Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

тематичних наук Київ ~ Дисертацією є рукопис2

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.1.2022

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНЕ КОСМІЧНЕ АГЕНТСТВО УКРАЇНИ

Інститут космІчНих ДОСЛІДЖЕНЬ

ЛОГІНОВ ОЛЕКСІЙ ОЛЕКСІЙОВИЧ

УДК 681.513 : 550

Аналіз резонансних та нелінійних динамічних процесів стосовно проблем управління плазмою

та теорії гідромагнітного динамо

01.05.04. –Системний аналіз і теорія оптимальних рішень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ –

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті космічних досліджень НАН та НКА України

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Самойленко Юрій Іванович,

Інститут математики НАН України,

головний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Кіфоренко Борис Микитович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, доцент

Макаренко Олександр Сергійович,

Інститут прикладного системного аналізу НАН та Міністерства освіти і науки України, професор

Провідна установа:

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Захист відбудеться 27.06.2003 р.   о  14  годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26. 205. 01 в Інституті космічних досліджень НАН та НКА України за адресою 03022, м. Київ-22, пр. Акад. Глушкова, 40

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту космічних досліджень НАН та НКА України, 03022, м. Київ-22, пр. Акад. Глушкова, 40

Автореферат розісланий 26.05.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради                                                    Куссуль Н.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена системному аналізу з загальних методологічних позицій деяких конкретних моделей, які відносяться до двох актуальних напрямів фізичної кібернетики:

  •  розробки нових методів управління динамічними системами, що мають резонансні властивості щодо внутрішніх ступенів вільності, з орієнтацією на застосування у вібраційній механіці та фізиці плазми;
  •  дослідження механізму генерації магнітного поля в зсувних течіях високоелектропровідної рідини з метою розробки методів ідентифікації процесів в рідких планетних ядрах через спостереження зовнішнього магнітного поля.

Перший з цих напрямів відповідає сучасному підходу до проблеми управління у фізичних застосуваннях і полягає у тому, щоб максимально вивільнити керуючу систему від силової функції для того, щоб керуючі силові впливи були малими в порівнянні з іншими силами, які діють в керованій системі. Така постановка питання неминуче вимагає більш детального опису поведінки керованої системи шляхом введення ієрархії моделей за просторово-часовими масштабами, характерними для процесів, що відбуваються в об’єкті управління через розширення фазового простору системи при урахуванні внутрішніх ступенів вільності. Якщо останнім притаманні резонансні хвильові або коливальні процеси, то доцільно брати керуючі впливи з класу періодичних у часі та просторі. У цьому випадку, підбираючи спектральний склад керувань, можна не тільки зменшувати трати енергії, але й змінювати топологію фазового простору та впливати на величину і знак сприйнятливості по відношенню до зовнішніх сил при дотриманні умов стійкості системи в цілому.

Другий із згаданих напрямів відноситься до геофізики. Добре відомо, що більшість геофізичних явищ є дуже складними і важко піддаються науковому аналізу. Дані, що відносяться до цих явищ, часто є непрямими і їх не можна вважати ні вільними від сторонніх впливів, ні отриманими за однакових умов. В даний час конкурують декілька теорій геомагнетизму, які проте збігаються у двох суттєвих моментах: по-перше, геомагнітне поле має своє джерело у рідкому ядрі Землі, та, по-друге, фізичний механізм цього явища, що отримав назву динамо-процесу, є генерація магнітного поля зсувними течіями високоелектропровідної рідкої речовини. Сучасна наука дотримується думки, що основними джерелами енергії динамо-процесу можуть бути або внутрішня теплова енергія Землі, або кінетична енергія добового обертання планети. Обидві ці версії критикуються їх опонентами через малу ефективність запропонованих для них фізичних механізмів трансформації первинної енергії у зсувну течію –термоконвективного або прецесійного.

Альтернативну точку зору відносно прецесійного механізму являє нещодавно опублікована гіпотеза (В.В Кречетов) про зв’язок сили припливного гальмування твердої оболонки з величиною магнітного поля, що генерується у рідкому ядрі планети. У цьому випадку енергетичним резервуаром процесу генерації магнітних полів Землі та інших планет є кінетична енергія їх добового обертання, якої, наприклад, для Землі цілком достатньо для підтримання магнітного поля впродовж усього часу її існування. Проте фізичний механізм перетворення енергії припливного гальмування у зсувну течію зовнішнього ядра в роботі В.В Кречетова не був запропонований.

У зв’язку зі сказаним стає зрозумілим, що системний аналіз та математичне моделювання механізму припливної генерації магнітного поля в рідких ядрах планет має фундаментальне значення для космології та геофізики. Вони можуть розглядатися як основа для ідентифікації та вивчення процесів у рідких ядрах через спостереження зовнішнього магнітного поля планет.

Зв’язок роботи з програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відділі космічної плазми Інституту космічних досліджень НАН та НКА України:

  •  за темою, затвердженою Президією НАН України “Моделювання еволюціонуючих систем та розробка методів гарантованого оцінювання та робастного управління”, номер Державної реєстрації 0101U000786;
  •  за контрактом з Національним космічним агентством України на виконання НДР (№6-116/96) “Розробка математичних моделей аналізу глобальних динамічних процесів і прогнозування аномальних явищ в літосфері” (шифр “Геодинаміка”);
  •  за контрактом з Національним космічним агентством України на виконання НДР (№2-1/99) “Наукові дослідження в інтересах розвитку космічної науки” (шифр “Фундамент”);
  •  за контрактом з Національним космічним агентством України на виконання НДР (№2-5/99) “Програма наукових досліджень та технологічних експериментів на борту Міжнародної космічної станції (шифр “МКС-менеджер”).

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень, які виконані у дисертаційній роботі, є:

  •  розробка оптимальних методів управління процесами в складних фізичних об’єктах, що мають резонанси у внутрішніх ступенях вільності;
  •  розробка системного підходу до побудови комплексу моделей генерації магнітного поля в рідкому ядрі Землі зсувними течіями, які викликані припливним гальмуванням обертання її мантії.

