Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-10


"Высшая математика, интегралы (шпаргалка)"

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ). Пояснение:  Пусть: . Тогда:  Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.

 Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на . Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и .

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция - интеграл с переменным нижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где . Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е. Замечание 2: Поскольку - одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .

Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при

2. множеством значений функции  при является отрезок [a;b]

3. , то =.

Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

=.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

1.     при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2.     часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)

3.     не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Интегрирование заменой переменной.

а). Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:

.

Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .

Пример: Вычислить .

.

Подстановка: .

б). Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на - взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .

Пример: Вычислить .

, откуда: .

Интегрирование по частям. Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.

Пример: Вычислить .

Положим . Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: . Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:

1).

2).

3).

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).

Теорема 1: Пусть , тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. .

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей

Сделав подстановку: , получим: .

тогда

a). Подстановки Эйлера.

1). Корни многочлена - комплексные, сделав подстановку: , получим: .

2). Корни многочлена - действительные: . Подстановка: , получаем: .

b). Подстановка: , далее, если:

1). подстановка -

2). подстановка -

3). подстановка -

c).

Если подстановка -

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

Универсальная подстановка: , тогда:

подстановка:

или - нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала

Интегрируется по частям

Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции на , если: .

Пусть и - первообразные функции на . Тогда:   .

Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: . Замечание 26.1: Если - одна из первообразных на , то . Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. . Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.

Св-ва неопределенного интеграла:

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

,

2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:

3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:

, где a0-постоянная.

4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.

Табличные интегралы

Определённый интеграл.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .

Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .

Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .

Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла

1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.

2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность

,

3. Если , то:

4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то

, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенного интеграла.

Сравнение определённых интегралов

Если - интегрируема на и , то: .

Если - интегрируема на и , то:

Неравенство м\у непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если - интегрируемы на и почти для всех , то:

Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если - интегрируема на , то - также интегрируема на (обратное неверно), причём:

Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x)  на отрезке [a;b]. Если - интегрируемы на и  , то:

 

Теорема о среднем значении

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка  такая, что .

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).

Эта теорема при f(x)0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.

Число  наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

Формула Ньютона-Лейбница

Если - первообразная непрерывной функции на , то:.

Док-во: Рассмотрим тождество

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

. Получим т.е. , где есть нек-рая точка интервала. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].

Переходя к пределу при , получаем F(b)-F(a)=

=, т.е. .

 интеграл с переменным верхним пределом

Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

.

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:.

Следовательно,

=.

Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.




1. Экономика игры
2. РЕФЕРАТдисертації на здобуття наукового ступенякандидата сільськогосподарських наук
3. Е ОТЧЕТ о лабораторной работе по курсу ОБЩАЯ ФИЗИКА
4. экономическое развитие республик и регионов в условиях директивного управления народным хозяйством рассма
5. з курсу Політологія для студентів 1 курсу медичного та стоматологічного факультетів та з фаху Фармація
6. Сущность и принципы кредита
7. Договор мены
8. Высотная поясность
9. Территориальное море
10. Прибыль Выручка Затраты в денежном выражении
11. Исследование точности численного интегрирования
12. і Алайда экскурсиялар ж~не туризм халы~ты~ барлы~ына емес тек ~ана ау~атты б~лігіне ~ана м~мкін болды
13. Теоретические условия повышения производительности доильной установки
14. право в действии
15. Курсовой проект по дисциплине- Технология элеваторной промышленности Специальность 149 01 01 Технология
16. Громадянське суспільство в правовій системі
17. это наука изучающая - механизмы развития патологических процессов - строение органов и систем - биохи
18. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата біологічних наук Київ ~6.
19. тема ЭИС совокупность организационных технических программных и информационных средств объединенных с
20. Магазин Универсам