

320,375

–63,375

1320

330

Октябрь-декабрь

384

340,25

+43,75

1402

350,5

Январь-март 2005

401

360,25

+40,75

1480

370

Апрель-июнь

360

379,75

–19,75

1558

389,5

Июль-сентябрь

335

399,5

–64,5

1638

409,5

Октябрь-декабрь

462

Январь-март 2006

481

Таблица 2

Год

Номер квартала

1

2

3

4

2003

2004

2005

+44,375

+40,75

–21,875

–19,75

–58,375

–63,375

–64,5

+36,375

+43,75

Итого

+85,125

–41,625

–186,25

+80,125

Средняя оценка сезонной компоненты

+42,563

–20,813

–62,083

+40,063

Сумма

–0,27

Скорректированная сезонная компонента

+42,631

20,746

62,016

+40,131

Сумма

0,0

Таблица 3

Номер квартала

Объем продаж Y, тыс. шт.

Сезонная компонента S

Десезонализированный

объем продаж, тыс. шт.

1

2

3

4

1

239

+42,631

196,369

2

201

-20,746

221,746

3

182

-62,016

244,016

4

297

+40,131

256,869

1

324

+42,631

281,369

2

278

-20,746

298,746

3

257

-62,016

319,016

4

384

+40,131

343,869

1

401

+42,631

358,369

2

360

-20,746

380,746

3

335

-62,016

397,016

4

462

+40,131

421,869

1

481

+42,631

438,369

4. Расчет ошибок

Из (1) следует, что величина ошибки равна

.

Значение T найдем из уравнения (2), а S из табл. 2. Результаты расчета представлены в табл. 4.

Таблица 4

Номер

квартала

Объем продаж Y,

тыс. шт.

Сезонная

компонента S

Тренд, T

тыс. шт.

Ошибка S,

тыс. шт.

1

2

3

4

5

1

239

+42,631

200,028

-3,659 (1,5%)

2

201

-20,746

220,003

+1,743 (0,9%)

3

182

-62,016

239,978

4,038 (2,2%)

4

297

+40,131

259,953

-3,084 (1,0%)

5

324

+42,631

279,928

+1,441 (0,4%)

6

278

-20,746

299,903

-1,157 (0,4%)

7

257

-62,016

319,878

-0,862 (0,3%)

8

384

+40,131

339,853

+4,016 (1,0%)

9

401

+42,631

359,828

-1,459 (0,4%)

10

360

-20,746

379,803

+0,943 (0,3%)

11

335

-62,016

399,778

-2,762 (0,8%)

12

462

+40,131

419,753

+2,116 (0,5%)

13

481

+42,631

439,728

-1,359 (0,3%)

Столбец 5 можно использовать при расчете среднего абсолютного отклонения MAD (mean absolute deviation) и средней квадратической ошибки MSE (mean square error):

и .

где  и  – это фактическое и прогнозное значение в момент времени t.

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от 0,2% до 2,2%. Тенденция, выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

5. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозные значения рассчитываются по формуле

(тыс. шт. за квартал),

где x – номер квартала, на который дается прогноз, T – значение тренда, рассчитанное по (2), S(x) – сезонная компонента, составляющая в январе-марте 42,6, в апреле-июне – 20,7, в июле-сентябре – 62,0, в октябре-декабре – 40,1. Например, прогноз на апрель-июнь 2006 г. (x = 14) имеет вид

,

тыс. шт.

Можно предположить, что ошибка прогноза будет приблизительно 0,3-2,2% в соответствии с рассчитанными ошибками модели, но чем более отдаленным является период упреждения, тем меньшей оказывается обоснованность прогноза.

Пример 2. МОДЕЛЬ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю трендового значения, т.е. значение сезонной компоненты увеличивается с возрастанием значений тренда. Например, рассмотрим график следующих данных об объемах продаж.

Дата

Объем продаж,

тыс. шт.

Дата

Объем продаж,

тыс. шт.

1

2

1

2

Январь-март 2004

63

Июль-сентябрь

88

Апрель-июнь

74

Октябрь-декабрь

130

Июль-сентябрь

79

Январь-март 2006

69

Октябрь-декабрь

120

Апрель-июнь

82

Январь-март 2005

67

Июль-сентябрь

90

Апрель-июнь

79

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в зимний период выше, чем в летний. Однако размах вариации фактических значений относительно линии тренда постоянно возрастает. Такую ситуацию можно представить с помощью модели с мультипликативной компонентой

.

1. Расчет сезонной компоненты.

Отличие расчета сезонной компоненты для мультипликативной модели от аддитивной модели заключается лишь в том, что в колонку 6 вписываются коэффициенты сезонности (аналог оценок сезонной компоненты в аддитивной модели)

.