Для досягнення зазначеної мети сформульовані такі задачі:

  •  Вивести критерій стійкості перевернутого маятника з двома пружно зв’язаними важелями при використанні параметричного підсилення за допомогою резонансної накачки на частоті внутрішніх пружних коливань. Провести порівняння енергетичної ефективності цього резонансного механізму підтримки нестійкої рівноваги з відомою прямою динамічною стабілізацією перевернутого маятника.
  •  На основі методу усереднення Боголюбова, за умов, що у першому порядку за малим параметром прямі параметричні резонанси відсутні, вивести диференціальне рівняння зі сталими матричними коефіцієнтами, яке описує залежність вектора амплітуд коливань від повільного часу, і в результаті розробити процедуру синтезу заданої структури сил еволюційної динаміки.
  •  Побудувати математичну модель, яка демонструє керований перерозподіл енергії випадкових теплових коливань поміж двох осциляторів з модульованим зв’язком та джерелом накачки. Показати, що в такій системі існує можливість трансформації енергії з хаотичної форми до регулярної та навпаки.
  •  З використанням природної ієрархії просторово-часових масштабів нерівноважних процесів в суцільних середовищах синтезувати параметричне резонансне селективне управління дрейфом у багатокомпонентному ансамблі заряджених частинок.
  •  В рамках моделей циліндричного та сферичного шарів нестисливої рідини, яка міститься проміж двох вісесиметричних оболонок, що обертаються, отримати умови виникнення нестійкості азимутальної компоненти течії, що породжує розвиток меридіональної компоненти цієї течії.
  •  Побудувати математичну модель руху малов’язкої нестиснюваної рідини, обмеженої твердими концентричними сферичними оболонками, що обертаються навколо спільної вісі з майже однаковими кутовими швидкостями.
  •  Побудувати структуру поля швидкостей в рідкому сферичному шарі високопровідної слабов’язкої рідини за умов повільного диференціального обертання його границь та доказати можливість самозбудження магнітного поля при досить великому (1010) магнітному числі Рейнольдса у рідкому ядрі Землі в умовах гальмування обертання її зовнішньої оболонки найближчим гравітаційним оточенням (Місяцем та Сонцем).
  •  З позицій системного аналізу проблеми гідромагнітного динамо вивчити умови генерації магнітного поля течією Куетта проміж двох неелектропровідних площин, що рухаються назустріч, виходячи з точного розв’язку задачі у спецфункціях Ейрі комплексного аргументу.

Об’єктом дослідження є керовані процеси та явища в фізичних системах, а також процеси збудження електромагнітних полів через утрату стійкості магнітогідродинамічної течії.

Предметом дослідження є резонансні параметричні та нелінійні динамічні процеси стосовно до задач вібромеханіки, управління плазмою та процесів генерації магнітного поля зсувними ламінарними течіями у рідкому ядрі Землі.

Метод дослідження полягає у проведенні системного аналізу явищ та процесів, що вивчаються з застосуванням методів математичної фізики, асимптотичних методів теорії диференціальних рівнянь, математичних методів класичної механіки, методів функції комплексної змінної та обчислювальних методів.

Наукова новизна одержаних в дисертації результатів.

  •  Для складних фізичних об’єктів, які стабілізуються в околі максимуму потенціальної енергії, на математичній моделі двохступеневого перевернутого маятника з пружним з’єднанням важелів показана можливість зниження енергозатрат на порядок за характерним для параметричної резонансної стабілізації малим параметром.
  •  Одержав подальший розвиток системний підхід до синтезу структури сил еволюційної динаміки, коли разом з параметричним резонансним управлінням на систему лінійних осциляторів з майже кратними частотами діють і непараметричні зовнішні сили.
  •  Вперше поставлена та розв’язана задача оптимального параметричного резонансного управління дрейфом заряджених частинок у заданому напрямку впоперек сильного магнітного поля.
  •  Вперше знайдено аналітичний розв’язок збуреного руху течії Куетта проміж двох циліндрів ідеальної рідини, що обертається, з профілем азимутальної швидкості, який забезпечує незалежність інкременту від радіусу. Одержана явна залежність інкременту від висоти циліндрів, аксіального хвильового числа та власного числа крайової задачі.
  •  Вперше для руху рідини у сферичному шарі, границі якого обертаються з майже однаковими кутовими швидкостями, одержано розв’язок з трьома пограничними шарами, в тому числі на зовнішній та внутрішній сферах, а також у околі екваторіальної площини. При цьому виявилося, що профіль течії у внутрішньому об’ємі суттєво відрізняється від запропонованої Праудменом моделі твердотільного обертання.
  •  Для знайденої внутрішньої течії вперше розв’язана задача про збудження магнітного поля. Отримано значення магнітного числа Рейнольдса (Rem~383), близьке до встановленого з геомагнітних спостережень (Rem~150).
  •  В перше одержано точний у спецфункціях Ейрі розв’язок задачі про збудження магнітного поля плоскою течією Куетта провідної рідини. Визначені критичні параметри збудження магнітного поля та побудовані епюри струмів, що його викликають.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати можуть мати практичне значення для побудови систем управління в області вібротехніки, фізики плазми та керованого термоядерного синтезу, а також для системного аналізу та ідентифікації процесів, що протікають у рідкому ядрі Землі.

Особистий вклад здобувача У роботах [4-13] результати отримані на паритетних засадах. У роботах [5,6,9,10] особисто здобувачем виконані всі роботи з комп’ютерного моделювання. Роботи [14-18] виконані здобувачем самостійно.

Апробація результатів роботи. Матеріали дисертації доповідались на наступних конференціях:

  •  на 8-й Українській конференції з керованого термоядерного синтезу та фізики плазми (Алушта, 2000 р.),
  •  на 1-й та 2-й Українських конференціях з перспективних космічних досліджень (Київ,2001 та Кацівелі,2002),
  •  на Міжнародних конференціях з математичного моделювання (Херсон, 1998-2002).

Результати роботи також обговорювались на наукових семінарах відділу космічної плазми Інституту космічних досліджень НАН та НКА України у 1997-2002 рр. та на Київському міському семінарі з нелінійного аналізу Інституту математики НАН України у 1998-2002 рр.

