Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Теория информационных процессов и систем Для студентов обучающихся по направлению 654700 Информационн

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05


МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА  ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

 

СТАТИСТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ

СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Методические указания к практическим

и расчетно-графическим работам по курсу

«Теория информационных процессов и систем»

Для студентов, обучающихся по направлению 654700 - «Информационные системы» (специальность 071900)
дневной формы обучения

Воронеж

2004

УДК 681.3.06

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ: Методические указания к практическим и расчетно-графическим работам по курсу «Теория информационных процессов и систем» / Воронеж. Воронежский институт высоких технологий; Сост. В.К. Голиков, В.И. Новосельцев, А.В. Перова, Д.В. Сысоев, Воронеж, 2004. 24 с.

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ООП, предъявляемыми квалификационной характеристикой ГОС ВПО подготовки инженеров и предназначена для изучения материала и контроля знаний по курсу «Теория информационных процессов и систем» направления 654700 «Информационные системы» по специальности 071900 – «Информационные системы в технике и технологиях» цикла ЕД.

Приведены основные теоретические сведения и задания для практических занятий по курсу «Теория информационных процессов и систем», рассматриваются вопросы анализа систем массового обслуживания (СМО) с потерями и и методы построения статистических моделей СМО.

Библиогр.: 4 назв.

Составители  доцент В.К. Голиков,

         доцент В.И. Новосельцев,

                 доцент А.В. Перова,

         доцент Д.В. Сысоев.

Научный редактор профессор Ю.С. Сербулов

  Рецензент профессор Д.Б. Десятов

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежского института высоких технологий.

© Голиков В.К.,

   Новосельцев В.И.,

   Перова А.В.

   Сысоев Д.В. 2004

© Воронежский

   институт

   высоких

                            технологий.  2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

Цель работы….……..……………………………………..

Задание на выполнение лабораторной работы ………....

Лабораторная работа №1: моделирование простейшего потока………………………………………………………….

Теоретические сведения - свойства и характеристики простейшего потока ………………………………………….

Порядок выполнения работы  …………………………....

Контрольные вопросы …………………………………....

Лабораторная работа №2: суммирование случайных потоков………………………………………………………...

Теоретические сведения - суммирование и разъединение простейших потоков ………………………………….…

Экспериментальная проверка соответствия реального потока простейшему …………………………………………

Порядок выполнения работы ...…………………………..

Контрольные вопросы…………………………………….

Лабораторная работа №3: анализ V-канальной СМО с явными потерями…………………………………………….

Теоретические сведения - первое распределение Эрланга, характеристики качества ..……………………………….

Порядок выполнения работы ..…………………………..

Контрольные вопросы ..………………………………….

Лабораторная работа №4: моделирование реального процесса обслуживания для СМО с явными потерями

Моделирование процесса обслуживания в СМО .……..

Порядок выполнения работы ..…………………………..

Контрольные вопросы…………………………………….

Лабораторная работа №5: исследование СМО с ожиданием….………………………………………………...

Второе распределение Эрланга. Характеристики качества систем m/m/v/w …………………………..…………..…

Порядок выполнения работы …………………………....

Контрольные вопросы..…………………………………..

Библиографические список  ..……………………………

4

4

7

7

9

11

11

11

12

13

14

14

14

15

16

17

17

18

19

20

20

22

23

23

Цель работы

Провести анализ систем массового обслуживания с явными потерями и с ожиданием для моделируемого простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью поступающей нагрузки и исследовать характеристики качества обслуживания рассматриваемых СМО.

Задание на выполнение лабораторной работы

Порядок выполнения работы:

1.В первом разделе работы "Моделирование простейшего потока вызовов" описать порядок и теоретическое обоснование моделирования на ПЭВМ простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью

= 10*

на промежутке времени  [N+1, N+4], где N - номер по журналу.

При этом кратко изложить результаты проведенного моделирования и основные свойства смоделированного простейшего-потока вызовов.

