Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

вынуждающей силой то возникнут вынужденные колебания

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05


  1.  Дифференциальное уравнение Свободные НЕзатухающие колебания в электрическом колебательном контуре.

Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычный маятник и отпустите. Движение, которое за этим последует, и есть собственные колебания маятника.

Если же колебания поддерживаются периодической «вынуждающей» силой, то возникнут вынужденные колебания.

Мы обращаемся к рассмотрению собственных колебаний, амплитуда которых не меняется во времени. Такие колебания называются собственными незатухающими.

Это дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний пружинного осциллятора. Его принято записывать так:

(12.3)

Решением этого уравнения является гармоническая функция

x = a Cos (w0t + a).

2.Дифференциальное уравнение Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R≠0) , как известно 

 

Учитывая формулу собственной частоты колебательного контура и принимая коэффициент затухания равным 

 (11) 

дифференциальное уравнение колебаний заряда Q (см. раздел "Свободные гармонические колебания в колебательном контуре") можно записать в аналогичном уравнению (1) виде 

 

Из зависимостей (1) и (5) следует, что колебания заряда подчиняются закону 

 (12) 

с частотой, используя (4), равной 

 (13) 

меньшей собственной частоты контура ω0 . При R=0 формула (13) становится формулой (4). 

Логарифмческий декремент затухания задается формулой (7), а добротность колебательного контура (8) 

 (14) 

Отметим в заключение, что при увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебании увеличивается и при δ=ω0равен бесконечности, т. е. движение перестает быть периодическим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю, когда t→∞. Данный процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим

Значительный интерес для техники представляет возможность сохранять колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять каким-либо образом потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко используются так называемые автоколебания — незатухающие колебания, которые поддерживаются в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний задаются самой системой. 

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, которые происходят без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. следующий раздел), которые происходят под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями). 

Примером автоколебательной системы являются часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, которая передавается при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также появляются вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй. 

3. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность.

Скорость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания . В соответствии с выражением коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:

При незначительном затухании () период колебаний практически равен . С ростом период увеличивается. Из соотношения следует, что .

Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

.

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание.

4. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс

Если рассматривать колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний (рис. 8.4), нужно включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав контур, подать напряжение:

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре

U = Umcosw, тогда уравнение будет иметь вид:

 ,                                                                                                           (8.15)

 

после замены получим

 .                                                                                     (8.16)

 

Резонансная частота для контура

 .                                                                        

При  резонансные кривые стремятся к Um – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

5. Первое уравнение Максвела

Первое уравнение Максвелла –есть обобщенное уравнение Ампера и Био, Савара на токи смещения.

В современной интегральной форме это уравнение имеет вид:

                                                                        =                                                              

Где 

                                                                                                                                                      

 

Уравнение 1.1 означает, что круговые магнитные поля создаются как токами проводимости так и токами смещения.

Полный ток  является замкнутым.

Подставим 1.2 в 1.1 получим:

                                                           ;                                                       

Получим дифференциальную форму 1-го уравнения Максвела.                                                                        ;                                                             

                                                                        rot;                                                                       

1-е уравнение Максвела в дифференциальной форме  говорит о том, что вихревое магнитное поле создается как токами смещения, так токами проводимости.

Уравнения Максвела в дифференциальной форме не справедливо в средах, где имеется скачек эл-х характеристик среды. Но интегральное уравнение справедливо и для этих сред.

6. Второе уравнение Максвела

Второе уравнение Максвела - есть обобщение закона Фарадея на диэлектрические среды.

                                                                                                                                         

-2-е уравнение Максвела в интегральной форме.

Получим дифференциальную форму этого уравнения

                                                                                                                                  

Это уравнение справедливо, если равны подинтегральные выражения

                                                                      rot                                                                       

2-е уравнение Максвела означает, что переменное во времени магнитное поле вихревое электрическое поле в пространстве.

Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная скорости изменения электрической индукции. Это понятие используется в классической электродинамике. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

В вакууме, а также в любом веществе, в котором можно пренебречь поляризацией либо скоростью её изменения, током смещения  (с точностью до универсального постоянного коэффициента) называется[3] поток вектора быстроты изменения электрического поля  через некоторую поверхность[4] :

 (СИ)

 (СГС)

В диэлектриках (и во всех веществах, где нельзя пренебречь изменением поляризации) используется следующее определение:

 (СИ)

 (СГС),

где D — вектор электрической индукции (исторически вектор D назывался электрическим смещением, отсюда и название «ток смещения»)

7. Полная система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

 полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где e0 и m0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g — удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

8. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Скорость распространения электромагнитных волн

Электромагнитные волны, электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью. Существование Э. в. было предсказано М. Фарадеем в 1832. Дж. Максвелл в 1865 теоретически показал, что электромагнитные колебания не остаются локализованными в пространстве, а распространяются в вакууме со скоростью света с во все стороны от источника. Из того обстоятельства, что скорость распространения Э. в. в вакууме равна скорости света, Максвелл сделал вывод, что свет представляет собой Э. в..

Электромагнитная волна - процесс распространения электромагнитного поля в пространстве.

В случае однородной и изотропной среды, вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, уравнения Максвелла, приводят к волновым уравнениям:

 ;  ,

описывающим распространение плоских монохроматических Э. в.:

Е = E0 cos (kr — wt + j)

Н = H0 cos (kr — wt + j).

Здесь e — диэлектрическая проницаемость, mÑ — магнитная проницаемость среды, E0 и H—амплитуды колебаний электрических и магнитных полей, w — частота этих колебаний, j — произвольный сдвиг фазы, k — волновой вектор, r — радиус-вектор точки; Ñ2 — Лапласа оператор.

Скорость распространения электромагнитных волн. Свойства электромагнитных волн

1. Дж. Максвелл чисто математически показал, что скорость распространения электромагнитного поля в вакууме равна скорости света  c=3108mc

2. При распространении электромагнитных волн в каждой точке пространства происходят периодически повторяющиеся изменения электрического и магнитного полей.

3. Колебания векторов  E→ и  B→ в каждой точке электромагнитной волны происходят в одинаковых фазах и по двум взаимно перпендикулярным направлениям

 EB

в каждой точке пространства.

4. Векторы  E→ и  B→ образуют с вектором скорости распространения  v→ правовинтовую систему

5. Период электромагнитной волны (частота) равен периоду (частоте) колебаний источника электромагнитных волн.

6. Электромагнитная волна, как и упругая, является носителем энергии, причем перенос энергии совершается в направлении распространения волны.

Переносимая энергия пропорциональна четвертой степени частоты. Поэтому источником интенсивных электромагнитных волн, способных переносить электромагнитную энергию на значительные расстояния, должны быть электромагнитные колебания очень высокой частоты (порядка миллиона герц). Понятно, что никакие механические генераторы не могут создать переменный ток частотой -106 Гц (для этого якорь должен был бы совершать 106 оборотов в 1 с). Источником электромагнитных волн такой частоты может быть только колебательный контур.

 Электромагнитные волны распространяются прямолинейно в однородной среде, испытывают преломление при переходе из одной среды в другую, отражаются от преград. Для них характерны явления дифракции и интерференции.

9. Электромагнитные волны. Уравнение плоской электромагнитной волны. Шкала электромагнитных волн.

Электромагнитная волна - процесс распространения электромагнитного поля в пространстве.

Волна называется плоской, если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны (pис.1.3). Следовательно, лучи плоской волны - суть паpаллельные пpямые.

Таким обpазом, уpавнение плоской волны без диспеpсии имеет следующий вид:

 или 

Исследования, проводившиеся в самых разнообразных областях физики, позволили установить, что диапазон частот (или длин волн) электромагнитных волн чрезвычайно широк. Из теории Максвелла следует, что различные электромагнитные волны, в том числе и световые, имеют общую природу. Поэтому их удобно представить в виде единой шкалы, имеющей диапазон частот от нескольких герц до 1022 Гц, что соответствует длинам волн от тысяч километров до 10-14 м.