Публікації. Результати дисертації опубліковані у вигляді 5 статей в наукових журналах, 6 статей у збірниках наукових праць, 3 доповідей в матеріалах конференцій та 1 у тезах конференції. Усього по темі дисертації опубліковано 15 робіт, з яких 7 статей [4,5,12,14-17] надруковані в журналах та збірниках, що входять до списку ВАК ведучих спеціалізованих видань з фізико-математичних наук.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, 4 розділів, загальних висновків та списку використаної літератури. Загальний об’єм дисертації складає 154 сторінки машинописного тексту, дисертація містить 22 рисунки та 2 таблиці. Список використаної літератури налічує 32 найменування.

Короткий зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, проаналізовано проблематику, сформульовано мету та визначено коло задач, що розглядаються у роботі.

 У розділі  проведено аналіз розвитку та сучасного стану в управлінні складними фізичними об’єктами та у проблемі генерації магнітного поля Землі.

 У розділі 2 (4 підрозділах) дістав подальший розвиток підхід до синтезу систем стабілізації та управління, заснований на використанні складних параметричних резонансів у динамічних системах. Як показано у дисертаційній роботі, запропонований підхід дозволяє, зокрема, подолати відомі труднощі стабілізації плазмових конфігурацій відносно жолобкових збурень. В цілому він спрямований на забезпечення стійкості рівноважних станів фізичних систем в околі максимуму потенціальної енергії.

 У підрозділі .1 розглянуто модель (рис.1) двохступеневого перевернутого маятника на вібруючій шарнірній опорі О, який має в’язкопружний зв’язок у шарнірі О. Моделі з аналогічною кінематичною схемою, але з принципово іншим співвідношенням параметрів (від яких суттєво залежить динаміка резонансних процесів), ніж у запропонованому варіанті, використовувались і раніше іншими авторами (H. Ziegler, С.А. Агафонов, Г.А. Щеглов). Популярність наведеної кінематичної схеми пояснюється її очевидною зручністю для спрощення демонстрації утрати стійкості навантаженого стержня як відносно поздовжнього вигину, так і відносно його перекидання.

 На відміну від раніше відомих методів динамічної стабілізації подібних конструкцій запропонований метод використовує параметричне резонансне збудження пружних коливань усередині об’єкта, що стабілізується, як механізм негативного зворотного зв’язку. З цією метою частота  вібрації шарнірної опори Овибирається трохи вищою за власну частоту  пружних коливань у зєднанні О відповідно формулі  = (1-), де 0 <  << 1. Припускалося, що інкремент нестійкості перекидання перевернутого маятника відносно шарніру О має порядок . Математична модель складного параметричного резонансу в даній системі в наближенні малих коливань описується квадратичною функцією Лагранжа з періодичним за часом коефіцієнтом. 

та дисипативною функцією Релея. При дослідженні застосовувались стандартні процедури переходу до нормальних координат та виводу системи скорочених рівнянь. В результаті (Твердження 2.1. Висновок)(*) була побудована структура схеми замкненої системи регулювання (рис.2), ланки якої інтерпретуються як “об’єкт” та “регулятор” з передаточними функціями, що мають вигляд, де передаточний коефіцієнт  –пропорційний амплітуді накачки. В результаті доказано (Твердження 2.2 та 2.3), що існує область параметрів моделі, що фізично реалізується, при яких для стабілізації достатня амплітуда накачки порядку . Для методично коректного порівняння енергетичної активності запропонованого методу параметричної резонансної стабілізації з відомим методом прямої динамічної стабілізації всі параметри моделі, крім амплітуди накачки, вибиралися тотожними в обох варіантах. Проте в шарнірі О в’язкопружний зв’язок замінювався жорстким з’єднанням. Проведене дослідження показало, що при інших рівних умовах для стійкості за методом прямої динамічної стабілізації потрібна амплітуда накачки порядку , тобто на порядок більша ніж за запропонованим резонансним методом. Таким чином, досягається економія потужності накачки на два порядка по . В конкретному прикладі, який допускає нескладну практичну реалізацію, продемонстровано енергетичний виграш більше, ніж у 20 разів.

 У підрозділі 2.2 викладається загальний підхід до математичного моделювання динамічних процесів в системах з параметричним резонансним управлінням. Оскільки в резонансних процесах головну роль відіграють недисипативні сили, спочатку розглянемо динаміку канонічної системи з n ступенями вільності, яка задана гамільтоніаном

Тут p, q, –імпульси, координати та цілочисельні частоти лінійних осциляторів, на які діють майже періодичні зовнішні сили  з повільно змінюючимися у часі t амплітудами, , , а  і  –коефіцієнти параметрично модульованих лінійних зв’язків першого та другого порядку за малим параметром (0<  <<1). У векторно-матричному наведенні гамільтоніан (1) набуває вигляду, де  –діагональна матриця власних частот, , , причому, , , , (  –транспонування, –комплексне спряження). Комплексифікація фазових змінних приводить гамільтоніан до форми, де, ,. Миттєві значення осцилюючих векторів  і , виражаються через їх комплексні амплітуди  і  за допомогою залежного від часу унітарного перетворення. В результаті (Твердження 2.5) вихідне рівняння за допомогою простих канонічних перетворень приводиться до стандартної форми для застосування методу усереднення Н.Н. Боголюбова:

де, , , ,. У свою чергу, матриці, визначаються через параметри вихідної системи наступними виразами:, , де, , , , , , , , а векторні амплітуди зовнішніх сил, –з співвідношень,  .

Якщо резонанси вищих порядків в системі відсутні, то рівномірне по t друге наближення для x (т.з. непокращене наближення) дається формулою

де  –еволюційна складова вектора, причому |O(t,)| M.

Диференційне рівняння другого наближення для у має такий вигляд:

. (5)

Тут символ  означає операцію усереднення за період часу t, який явно входить у вирази, що стоять у фігурних дужках, причому, , , де, , , , , , , , , причому,.