2. Во втором, разделе работы "Анализ работы СМО с явными потерями требуется:

а) описать работу v-канальной СМО с явными потерями при обслуживании простейшего потока вызовов. При этом указать первое распределение Эрланга и первую формулу Эрланга для вероятностей потерь, привести формулы для интенсивностей поступающей, потенциальной и обслуженной нагрузок;

б) провести моделирование реального процесса обслуживания v-канальной СМО с явными потерями на промежутке [N, N+200] мин. для простейшего потока вызовов с параметром

= 10*выз/мин

при среднем времени обслуживания одного вызова 1.5 мин. Сравнить полученное значение вероятности потерь Pb с рассчитанным по первой формуле Эрланга;

в) получить для СМО с явными потерями результаты моделирования зависимости вероятностей потерь pb = Ev() от V для смоделированных входящих простейших потоков вызовов и построить график этой зависимости

при .

г) из полученного графика определить при заданном значении уровня качества обслуживания Pb= 0.02 необходимое число VO каналов обслуживания СМО с явными потерями для обслуживания смоделированных простейших потоков вызовов;

д) вычислить пропускную способность  СМО с явными потерями при обслуживании смоделированных простейших потоков вызовов системой с найденным числом каналов обслуживания;

е) результаты проведенных исследований оформить в виде результирующей таблицы.

3. В третьем разделе работы "Анализ работы СМО с ожиданием" требуется:

а) описать работу V-канальной СМО с ожиданием при обслуживании V полнодоступными каналами простейшего потока вызовов. При этом указать второе распределение Эрланга и вторую формулу Эрланга для вероятностей потерь, привести формулы для интенсивностей поступающей, потенциальной и обслуженной нагрузок, основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания.

б) получить для СМО с ожиданием результаты моделирования зависимости вероятности ожидания для поступившего вызова p = Dv() от V для смоделированных входящих простейших потоков вызовов и построить график этой зависимости для .

в) из полученного графика определить при заданном значении P = 0,02 уровня качества обслуживания необходимое число  VO каналов обслуживания СМО c ожиданием для обслуживания смоделированных простейших потоков вызовов;

г) вычислить пропускную способность СМО с ожиданием при обслуживании смоделированных простейших потоков вызовов системой с найденным числом полнодоступных каналов обслуживания и привести в общем виде формулы для основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания такой системы.

д) результаты проведенных исследований сравнить с соответствующими результатами раздела 2 и оформить в виде результирующей таблицы.

4. В четвертом разделе работы "Расчет основных и вспомогательных характеристик качества обслуживания одноканальной СМО с ожиданием требуется:

а) описать работу одноканальной СМО с ожиданием при обслуживании простейшего потока вызовов с заданной интенсивностью поступающей нагрузки

0 =

где  N - последний номер по журналу;

б) вычислить пропускную способность рассматриваемой СМО с ожиданием при обслуживании заданного простейшего потока вызовов и определить для этой системы основные и вспомогательные характеристики качества обслуживания:

  1.   вероятность ожидания;
  2.  среднюю длину очереди;
  3.  среднее время ожидания для задержанных и поступающих вызовов;
  4.  долю вызовов, обслуженных без очереди.

в) результаты проведенных исследований оформить в виде результирующей таблицы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Моделирование простейшего потока

Цель: Изучить свойства и характеристики простейшего потока. Сравнить теоретические и модельные значения полученных характеристик.

Теоретические сведения

Свойства и характеристики простейшего потока

Простейший поток обладает следующими свойствами:

- стационарность,

- отсутствие последействия,

- ординарность.

Стационарность означает, что с течением времени вероятностные характеристики потока не меняются. Стационарность потока равносильна постоянной плотности вероятности поступления вызовов в любой момент времени, иначе говоря, для стационарного потока вероятность поступления i вызовов за промежуток длиной t зависит только от величины промежутка и не зависит от его расположения на оси времени (1.1).

Pi(t +t ) = Pi(t1 +t ) = Pi(t)    (1.1)

Последействие означает зависимость вероятностных характеристик потока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления i вызовов в промежуток [t1,t2] зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания вызовов до момента t1. Для случайного потока без последействия условная вероятность поступления вызовов в промежутке [t1,t2], вычисленная при любых предположениях о течении процесса обслуживания вызовов до момента t1, равна безусловной (1.2).