Исключительным успехом электромагнитной теории Максвелла явилось создание шкалы электромагнитных волн. Вдоль шкалы слева направо не-прерывно возрастает одна величина — частота (уменьшается длина волны), а ее увеличение приводит к появлению качественно различных излучений.

В виду огромного различия длин волн эта шкала построена в логарифмическом масштабе: метки на шкале соответствуют длинам, каждая из которых отличается в 10 раз от соседней. На шкале указаны участки длин волн (или λ), занимаемые различными типами электромагнитных волн. Распределение электромагнитных волн по типам сделано в соответствии со способами их генерации. С изменением длины электромагнитных волн изменяется и их взаимодействие с веществом, поэтому методы их регистрации и изучения различны. Различают следующие участки на шкале:

1) электромагнитные колебания низкой частоты (3104 м <λ<∞);

2) радиоволны (110−4 м <λ≤3104 м );

3) инфракрасное излучение  (7,610−7 м <λ≤110−4 м  );

4) видимый свет  (410−7 м  <λ≤7,610−7 м  );

5) ультрафиолетовое излучение  (610−9 м  <λ≤410−7 м  );

6) рентгеновское излучение  (10−12 м  <λ≤10−8 м  );

7)  γ-излучение  (λ<10−11 м  ).

10. Электромагнитное поле. Энергия электромагнитного поля. Вектор Умова-Поинтинга

Электромагнитное поле, особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частицами.  Представляет собой совокупность электрического и магнитного полей, которые могут, при определённых условиях, порождать друг друга, а по сути являются одной сущностью, формализуемой через тензор электромагнитного поля.

Эне́ргия электромагни́тного по́ля — энергия, заключенная в электромагнитном поле.

Для электрического и магнитного полей их энергия пропорциональна квадрату напряжённости поля.

Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S (в российской научной традиции — вектор Умова — Пойнтинга).

В системе СИ вектор Пойнтинга равен  (векторному произведению напряжённостей электрического и магнитного полей) и направлен перпендикулярно векторам E и H. Это естественным образом согласуется со свойством поперечности электромагнитных волн.

Вместе с тем, формула для плотности потока энергии может быть обобщена для случая стационарных электрических и магнитных полей и имеет тот же вид: .

11. Законы геометрической оптики. Абсолютный и относительный показатели преломления.

Основные законы геометрической оптики были известны задолго до установления физической природы света.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0. Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.

На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после отражения по новому направлению, а часть пройдет через границу и продолжит распространяться во второй среде.

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред: 

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом в 1621 г.

Постоянную величину n называют относительным показателем преломления второй среды относительно первой. Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем преломления.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления: 

n = n2 / n1.

12. Принцип действия микроскопа и телескопа

Объективом (к объекту) называют линзу или систему линз с очень коротким фокусом, что обеспечивает большое увеличение. Полученное изображение рассматривается глазом в окуляр (око) , который является более длинофокусной линзой (или системой) , что позволяет обеспечить нормальное зрительное восприятие. Между линзами находится металлический корпус _ тубус, в котором предусмотрено перемещение линз для получения четкого изображения участка предмета (или всего небольшого объекта). Увеличение определяется произведением увеличений каждой из систем. Оно ограничено по величине для оптического микроскопа полуторами тысяч раз. Иначе размер линзы объектива будет таким, что появится явление дифракции -приходится заменять оптические системы на электронные (электронный микроскоп) для получения больших увеличений. 

13. Интерференция света. Интерференция монохроматических волн

Интерфере́нция све́та — перераспределение интенсивности света в результате наложения (суперпозиции) нескольких световых волн. Это явление сопровождается чередующимися в пространстве максимумами и минимумами интенсивности. Её распределение называется интерференционной картиной.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям, и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Условию когерентности удовлетворяют монохроматические волны, имеющие одинаковые частоты и постоянные разности начальных фаз. Монохроматическая волна характеризуется определенной длиной волны  и связанной с ней частотой , где  – скорость света в вакууме.