Зауваження. Для подальшого принципове значення має наступне. Якщо, то вплив членів порядку  у рівнянні (5) перекриває вплив членів порядку  і це виключає можливість використання матриць  для формування необхідної динаміки еволюційних процесів. Тому матричні елементи, що визначають матрицю , будемо вважати у подальшому рівними нулю. Для цього достатньо для кожної пари осциляторів з індексами  і  покласти рівними нулю коефіцієнти зв’язків на сумарній та різницевій частотах:

В тому числі при  виявляється, що. При наявності сил дисипації, що задані функцією Релея  рівняння еволюції амплітуд  і  приймає вигляд

де, , , , ,  .

Рівняння (7) цілком визначає еволюцію амплітуд вимушених високочастотних коливань осциляторів в системі, що досліджується, при взаємодії як високочастотних, так і низькочастотних  зовнішніх сил. При дослідженні перехідних процесів потрібно завдання початкових умов.

 Ще раз звернемо увагу на те, що, дякуючи усуненню резонансних ефектів другого порядку по  умовами (6), черговим незникаючим порядком по  стає , і тоді відкриваються широкі можливості синтезу матриць, що визначають еволюційну динаміку, які обмежені лише вимогами симетрії матриці  та ермітовістю матриці, конкретний вираз яких залежить від спектру матричних амплітуд параметричної накачки  та.

Аналіз реакції системи параметрично збуджених осциляторів на зовнішні впливи виявляє, що, в силу (3), разом з високочастотними коливаннями на виході існує також низькочастотна складова еволюційних процесів. Якщо матриця  –унітарна, вдається виразити  через допоміжний вектор узагальнених координат  за формулою, причому  разом з допоміжним вектором узагальнених імпульсів , визначається (Твердження 2.9) рівнянням.

де, , ,.. Виключаючи, приходимо до рівняння 2-го порядку, де, , , , , , ,. Результатом проведеного розгляду є

Твердження 2.11 Аналіз структури сил, яка реалізується в системі (1) по низькочастотному каналу взаємодії з зовнішніми об’єктами (вектор усереднення координат , вектор усереднених сил ) показує, що вибором параметрично модульованих лінійних зв’язків між осциляторами можна розпорядитися таким чином, щоб синтезувати всі різновиди узагальнених сил, які розрізняються за їх математичною структурою.

 У підрозділі 2.3 розглянуто задачу керованого переносу енергії між двома осциляторами з параметрично модульованою взаємодією та джерелом накачки. Дане дослідження базується на загальнотеоретичному підході, розробленому у попередньому підрозділі 2.2. Для конкретності розглянута модель двох коливальних контурів, які описуються наступною безрозмірною системою рівнянь

де, –заряди, , –омічні опори, t “швидкий “час,   “повільний” час. Коливання зарядів подамо у вигляді,. Система рівнянь для огинаючих,  і, , яка є наслідком (7), за умов, розпадається на дві незалежні підсистеми

де, а та b –параметри накачки. Їх розв’язок у Фурє-зображенні, коли, має вигляд

, , , де.

 Для термодинаміки відкритих систем викликає інтерес дослідження можливості управління потоками енергії за умов, що джерелами зовнішніх сил є флуктуаційні ЕРС. Розглянемо важливий для застосувань випадок, коли ЕРС джерел утворюються тепловими флуктуаціями. Тоді статистичні середні значення спектральних густин визначаються формулою Найквиста, яка дає у високотемпературному випадку (T>>h) такі вирази для спектральних густин:, (=1 або 2), де W –масштабна величина вимірів потужності. При цьому  та  повинні розглядатися як взаємно некорельовані випадкові функції. В моделі, що розглядається, обмінюються енергією три фізичні підсистеми, а саме, джерело накачки та два термостати резисторів r, r з температурами , . Енергетичний баланс між ними визначають наступні потужності:

, –потужності, що вводяться в систему та утворюються ЕРС Найквиста за допомогою відбору енергії від відповідних термостатів з температурами  та ;

, –джоулеві втрати у резисторах r, r, що повертаються назад у термостати;

, –остаточні потужності, що віддаються (при позитивному знаку) термостатами в електричні ланцюги. При обчисленні часових та статистичних середніх потужностей та подальшому інтегруванні по усьому спектру частот отримані такі результати

Розв’язок оптимізаційної задачі за енергетичним критерієм призводить до результату. Тоді сумарна потужність, що передається (з урахуванням знаку) джерелу накачки, визначається формулою. Зроблені припущення реалізуються при

Твердження 2.12

1о. Система (8) з управлінням (10) здатна перетворити енергію флуктуацій у енергію упорядкованих коливань накачки, якщо >2, що означає.

2о. Навпаки, якщо, пристрій накачки віддає частину енергії осциляторам.

3о. У відповідності з формулами (9) виявляється, що перший осцилятор віддає більше енергії, передаючи її накачці, ніж отримує від другого осцилятора, тобто охолоджується, а другий осцилятор, маючи протилежний енергобаланс, нагрівається.

У підрозділі 2.4 наведено результат досліджень, що містяться в розділі 2.

У розділі 3 (3 підрозділах) розроблено теоретичне обгрунтування нового методу селективного управління дрейфом частинок багатокомпонентної плазми шляхом резонансного впливу складного гармонійного складу. Природно, що при управлінні процесами у високотемпературній плазмі органи управління не можуть знаходитися усередині плазмового об’єму. Тому, якщо спектральний склад зовнішнього впливу не відповідає спектру плазмових хвиль, то він не проникає у плазму глибше скін-шару. Звідси витікає, що більшість внутрішніх плазмових процесів, таких як дрейф, дифузія, локальні нестійкості, виявляються, як правило, неспостережуваними та некерованими зовні.

 У підрозділі 3.1 показана можливість управління процесом переносу іонів у замагніченій плазмі шляхом одночастотної дії однорідним змінним магнітним полем. Розглядається плазмовий циліндр (рис.3) у однорідному за простором магнітному полі, де, а частота накачки близька до іонної циклотронної

частоти  (). Будемо вважати, з однієї сторони, зіткнення між частинками рідкими, що вказує на достатню замагніченість плазми і дає можливість застосувати одночастинкову модель, а з другої сторони, розглядуваний процес достатньо довгий, щоб цікавитися тільки вимушеними розв’язками, тобто тими, що наближаються до нуля при B0. Рух частинок, з урахуванням сильної замагніченості, за допомогою уведення безрозмірного часу  = t та локальної декартової системи координат, яка прив’язана до ведучого центру ларморівського кола, описується системою рівнянь, , де. Розв’язок шукається у вигляді ступеневих рядів по ~:,. Середня за періодом накачки азимутальна швидкість дається через параметри моделі таким чином:. Для визначення радіального дрейфу рівняння руху частинки доповнюється зіткненевим членом та набуває вигляду:, де частота зіткнень. Тоді у третьому наближенні по  виникає дрейф з середньою швидкістю. Як видно, азимутальна та радіальна швидкості дрейфу залежать від  та амплітуди накачки, що дозволяє здійснювати селективне управління потоками частинок плазми в залежності від їх циклотронних частот.

