Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

длины векторов и соответственно а угол между векторами и

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-10


Диплом на заказ

10) Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где  и - длины векторов  и  соответственно, а  - угол между векторами  и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения  можно записать в виде , где  - числовая проекция вектора  на направление вектора , а  - числовая проекция вектора  на направление вектора .

Скалярным произведением двух векторов  и  называется произведение длины вектора  на числовую проекцию вектора  на направление вектора  или произведение длины вектора  на числовую проекцию вектора  на направление вектора .

Скалярное произведение в координатах.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов  и .

То есть, для векторов  на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов 
 в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.

Сначала докажем равенства  для векторов  на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы  и . Тогда  (при необходимости обращайтесь к статьямоперации над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки ОА и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда .

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств  для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве 

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов  и  справедливы следующие свойства скалярного произведения:

  1.  свойство коммутативности скалярного произведения ;
  2.  свойство дистрибутивности  или ;
  3.  сочетательное свойство  или , где  - произвольное действительное число;
  4.  скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор  нулевой.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению  и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо  и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,  и , откуда следует

11)  Векторным произведением векторов  и  называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен  где  - угол между векторами  и .

2) Вектор  перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами  и .

3) Вектор  направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы  и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов  и  обозначается символом :

     

или

     

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение  равно нулю, если векторы  и  коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

Смешанным произведением векторов  называется число , равное скалярному произведению вектора  на векторное произведение векторов  и . Смешанное произведение обозначается .


Геометрические свойства смешанного произведения


1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов  равен объему  параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение  положительно, если тройка векторов  — правая, и отрицательно, если тройка  — левая, и наоборот.


2. Смешанное произведение  равно нулю тогда и только тогда, когда векторы  компланарны:

 векторы  компланарны.


Диплом на заказ


1. Русская культура в ХVII
2. Менеджмент для студентов специальности060800 ~ Экономика и управление на предприятиив отраслях топливноэн
3. Об утверждении документа
4. Погоджено Начальник відділу освіти В
5. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата мистецтвознавства Харк
6. Тема- ПОВРЕЖДЕНИЯ ГОЛОВЫ ГРУДИ ЖИВОТА ПОВРЕЖДЕНИЯ ГОЛОВЫ
7. ВОЙНА И МИР Наташа Ростова Княжна Марья Болконская
8. ХМомджян Рефлективные парадигмыв социальной теории Маркса Рефлективным не путать с рефлексивным я наз
9. Реферат- Шаманизм и трансперсональная психология
10. Технологія підготовки бетонної поверхні під просте фарбування водними сумішами.html
11. финансовый расчет
12. Тема- Расчёт и проектирование тягового электромагнита Вариант 10 Студент Зайцев Р
13. Лекция 14 Перспектива Перспективные проекции Перспективными называются проекции
14. Вирусный гепатит A
15. Кризис и падение республики в Римском праве
16. Криптографические протоколы
17. планы для Вас Акционерное общество закрытого типа
18. Жорж Роденбах1
19. Этика в рассуждениях выдающихся философов
20. Познание это обусловленный общественноисторической практикой процесс приобретения и развития знания е