Pi( [t1, t2] )t< t1 = Pi( [t1, t2] )    (1.2)

Ординарность означает практическую невозможность группового поступления вызовов. Иначе говоря, вероятность поступления двух или более вызовов за любой бесконечно малый промежуток времени t есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем t, т.е.

=t+o(t)     (1.3)

К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функцию, параметр и интенсивность.

Ведущая функция случайного потока  есть математическое ожидание числа вызовов в промежутке [t,t+t]. Функция - неотрицательная, неубывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает только конечные значения.

Параметр потока (t) в момент времени t есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке [t,t+t] к величине этого промежутка t при: t 0.

    (1.4)

Параметр потока определяет плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Определение параметра равносильно предположению, что вероятность поступления хотя бы одного вызова в промежутке [t,t+t] с точностью до бесконечно малой пропорциональна промежутку и параметру потока (t):

= (t) t +o(t)    (1.5)

Для стационарных потоков вероятность поступления вызовов не зависит от времени, т. е., =, поэтому параметр стационарного потока постоянный. Соответственно получаем  

=t+o(t)     (1.6)

Интенсивность стационарного потока есть математическое ожидание числа вызовов в единицу времени.

Если интенсивность характеризует поток вызовов, то параметр - поток вызывающих моментов. Поэтому всегда (t)(t), а равенство имеет место только для ординарных потоков, когда в каждый вызывающий момент поступает только один вызов.

Моделирование простейшего потока

Для простейшего потока вызовов длины промежутков zk = tk - tk-1 >0 времени между последовательными вызовами потока распределены по показательному закону с тем же параметром

P(z < t) = F(t) =     (1.7)

Это обстоятельство позволяет моделировать простейший поток вызовов на заданном промежутке времени при помощи метода Монте-Карло, который основывается на следующей теореме:

Теорема: Если ri - случайные числа, равномерно  распределенные на (0,1), то возможное значение xi разыгрываемой непрерывной случайно величины Х с  заданной функцией распределения F(х), соответствующее ri является корнем уравнения

F(xi) = ri.       (1.8)

Согласно этой теореме, для получения последовательности случайных значений Zk, распределенных по показательному закону с параметром , требуется для каждого случайного числа , генерируемого на ПЭВМ датчиком псевдослучайных  чисел,  решить уравнение

1 - = ri, i =1,2,…     (1.9)

Решая это уравнение относительно zi, имеем

zi = - ln(1-ri)                (1.10)

или

zi = - ln(ri)  i =1,2,…              (1.11)

Порядок выполнения работы

2.1. Сгенерировать случайные равномерно распределённые числа от 0 до 1.

2.2. По формуле zi = - ln(ri), где i=1, 2, …   получить Zi для промежутков между вызовами.

2.3. = 10(N+1)/(N+4) (выз/мин); где  N – номер по журналу.

2.4.  На промежутке [T1 ; T2 ],   T1 = N+1, T2 =N+4 мин. получить последовательность tk  моментов поступления вызовов.

tk = T1 +  до тех пор пока tk  T2 

2.5. Полученные данные свести в таблицу:

Ri

Zi

Tk

r1

z1

T1

r2

z2

T2

.

.

.

.

.

.

2.6. Провести статистическую обработку полученных результатов, для этого разделить заданный интервал на 24 равных промежутка длиной:

= ,  (мин).

Для каждого промежутка определить x () – количество вызовов, попавших в промежуток, длиной .

N интервала

1

2

. . .

24

x( )

Получить таблицу статистического распределения случайной величины

x( )

0

1

2

.  .  .

Nk

n1

N2

n3

.  .  .

n =   nk = 24

nk - количество интервалов в которое попало к вызовов.

2.7. Определить модельное значение параметра потока:

a = - мат. ожидание числа вызовов в к интервале.

a =  =

2.8. Для заданного ( ) и модельного значения (), определить:

1). Вероятность отсутствия вызовов P0 ( t ) за промежуток

t = T2 - T1 ;

2). Вероятность поступления одного вызова P1 ( t ) ;

3). Вероятность поступления четырёх вызовов P4 ( t );

4). Вероятность поступления не менее пяти вызовов

P5 ( t )=1-( P0 + P1 + P2 + P3 + P4 );

5). Вероятность поступления менее трёх вызовов

P<3 ( t )= P0 + P1 + P2 ;

6). Вероятность поступления не более семи вызовов

P 7 ( t )= P0 + . . . + P7 ;

7). Вероятность, что промежуток между вызовами Zk 

P[ 0.1 < Zk < 0.5 ] = F(0.5) - F(0.1) .