Сезонные коэффициенты представляют собой доли тренда, поэтому принимают, что их сумма должна равняться количеству сезонов в году, т.е. 4, а не нулю, как в аддитивной модели. Если бы в качестве сезонов рассматривались дни недели, то эта сумма равнялась бы 7. Если сумма вычисленных коэффициентов  не равна 4, то их корректируют, путем умножения соответствующей доли на .

Таблица 1

Номер квартала

Объем продаж, тыс. шт.

Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за четыре квартала

Центрирован-ная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

2

3

4

5

6

Январь-март 2004

63

Апрель-июнь

74

Июль-сентябрь

79

84

84,5

0,935

Октябрь-декабрь

120

85

85,625

1,401

Январь-март 2005

67

86,25

87,375

0,767

Апрель-июнь

79

88,5

89,75

0,880

Июль-сентябрь

88

91

91,25

0,964

Октябрь-декабрь

130

91,5

91,875

1,415

Январь-март 2006

69

92,25

92,5

0,746

Апрель-июнь

82

92,75

Июль-сентябрь

90

Таблица 2

Номер квартала

1

2

3

4

0,935

1,401

0,767

0,880

0,964

1,415

0,746

Средняя оценка сезонной компоненты

0,756

0,880

0,950

1,408

Сумма

3,994

Скорректированная сезонная компонента

0,757

0,881

0,952

1,410

Сумма

4,000

2. Десезонализация данных при расчете тренда.

Десезонализация данных производится по формуле

.

Таблица 3

Номер

квартала

Объем продаж A,

тыс. шт.

Сезонная

компонента S

Десезонализированный объем продаж A/S=TS, тыс. шт.

1

2

3

4

1

63

0,757

83,2

2

74

0,881

84,0

3

79

0,952

83,0

4

120

1,410

85,1

5

67

0,757

88,5

6

79

0,881

89,7

7

88

0,952

92,4

8

130

1,410

92,2

9

69

0,757

91,1

10

82

0,881

93,1

11

90

0,952

94,5

Уравнение линии тренда .

3. Расчет ошибок.

Ошибки прогнозируемых объемов продаж можно рассчитывать по формуле .

Таблица 4

Номер

квартала

Объем продаж A,

тыс. шт.

Сезонная

компонента S

Десезонализи-рованный объем продаж A/S=TS, тыс. шт.

Тренд T, тыс. шт.

Ошибка

E

1

2

3

4

5

1

63

0,757

83,2

82,8

0,76

2

74

0,881

84,0

84

0,88

3

79

0,952

83,0

85,2

0,95

4

120

1,410

85,1

86,4

1,41

5

67

0,757

88,5

87,6

0,76

6

79

0,881

89,7

88,8

0,88

7

88

0,952

92,4

90

0,95

8

130

1,410

92,2

91,2

1,41

9

69

0,757

91,1

92,4

0,76

10

82

0,881

93,1

93,6

0,88

11

90

0,952

94,5

94,8

0,95

4. Прогнозирование по мультипликативной модели.

MAD  1, MSE  1,6. Ошибки малы, что позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Прогнозные значения определяются по формуле

.

Например, прогнозы объемов продаж в 12 и 13 кварталах:

,

2. Литература

  1.  Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.
  2.  Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
  3.  Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.


Диплом на заказ


1. то говорила но он даже не пытался ее слушать
2. тема понятий ~ аксиома
3. тематики для студентов 12ЭиЭ бзаочное 2 семестр РГЗ ~ 1 Задание 1
4. Является ли эволюционная эпистемология новой научной парадигмой
5. ПЛОСКИНСКИМ ЯСЛИ ' САДОМ ПИНСКОГО РАЙОНА
6. Методы и приемы в изучении зарубежной литературы
7. Лекция 21. Технология кулинарной продукции из яиц яичных продуктов и творога
8. на тему Безработица и гибкость зарплаты
9. Доклад- Алгоритм «рамо»
10. реферату- Метод і методологічне дослідження в науціРозділ- Наукознавство Метод і методологічне дослідженн
11. Явления происходящие на Солнце и их воздействия на Землю Магнитные бури Полярные сияния
12. Дафна і Орфей та Еврідика Джакопо Пері
13. Александр Солженицын в зазеркалье каратаевщины
14. Человек был неразрывно связан с растительным миром с момента своего появления на земле
15. Тема - Разработка пакета документов контроль и регистрация предприятия в форме акционерное
16. Естествознание - фундаментальная наука.html
17. Управление персоналом Методология управления персоналом организации Философия управления п
18. Разработка базы данных для учета работы продуктового склада
19. планирования Правовых бухгалтерских информационных аспектов создания ведения и функционирования бизн
20. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ 2000 Дисерт