 У підрозділі 3.2 досліджується двохчастотне резонансне управління дрейфом частинок замагніченої плазми. Об’єктом управління є потік заряджених частинок, взаємодією між якими у наближенні, що розглядається, можна знехтувати. Частинки утримуються у заданому об’ємі, який має конфігурацію локально плоского шару, сильним постійним магнітним полем H, спрямованим, як показано на рис.4, уздовж вісі x. Як керуюче діяння беруться дві плоскі магнітозвукові хвилі, що рухаються назустріч з альфвенівською швидкістю vA=/k уздовж вісі x, з профілем, який визначається у загальному випадку довільною кусочно-гладкою 2-періодичною функцією F(). Плоский рух частинок впоперек магнітного поля описується канонічною системою рівнянь з гамільтоніаном, де, ,. Заздалегідь не ясно, чи може швидкість дрейфу суттєво залежати від циклотронної частоти, яка визначається відношенням e/m, тобто бути селективно керованою. Покажемо, що вибором параметрів F() можна, в залежності від , управляти усередненою за періодом хвилі дрейфовою швидкістю в радіальному напрямку.

Завдяки інтегралу, обумовленому внутрішньою динамічною симетрією системи, стає можливим звести управління рухом до рівняння 2-го порядку

,

де =t, , , , , –феноменологічна в’язкість, яка введена для регуляризації. По знайденому з наближеного розв’язку =() визначається величина “радіальної” дрейфової швидкості.

Розв’язок для  шукається у вигляді ряду. Подальший аналіз виконано для двох варіантів керуючого впливу F():,. Зокрема у випадку F() отримано вираз. Для F() відповідний вираз тут не наводиться через його громіздкість. В обох випадках очевидним є факт можливості селективного за циклотронною частотою управління “радіальним” дрейфом як за величиною, так і за знаком. На відміну від випадку підрозділу 3.1 роль дисипативного параметру  не є визначальною.

 У підрозділ 3.3 сформульовані висновки за результатами досліджень селективного резонансного управління дрейфом частинок багатокомпонентної плазми.

 У розділі 4 (3 підрозділах) викладено результати математичного моделювання МГД процесів у рідкому ядрі Землі.

 У підрозділі 4.1 (4 пунктах) досліджується гідродинамічна частина кінематичного підходу для моделей вісесиметричного обертання рідини.

 У пункті 4.1.1 наведені результати дослідження стійкості плоскої вісесиметричної течії. При заданому профілі окружної швидкості  та густини моменту імпульсу течії  варіація густини енергії на одиницю маси визначається формулою. Згідно енергетичному принципу критерієм виникнення локальної нестійкості є умова. У випадку, коли, реалізується пограничний режим, який названо критичним. Цікавлячись описом руху у системі відліку, що обертається, подамо  у вигляді суми переносної швидкості однорідного обертання та відносної швидкості, де  є нейтральний профіль швидкостей, а  –характеризує рівноінкрементне надкритичне прирощення поля швидкості. Параметр , який називається далі параметром надкритичності нестійкої рівноінкрементної азимутальної течії, визначає інтенсивність розвитку нестійкості. В результаті сумарний вектор швидкості в циліндричній системі координат, що обертається, при розвитку нестійкостей подано у вигляді, де  шукане мале збурення.

 У пункті 4.1.2 виведено диференціальне рівняння для збурення швидкості рідини  в циліндричній системі координат, що обертається з кутовою швидкістю  разом з Землею. Конкретно для рівноінкрементного незбуреного профілю швидкості, вісесиметричних збурень , при  та знехтуванні в’язкістю це рівняння має вигляд

,

де . Дослідження динаміки циліндричного шару рідини, що обертається, в режимі, близькому до критичного, вдається провести в аналітичній формі з використанням розкладів по циліндричним функціям Z(). Зокрема, одержано явний вираз для інкременту нестійкості  в залежності від параметру надкритичності  аксіального хвильового числа k, висоти b циліндричного шару, а також коренів характеристичного рівняння системи ,   (n = 1, 2, 3, ...).

 У пункті 4.1.3 дослідження, аналогічне попередньому, виконано для сферичного шару. Відповідна крайова задача у цьому випадку вже допускає розділення гармонік за методом Гальоркіна , де  –циліндрична функція напівцілого індексу,  –приєднані поліноми Лежандра першого порядку,  –власні числа крайової задачі, що визначаються з умов непротікання на внутрішній (Si) та зовнішній (Se) границях сферичного шару. Оскільки сили в’язкості призводять до швидкого затухання вищих гармонік, достатньо при побудові наближеного розв’язку використовувати лише гармоніки з порівняно невеликими номерами хвильових чисел. Завдяки властивостям симетрії вдається розділити  спектри гармонік з парними та непарними номерами  полоїдальних хвильових чисел. Ураховуючи це, прийнятна точність для виявлення якісної картини (рис.5) полоїдальної течії, що розвивається, досягається вже при загальному числі гармонік N = 6.