 2.9. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

 3.1. По каким свойствам классифицируются случайные потоки ?

 3.2. Дать определение свойствам:

  •  стационарность;
  •  ординарность;
  •  отсутствие последействия.

 3.3. Дать определения числовым характеристикам случайных

        потоков:

  •  параметр потока ;
  •  интенсивность потока ;
  •  ведущая функция потока.

 3.4. Для каких потоков совпадают значения параметра потока и

        интенсивности: = ?

 3.5. По какому закону распределён промежуток между соседними вызовами в простейшем потоке ?

 3.6. По какому закону распределена случайная величина,

        характеризующая количество вызовов простейшего потока,

        попавших в некоторый промежуток ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Суммирование случайных потоков.

Цель: Исследовать сумму двух простейших потоков и определить характеристики результирующего потока.

Теоретические сведения

Суммирование и разъединение простейших потоков

При объединении нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром  на n направлений так, что каждый вызов исходного потока с вероятностью  поступает на i-е на правление, поток i-го направления также будет простейшим с параметром Pi. Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, поскольку значительно упрощают расчёты стационарного оборудования и сетей связи.

Экспериментальная проверка соответствия

реального потока простейшему

В простейшем потоке промежутки z между соседними вызовами распределены по показательному (экспоненциальному) закону с параметром l :

.

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение промежутка z:

; .  

Полученное совпадение величин Mz и sz характерно для показательного распределения. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении полученным статистическим данным.

Другой способ проверки основывается на том, что количество вызовов простейшего потока, попавших в интервал времени t описывается распределением Пуассона:

Определим математическое ожидание Мi и дисперсию Di числа вызовов за промежуток t:

;

.

Совпадение математического ожидания и дисперсии числа вызовов за промежуток t означает соответствие реального потока простейшему. Допустим, для некоторого реального потока получен ряд чисел x1, x2, …, xn, характеризующий число вызовов, поступающих в n промежутков длиной t. Обычно принимают t = 15 мин. Рассчитываются среднее значение и несмещенная оценка дисперсии величины x:

;    .

В зависимости от степени совпадения величин  и Dx делается вывод о приемлемости модели простейшего потока. Для дальнейшего анализа можно использовать третий центральный момент, величина которого тоже равна .

Порядок выполнения работы

  1.  Промоделировать два простейших потока. Использовать методику 2.1-2.6 л. р. №1

;                 .

Nинт

1

. . .

24

x1( )

x2( )

x1+x2

  1.  Получить суммарный поток складывая x( ) соответствующих интервалов. Построить графики х1(n), x2(n), x(n),

 где n -  №  интервала,

 х1 , x2 , x - количество вызовов, попавших в интервал для I, II и суммарного потока соответственно.

  1.  Для суммарного потока получить сум модельное. Использовать методику п. 2.7 л. р. №1.
    1.  Сравнить полученное значение сум и  1+2 .
    2.  Рассчитать оценки дисперсии и математического ожидания случайной величины x( ) - количество вызовов суммарного потока, попавших в интервал .
    3.  Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

3.1. Какой поток образуется при объединении n простейших потоков ?.

3.2. Чему равны параметры потоков, образовавшихся при   разъединении простейшего потока.

3.3. Какой способ проверки соответствия реального потока простейшему,   используют:

а) если измерены промежутки между вызовами потока ?;

б) если подсчитано число вызовов, попавших в промежутки  равной длины ?.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Анализ V-канальной СМО с явными потерями.

Цель: Исследовать 1-е распределение Эрланга и характеристики качества СМО с явными потерями.

Теоретические сведения

Первое распределение Эрланга, характеристики качества

На вход V-канальной СМО с явными потерями поступает простейший поток вызовов с параметром (Эрл.).