 У пункті .1.4 поставлена та розв’язана задача розрахунку течії слабов’язкої рідини між концентричними сферами, що обертаються навколо однієї вісі з близькими кутовими швидкостями. Якщо у попередньому пункті незбурене поле швидкостей вважається заданим, то в даному пункті розрахунок стаціонарної течії з відомими кутовими швидкостями границь є метою дослідження. Вихідним є рівняння

,     ,

де  –швидкість течії відносно системи координат, що обертається з кутовою швидкістю  зовнішньої сферичної оболонки, , W –узагальнений потенціал, 0<<<1, =1. На твердих границях задані умови непротікання та прилипання. При малій інтенсивності стаціонарного диференціального обертання у вихідних рівняннях достатньо урахувати тільки сили Коріоліса та в’язкого тертя. Тоді вісесиметрична течія  визначається рівняннями

,  , (11)

де =/2. Як виявилось, при наявності диференціального обертання в екваторіальній площині існує внутрішній пограничний шар, який, як і пристінні пограншари, гладко сполучається з внутрішньою течією. Розв’язками рівнянь (11) у внутрішній області, де слід вважати 0, являються F=F(), V=V(), а в пограничних шарах вводяться локальні координати, в яких рівняння (11) у першому наближенні по  зводяться до системи звичайних диференціальних рівнянь 12-го порядку. Для знаходження 12-ти констант інтегрування та параметру, який визначає положення точки сполуки, записуються 13 крайових умов. В результаті визначена картина течії у внутрішньому об’ємі, яка описується функціями

,  . (12)

У подальшому, при розгляданні питань генерації магнітного поля, впливом пограншарових течій через їх малу товщину та, відповідно, магнітопрозорість можна знехтувати.

Таким чином, дослідження течії, викликаної ефектом припливного гальмування зовнішньої оболонки, показало, що для гідромагнітного динамо є суттєвою тільки азимутальна складова швидкості, що визначається формулою (12).

 У підрозділі 4.2 (2 пунктах) показана можливість генерації магнітного поля зсувними течіями, обумовленими механізмом припливного гальмування.

 У пункті 4.2.1 розглянуто фрагмент зсувної течії у вигляді плоскопаралельної течії Куетта електропровідної рідини і доказано існування зон генерації магнітного поля у просторі параметрів моделі. Завдяки прийнятому лінійному профілю швидкості  крайова задача , , у класі функцій    у  комплексному  зображенні  зводиться  до

побудови аналітичних розв’язків відповідної крайової задачі для рівняння Ейрі  на площині комплексної змінної , причому . При комплексіфікації відрізок [-1,1] матеріальної прямої переходить у прямолінійний відрізок на комплексній площині Z, перпендикулярній матеріальній вісі та з’єднуючий комплексно сполучені точки , де а і  визначені співвідношеннями , . Області генерації магнітного поля на площині параметрів {a} мають характерну зонну структуру, показану на рис.6.

 У пункті 4.2.2 обгрунтовано існування стаціонарного (з урахуванням дрейфу) розв’язку рівняння  , де  –поле швидкостей, знайдене в п.4.1.4 ,  –магнітна в’язкість, що визначається з урахуванням інтенсивності диференціального обертання. Гранична умова  ураховує неелектропровідність зовнішньої оболонки, а збурення, внесене твердим ядром радіусу = a 0,36, виявляється несуттєвим, тому що при < a обертання рідини є майже однорідним. Розв’язок початкової крайової задачі зводиться до знаходження спектральних чисел  та модальних стовпців  ( = 1, 2, 3, …) скороченої системи лінійних рівнянь  , де символ  означає скалярний добуток,  (={m,n,l} –мультиіндекс, m,n,l –азимутальне, полоїдальне та радіальне хвильові числа), а  –сферичні гармоніки z-компоненти вектора Герца, які задовольняють скалярному рівнянню Гельмгольца  та умові Дирихле , тому що , а . Чисельний розв’язок задачі за методом

Гальоркіна припускає обмеження деяким числом N розмірності простору гармонік, упорядкованих по k. Для визначення локалізації коренів  характеристичного поліному при N=12 досліджено поведінку його годографу в залежності від магнітної в’язкості  (рис.7). В

результаті визначено критичне значення 0.00261, що відповідає нульовому інкременту  та дрейфовій частоті 0.986. Для критичного режиму результати розрахунків у вигляді епюр ліній рівня величин трьох компонент густин струму зображені на рис.8. На цих ілюстраціях помітна спіральна закрутка розподілення густини струму, викликана диференціальним обертанням (напрям вісі Z співпадає з напрямом вісі обертання, а епюри густин струмів побудовані для площини, що перпендикулярна вісі Z, на відстані, яка дорівнює 0,75 відстані від центру сфери до її границі).

ВИСНОВКИ

 У дисертації на основі системного аналізу проведені дослідження процесів у складних фізичних об’єктах двох класів. До першого класу відносяться об’єкти, які мають резонанси у внутрішніх ступенях вільності. До другого класу –магнітогідродинамічні об’єкти, що характеризуються зсувними ламінарними течіями, які генерують магнітні поля.

У дисертаційній роботі одержані наступні результати.

  1.  Розроблено новий метод динамічної стабілізації нестійкої рівноваги об’єкту в стаціонарній точці його потенціальної енергії, котрий визначається високою енергетичною ефективністю. Метод заснований на використанні параметричного резонансу коливальних ступенів вільності самого об’єкту в якості механізму підсилення при формуванні стабілізуючого зворотного зв’язку. На моделі двохланкового перевернутого маятника з в’язкопружним зв’язком важелів продемонстровано зменшення більше, ніж у 20 разів, потужності вібрацій опорного шарніру, які забезпечують стабілізацію.
  2.  Розроблено метод аналізу та синтезу структури сил, що визначають еволюційну динаміку системи лінійних осциляторів з параметрично модульованими потенціалами взаємодії. При відсутності в системі резонансів першого порядку по малому параметру взаємодії запропонований метод суттєво розширює можливість фізичної реалізації структурних силових матриць. Ефективність запропонованого методу продемонстрована на модельному прикладі керованого енергообміну в системі двох осциляторів та джерела накачування.
  3.  Запропоновано та теоретично обґрунтовано метод селективного управління дрейфом заряджених частинок багатокомпонентної замагніченої плазми за допомогою параметричного резонансного збудження. При двохчастотному електромагнітному збудженні продемонстрована можливість управління як величиною, так і знаком нормальної до магнітних поверхонь складової швидкості дрейфу.
  4.  Виявлена та побудована зонна структура генерації магнітного поля, що збуджується плоскою течією Куетта високоелектропровідної рідини між двома тангенційно рухаючимися назустріч одне одному непровідними площинами.
  5.  Показана можливість генерації магнітного поля течією високопровідної рідини між сферичними непровідними границями, що диференціально обертаються.

Характеризуючи теоретичне та практичне значення результатів, які описані у пунктах 1-3, можна відзначити, що їх використання в експериментальній фізиці відкриває перспективу для розвитку нових високоефективних методів магнітного утримання та управління дрейфом заряджених частинок плазми. Результати, відмічені у пункті 2, можна розглядати як рекомендацію для розробки нових принципів управління нерівноважними термодинамічними процесами на мікрорівні. Пункти 4 та 5 відносяться до проблематики планетного магнетизму і у перспективі можуть знайти застосування для діагностики та прогнозування геомагнітних процесів.

ПУБЛИКАЦії за ТЕМою ДИССЕРТАЦії

  1.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И. Эволюционные процессы в параметрически модулированной системе линейных осцилляторов при воздействии внешних сил. Часть 1. Системный анализ структуры сил эволюционной динамики. // Проблемы управления и информатики. –. –№ 3. –С. 5-18.
  2.  Логинов А.А. Резонансная динамическая стабилизация перевернутого маятника с двумя степенями свободы. // Проблемы управления и информатики. –. –№ 4. –С. 57-71.
  3.  Логинов А.А. Эволюционные процессы в параметрически модулированной системе линейных осцилляторов при воздействии внешних сил. Часть 2. Системный анализ управляемого переноса тепла в связке двух осцилляторов. // Проблемы управления и информатики. –. –№ 5. –С. 5-11.
  4.  Самойленко Ю.И., Логинов А.А., Ткаченко В.А. Математическая модель генерации магнитного поля плоским течением Куэтта проводящей жидкости. // Вісник Запорізького державного університету. –. –№ 1. –С. 91-95.
  5.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Алгебро-геометрический подход к построению модели гидромагнитного динамо. // Кибернетика и выч. техника. –Вып. 115. –. –С. 3-10.
  6.  Логинов А.А. Селективное управление процессами в сплошных средах. // Управление объектами с распределенными параметрами: Сб. науч. тр. –Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1987. –С. 31-36.
  7.  Логинов А.А. Управление дрейфом ионов в замагниченной плазме методом параметрического резонанса. // Управление объектами с распределенными параметрами: Сб. науч. тр. –Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1979. –С. 18-24.
  8.  Loginov A.A., Samoilenko Yu.I., Tkachenko V.A. Magnetic field generation by conductive fluid shear flow. // Электромагнитные явления. –2001. –Т.2, № 4(8). –С. 463-473.
  9.  Loginov A.A., Samoilenko Yu.I., Tkachenko V.A. Unstable axially symmetric MHD flow between rotating boundaries. // Космічна наука і технологія. –1. –Т.7, № 2. –С. 19-25.
  10.  Самойленко Ю.И., Логинов А.А., Ткаченко В.А. Моделирование генерации геомагнитного поля. // Вестник Херсонского государственного технического университета. –. –№ 3(12). –С. 235-244.
  11.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Математические модель генерации магнитного поля планет. // Сборник трудов Первой Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. –Киев, 2001. –С. 214-220.
  12.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Возбуждение меридионального течения дифференциальным вращением в жидком ядре Земли. // Космічна наука і технологія. –. –Т.6, № 2/3. –С. 53-68.
  13.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Параметрическая генерация полоидальной компоненты осесимметрического течения идеальной жидкости неустойчивой тороидальной компонентой. // Вестник Херсонского государственного технического университета. –Спец. выпуск. –. –С. 104-106.
  14.  Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Математические модели магнитогидродинамических процессов в идеальной жидкости. // Сборник научных трудов Международной конференции по математическому моделированию. 3-10 сентября 1998г. Херсон. –Киев: НАН Украины, 1998. –С. 156-158.
  15.  Логинов А.А. К вопросу о генерации магнитного поля Земли. // Сб. тезисов Второй Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. 2002. Кацивели, Крым. –Киев: Ин-т космических исследований НАНУ-НКАУ, 2002. –С. 37.

АНОТАЦІЇ

Логінов О.О. Аналіз резонансних та нелінійних динамічних процесів стосовно проблем управління плазмою та теорії гідромагнітного динамо. –Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04. –Системний аналіз і теорія оптимальних рішень. –Інститут космічних досліджень НАН та НКА України, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено системному аналізу таких актуальних напрямків кібернетики, як розробка систем управління, заснованих на явищах параметричного резонансу та дослідженні генерації магнітного поля, які мають місце у рідких ядрах планет завдяки механізму припливного гальмування. Використано математичні методи асимптотичного аналізу в теорії коливань та магнітогідродинаміці. Запропоновано новий високоефективний метод резонансної динамічної стабілізації рівноваги в околі максимуму потенціальної енергії. Його рекомендовано для стабілізації жолобкових плазмових нестійкостей та інших збурень. Також розглянуто узагальнений підхід до управління параметричними резонансними процесами в коливальних системах з багатьма ступенями вільності. Запропоновано новий метод селективного управління дрейфом заряджених частинок у замагніченій плазмі та керованого переносу енергії в термодинамічних системах. Побудовано математичні моделі кінематичного гідромагнітного динамо як для плоскої течії Куетта, так і для диференціального обертання сферичного рідкого ядра Землі. Оцінено порогові величини магнітного числа Рейнольдса з урахуванням непровідності обмежуючих оболонок. Наведені епюри магнітних полів і струмів. Одержані результати підтверджують гіпотезу припливного механізму енергетичного приводу планетарного динамо.

Ключові слова. Системний аналіз, асимптотичні методи, оптимізація, параметричне резонансне управління, динамічна стабілізація, геодинамо, припливна гіпотеза.

Логинов А.А. Анализ резонансных и нелинейных динамических процессов применительно к задачам управления плазмой и теории гидромагнитного динамо. –Рукопись.

 Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 –системный анализ и теория оптимальных решений. –Институт космических исследований НАН и НКА Украины, Киев, 2003.