Рис.1.1. Граф состояний СМО с явными потерями

Вероятности всех состояний системы (в установившемся режиме) дает первое распределение Эрланга:

К основным характеристикам качества обслуживания рассматриваемой СМО относятся:

- Вероятность потерь по времени.

 

Формулу  обычно называют первой формулой Эрланга.

- Вероятность потери вызова.

Для простейшего потока вызовов

Pв = пот / =  P / P = P = E()

Таким образом, вероятность потери вызова совпадает с вероятностью потерь по времени.

- Интенсивность обслуженной нагрузки.

 

- Интенсивность потенциальной нагрузки

 

Равенство интенсивностей потенциальной и поступающей нагрузок обусловливает равенство интенсивностей потерянной пот и избыточной R нагрузок:

пот = R = EV()

Из чего непосредственно следует равенство потерь по нагрузке и по вызову. Таким образом, все три вида потерь равны между собой. Объясняется это двумя свойствами простейшей потока: стационарностью и отсутствием последействия.

Порядок выполнения работы:

  1.  Построить графики распределения Pi для V-канальной СМО с явными потерями, если на вход поступает простейший поток вызовов с  интенсивностью  = 0 -15  (Эрл). Число каналов обслуживания определяется по вариантам.

     

N, вар

1

2

3

4

5

6

V

3

4

5

3

4

5

2.2.Определить точки пересечения графиков Pi и Pi-1 , значения Рi(0), Pi(), i=

2.3. Определить характеристики качества обслуживания для = 10(N+1)/(N+4) (Эрл):

  •  Вероятность потери вызова Pb();
  •  Вероятность потерь по времени Pt();
  •  Вероятность потерь по нагрузке Pн();
  •  Обслуженную нагрузку Y;
  •  Избыточную нагрузку R;
  •  Потенциальную нагрузку A.

2.4. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

3.1. Построить граф состояний системы M/M/V/L

3.2. Записать I распределение Эрланга.

3.3. Привести I формулу Эрланга.

3.4. Дать определение основным видам нагрузки:

  •  потенциальная;
  •  избыточная;
  •  поступающая;
  •  потерянная;
  •  обслуженная.

3.5. Дать определение характеристикам качества СМО с явными  потерями.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

Моделирование реального процесса обслуживания для СМО с явными потерями.

Цель: Сравнить значения характеристик качества для СМО с явными потерями, полученных в результате моделирования и рассчитанных по первой формуле Эрланга.

Моделирование процесса обслуживания в СМО.

Функция распределения промежутка между вызовами , а функция распределения длительности обслуживания . Программа моделирования содержит два генератора случайных величин Z и в соответсвтии с заданными функциями A(t) и B(t), переменные to хранения момента поступления очередного вызова и t1, t2,..., tv для хранения момента освобождения i-го () канала.

 Для упрощения пояснений примем v=3 и проанализируем работу алгоритма с момента поступления пятого вызова. Первый генератор формирует  очередное случайное число z5, что соответствует поступлению пятого вызова to = z1 + z2 + z3 + z4 + z5. Предположим, что до момента to первый канал был занят четвертым вызовом, а второй и третий, соответственно вторым и третьим. Тогда: t1 = z1 + z2 + z3 + z4 + 4, t2 = z1 + z2 + 2, t3 = z1 + z2 + z3 + 3. Каждое из чисел t1 , t2,, t3 определяет момент освобождения соответствующего канала.

При последовательном занятии каналов значение to поочередно сравнивается с t1 , t2,, tv, пока не обнаруживается ячейка с моментом освобождения . Пусть окажется что и , а . Это означает, что к моменту поступления пятого вызова первый и второй канал оставались занятыми, а третий уже освободился и может принять на обслуживание поступивший пятый вызов. Тогда t3 присваивается t0 . Затем генерируется случайное число 5, определяющее длительность обслуживания пятого вызова. Добавлением числа 5 к t3 пятый цикл завершается.

Шестой цикл начинается с генерации случайного числа z6. Как и прежде, t0 = t0+z6. Затем осуществляется поочередное сравнение содержимого нулевой ячейки с содержимым остальных ячеек. Если теперь окажется что, ,и , то шестой вызов будет потерян и на этом цикл закончится.

Для подсчета числа поступивших Квыз и потерянных Кпот. вызовов используются два счетчика. В первый добавляется единица при каждой генерации числа z, а во второй - при каждой потере вызова. Отношение Квызпот. даст по окончании очередной серии статистическую оценку потерь вызовов.

Порядок выполнения работы:

2.1. Начальные условия моделирования:

  1.  Параметр поступающего потока: = 10 (N+1) / (N+4) (выз/мин), где N - номер по журналу.
  2.  Среднее время обслуживания и число каналов определяется вариантом:

    

N, вар

1

2

3

4

5

6

V

3

4

5

3

4

5

h,сек

45

60

90

60

90

120

  1.   В начале моделирования в системе занято два канала.
    1.  Порядок моделирования.

Моделирование осуществлять на интервале:  [t1,t2] мин.

t1=N+1, t2=N+200, где N - номер по журналу.

  1.   Поступление вызова моделируется аналогично лабораторной работе №1, запоминается в массиве переменной tпост и подсчитывается счетчиком Квыз.
  2.   Процесс обслуживания моделируется по показательному закону распределения.

 ; .

r

z

tпост

tосв

N канала

r1

-

-

1

r2

-

-

2

r3

Z1

tn1

3

Потеря

  1.   Время освобождения канала определяется:
  2.   Каналы занимаются последовательно. Если к моменту поступления вызова заняты все каналы, то он теряется и подсчитывается количество потерянных вызовов Кпот.

2.3. Определить модельную вероятность потери вызова:

Кпот - количество потерянных вызовов;

         Квыз - общее количество вызовов;

2.4. Определить Рв по I формуле Эрланга:     ,

где =  h.

  1.  Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

3.1. Определение пропускной способности отдельных каналов при:

а) случайном занятии;

б) последовательном занятии.

3.2. Применение символики Кендала-Башарина.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Исследование СМО с ожиданием.

Цель: Изучить второе распределение Эрланга и характеристики качества систем с очередями.

Второе распределение Эрланга.

Характеристики качества систем M/M/V/W.

V- канальная СМО обслуживает простейший поток вызовов. При занятости всех v выходов поступивший вызов становится в очередь и обслуживается после некоторого ожидания. Общее число вызовов, находящихся в системе на обслуживании и в очереди, обозначим  и назовем состоянием системы. При  величина i характеризует число занятых каналов в системе, при  число занятых каналов равно v, а разность i - v есть длина очереди. Параметр потока освобождений определяется числом занятых выходов и в первом случае  зависит от состояния системы i, а во втором имеет постоянное значение v. 

Рис. Граф состояний СМО с ожиданием

Отметим, что при интенсивности поступающей нагрузки , равной или большей числа выходов системы v, с вероятностью 1 постоянно будут заняты все выходы и длина очереди будет бесконечной. Поэтому, чтобы система могла функционировать нормально и очередь не росла безгранично, необходимо выполнить условие < v.

Вероятность того, что система в установившемся режиме находится в состоянии i (Pi.) определяем по второму распределению Эрланга:

,   ;

,      К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят:

- Вероятность ожидания для поступившего вызова 

Для простейшего потока вызовов она совпадает с вероятностью занятости всех выходов в системе, т. е. с вероятностью потерь по времени:

Приведенное выражение называется второй формулой Эрланга. 

Интенсивность обслуженной нагрузки.

Из-за отсутствия явных потерь сообщений интенсивность поступающей  нагрузки совпадает с интенсивностью обслуженной и избыточная нагрузка отсутствует. Поскольку для простейшего потока интенсивность потенциальной нагрузки равна интенсивности поступающей, потерянная нагрузка также отсутствует. Однако не всегда в системе с ожиданием потери по нагрузке равны нулю. При обслуживании примитивного потока (данная модель здесь не рассматривается) источник за счет ожидания в среднем меньше находится в свободном состоянии, чем в системе без потерь. Это приводит к снижению интенсивности потока вызовов и поступающая нагрузка меньше потенциальной. И хотя все поступающие вызовы обслуживаются, потери по нагрузке имеют место.

можно рассматривать как математическое ожидание числа занятых выходов, а v - -соответственно как математическое ожидание числа свободных выходов.