Выбор темы диссертации обусловлен необходимостью системного анализа с общих методологических позиций некоторых конкретных моделей, относящихся к двум актуальным направлениям кибернетики –к разработке управляемых динамических систем на основе использования явлений параметрического резонанса и к исследованию механизма генерации магнитного поля в жидких планетных ядрах с целью идентификации внутренних процессов по наблюдениям внешнего магнитного поля. Поиск оптимальных решений неизбежно требует более подробного описания поведения управляемой или идентифицируемой системы путем введения иерархии моделей по пространственно-временным масштабам и соответствующего расширения пространства состояний системы за счет учета внутренних степеней свободы. Математический аппарат, используемый в диссертации, базируется, в основном, на асимптотических методах теории колебаний и теории сингулярно возмущенных уравнений математической физики. В результате поиска оптимального по энергетическому критерию общего метода стабилизации неустойчивого равновесия динамической системы вблизи максимума ее потенциальной энергии предложен принципиально новый метод динамической стабилизации, основанный на использовании параметрических резонансов во внутренних степенях свободы в качестве механизмов усиления и формирования операторов стабилизирующей обратной связи. Он рекомендуется для стабилизации таких неустойчивых возмущений, которые оказываются ненаблюдаемыми или неуправляемыми (желобковые возмущения в плазменных ловушках и т.п.). На имитационной модели двухзвенного перевернутого маятника с вязкоупругим сочленением рычагов и вибрирующей шарнирной опорой продемонстрирован энергетический выигрыш по сравнению с методом обычной (нерезонансной) динамической стабилизации более чем в 20 раз. Обобщение развиваемого метода на системы n осцилляторов с кратными частотами, параметрически модулированным управляемым воздействием и при учете сторонних сил, показало, что при устранении резонансов в первом порядке по малому параметру интенсивности взаимодействия удается синтезировать любой требуемый линейный стационарный оператор как в рамках симплектической, так и слабодиссипативной динамики. В качестве одного из приложений проведен системный анализ управляемого энергообмена между двумя колебательными контурами (с соотношением частот 2 : 1), возбуждаемыми тепловыми флуктуациями, и связывающим их источником накачки. Продемонстрирована возможность осуществления таких режимов, как отбор тепла от более холодного осциллятора при затрате энергии накачки либо преобразование флуктуационной энергии осцилляторов в энергию источника накачки. Другое приложение связано с реализацией селективного по циклотронной частоте управляемого дрейфа частиц многокомпонентной плазмы. Оказалось возможным при двухчастотном возбуждении плазмы магнитозвуковыми волнами вызывать дрейф частиц определенного сорта в заданном направлении поперек магнитного поля. Динамо-эффект, т.е. спонтанное возникновение и стационарное поддержание магнитного поля в достаточно интенсивных ламинарных сдвиговых течениях электропроводящей жидкости, рассматривается в диссертации с тех же позиций системного анализа, что и эффекты резонансной динамической стабилизации, упомянутые выше. Интерес к этому явлению постоянно возрастает в связи с изучением природы магнетизма планет и других объектов космоса. Первый этап исследований, проведенный в диссертации, позволил построить картину гидродинамического течения, появляющегося в жидкометаллическом планетном ядре в результате приливного торможения его внешней оболочки –мантии. На втором этапе решения кинематической задачи теории гидромагнитного динамо показано, что возникающее поле скоростей способно генерировать и поддерживать стационарное магнитное поле. Полученный результат моделирует линейную стадию динамо-процесса.

Ключевые слова: системный анализ, асимптотические методы, оптимизация, параметрическое резонансное управление, динамическая стабилизация, геодинамо, приливная гипотеза.

 Loginov A.A. Analysis of resonance and nonlinear dynamic processes as applied to plasma control problems and hydromagnetic dynamo theory. –Manuscript.

The thesis for candidate degree (physical and mathematical sciences) in speciality 01.05.04. –System analysis and optimal decision theory. – Space Research Institute of NAS and NSA of Ukraine, Kyev, 2003.

The thesis is devoted to system analysis of such actual branches of cybernetics as development of control systems based on parametric resonance phenomena and identification of magnetic field generation, which occurs in planetary liquid cores due to tidal braking mechanism. Mathematical tools of asymptotic analysis in oscillation theory and magnetohydrodynamics have been applied. A new method, which has very high energetic efficiency and suitable for resonance dynamic stabilization of equilibrium in maximum potential energy position, is proposed. It is recommended for damping of groove instabilities in plasma and other similar applications. Generalized approach to control of parametric resonance processes in oscillatory systems with many degrees of freedom was considered also. New phenomena, such as selective drift control of charged particles in magnetized plasma and controlled energy change in thermodynamic applications, were pointed out. Mathematical models of kinetic laminar hydromagnetic dynamo both for the plane Couette flow and differentially rotating spherical liquid core of the Earth are considered. Threshold values of the magnetic Reynolds number were estimated taking into account the non-conductivity of limiting shells. Illustrative maps for magnetic fields and currents are presented. Obtained results support tidal hypothesis for the planetary dynamo energetic driver.

 Keyword: system analysis, asymptotic methods, optimization, parametric resonance control, dynamic stabilization, geodynamo, tidal hypothesis.

(*)Тут і далі нумерація тверджень відповідає прийнятій у дисертації.




1. ка и машеНовкунский Лек
2. Понятие
3. Теория вероятностей1
4. Форми і методи соціальної роботи
5. Коррекционная работа с умственно отсталыми детьми
6. Переходный слой вод
7. Конституция Российской Федерации
8. Взаимосвязь основных форм бытия
9. Конституционное право РФ для студентов заочной формы обучения 1
10. Нарисуйте и объясните структуру современной экологии
11. Українські легенди про створення Адама і Єви
12. Понятие общества Общество и природа Взаимодействие основных сфер общественной жизни
13. На тему- История вычислительной техники
14. Компьютер против глаз
15. 4 см-; постоянная времени Т 600 с; время запаздывания ~ 300 с
16. Граждане как субъекты международного права
17. Как постепенно развивались индийские философские системы
18. Идиот Братья Карамазовы
19. сомножителей которая при дифференцировании упрощается а за dv выбирается та часть подынтегрального выражен
20. Современные системы (режимы) государственного регулирования курсов валют