- Вероятность превышения длиной очереди заданной величины n.

- Средняя длина очереди. 

 

Величина  есть интенсивность нагрузки, создаваемой ожидающими вызовами, а - интенсивность потока задержанных вызовов, где каждый задержанный вызов в среднем ждет . Тогда

                                       

- Средняя длительность ожидания. 

Из (3.10) и (3.11) следует               

Средняя длительность ожидания для любого поступившего вызова

                        

Величины и выражены в условных единицах времени.

Порядок выполнения работы:

Используя вторую формулу Эрланга, определить число каналов обслуживания, обеспечивающих заданную вероятность ожидания Р( > 0), если на вход системы поступают простейшие потоки с интенсивностью:

  Эрл,        Эрл,   Эрл.

       Значения Р( >0) взять по вариантам:

Nвар

1

2

3

4

5

Р(>0)

0,01

0,015

0,02

0,025

0,005

Привести таблицу и график зависимости DV():

V

V

V

.

.

.

.

.

.

(Построение трёх этих графиков производить в одной системе координат).

2.3. Для  и V=[1.5 ] определить:

  •  вероятность превышения очередью трёх вызовов;
  •  вероятность ожидания;
  •  среднее время ожидания для задержанного вызова;
  •  среднее время ожидания для любого вызова;
  •  среднюю длину очереди.

Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

3.1. Построить граф состояний системы M/M/V/W.

3.2. Определить вероятность любого состояния системы с  ожиданием.

3.3. Вывести основные характеристики качества системы    M/M/V/W.

3.4. Указать условие существования установившегося режима.

Библиографический список

  1.  Введение в исследование операций: в 2-х книгах. Кн.2. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 496 с.
  2.  Математическая статистика /В.М. Иванов, В.Н. Калинин, Л.А. Неклумов и др.- М.: Высшая школа, 1981. – 371 с.
  3.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – 479 с.
  4.  Богачев Б.М., Сысоев В.В. Теория вероятностей: Учебн. пособие / Воронеж. гос. технол. акад. Воронеж, 2000. 135 с.

Учебное издание

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Методические указания к практическим и

расчетно-графическим работам по курсу

«Теория информационных процессов и систем»

Для студентов  специальности 071900

Составители   ГОЛИКОВ Виктор Константинович,

       НИКИТИН Виктор Иванович,

     ПЕРОВА Алла Владимировна,

     СЫСОЕВ Дмитрий Валерьевич

Корректура составителей

Компьютерный набор и верстка В. К. Голиков

Лр. № 020449 от 31.10.97. Подписано в печать      .      .2004.

Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.

Усл. печ. л.    Уч.-изд. л.      . Тираж 200 экз. Заказ             С - 24

Воронежский институт высоких технологий (ВИВТ)

Участок оперативной полиграфии ВИВТ

Адрес института и участка оперативной полиграфии:

394000 Воронеж, пр. Революции, 19

23

PAGE  4




1. Бонитировка угодий Зейского района по кабарге
2. Реферат- Бізнес-етика в міжнародних відносинах та особливості етичної бізнес-діяльності в Україні
3. Задание за пропуски
4. Горе от ума и роман А.html
5. Достижения арабской психологии
6. ТЕМАТИКЕ 2 СЕМЕСТР вариант 9 РАЗДЕЛ 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7. 1939 В конце 30х годов было распространено два мнения о том откуда исходит угроза для стабильности на Дальне
8. транспорт веществ необходимых для обеспечения специфической деятельности клеток организма; 2 доставка
9. Теоретические основы применения компьютерных технологий в процессе обучения иностранному языку 001
10.  ОСНОВИ ФОРМУВАННЯ ТУРИЗМУ В ІНДІЇ
11. Курсова робота Гра як метод навчання
12. Особенности воздействия электрического тока на организм человека
13. Перекресток г
14. Северное море
15. Контроль в послепечатных процесса
16. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ’ 1 СОЗДАНИЕ БАЗЫ ДАННЫХ В CCESS Создайте файл базы данных Docs_ваши инициалы
17. Водоснабжение и водоотведение на ГСХ-3
18. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Ки
19. е и харные особти древнерусского госва
20. Реферат- Административный договор как институт административного права