14. Расчёт интерференционной картины от двух когерентных источников

Интерференционная картина – пространственное распределение интенсивности излучения получающееся в результате интерференции в месте её наблюдения. Рассмотрим условия возникновения интерференции. Пусть в некоторой точке пространства существует две произвольные электромагнитные волны и . при их наложении согласно принципу суперпозиции напряжённость результирующего поля равна сумме напряжённостей:


15. Способы получения интерференции. Интерферометры.

Получение когерентных волн для реализации интерференции в оптике осуществляется двумя способами:

  1.  инструментальное получение из данного источника двух когерентных;
  2.  деление фронта волны.

Схемы получения когерентных волн в первом случае основаны на получении двух источников, которые являются двумя изображениями данного единого излучающего центра (метод Юнга, бипризма Френеля, зеркала Френеля). Во втором случае получение когерентных волн происходит делением волны в пределах цуга на две волны (интерферометр Майкельсона, тонкие пленки, клин, кольца Ньютона).

Интерферометр — измерительный прибор, принцип действия которого основан на явлении интерференции. Принцип действия интерферометра заключается в следующем: пучок электромагнитного излучения (света, радиоволн и т. п.) с помощью того или иного устройства пространственно разделяется на два или большее количество когерентных пучков. Каждый из пучков проходит различные оптические пути и возвращается на экран, создавая интерференционную картину, по которой можно установить смещение фаз пучков.

Интерферометры применяются как при точных измерениях длин, в частности в станко- и машиностроении, так и для оценки качества оптических поверхностей и проверкиоптических систем в целом.

16. Дифракция.  Принцип Гюйгенса-Френеля.

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле - любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса (см. § 170), согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником Sможет быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками.

17. Метод зон Френеля. Прямолинейность распространения света.

Метод зон Френеля. 

Для упрощения расчета результирующей амплитуды светового колебания в точке наблюдения Френель предложил метод деления фронта волны на зоны. Пусть S– точечный источник света, P – произвольная точка наблюдения, в которой необходимо определить амплитуду Е световых колебаний. Фронт волны в определенный момент времени есть сфераS’ (рис. 3.3). Зоны Френеля строятся таким образом, что расстояния от краев двух соседних зон до точки наблюдения отличаются наполовину длины световой волны λ/2. Обозначим расстояние от точки P до волнового фронта OP = L, тогда границей центральной или первой зоны будут точки поверхности S’, находящиеся на расстоянии L+λ/2 от точки P. Эти точки расположены на поверхности по окружности. Точки сферы S’, находящиеся на расстоянии L+2λ/2 от P, образуют границу второй кольцевой зоны, на расстоянииL+3λ/2 – границу третьей и т.д.

Обозначим Е1 амплитуду волны, пришедшей в точку P от первой зоны, Е2 – от второй и т.д. Колебания, приходящие в точку В от двух соседних зон, противоположны по фазе, так как их разность хода равна λ/2, они будут ослаблять друг друга. Напомним, что при прохождении волной пути в половину длины волны ее фаза меняется на противоположную. Поэтому при суммировании амплитуды нечетных зон будем брать со знаком «+», а четных – со знаком «-». В итоге результирующая амплитуда, т.е. амплитуда колебаний от всех зон в точке P будет равна

Е = Е1 – Е2 + Е3 – Е4 +…+ Еn.

Прямолинейностью распространения света в однородной среде объясняется образование тени. Тени людей, деревьев, зданий и других предметов хорошо наблюдаются на земле в солнечный день.

Предметы, освещаемые точечными источниками света, например солнцем, отбрасывают четко очерченные тени

18. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. 

1. Пусть источник света S0 испускает сферическую волну. Поставим на пути волны непрозрачный экран Э1 с круглым отверстием АВ таким образом, чтобы перпендикуляр, опущенный из S0 на экран, проходил через центр отверстия (рис. 3.4 а). Для наблюдения дифракционной картины параллельно Э1 на расстоянии L от него поместим экран Э2. Используя метод зон Френеля, разобьем открытую часть волнового фронта АВ на зоны и определим результирующую амплитуду светового вектора в точке Р. Число открытых зон Френеля m зависит от размеров отверстия АВ, расстояния Lи длины волны света λ. Если m – нечетное число, суммарная амплитуда в точке Р будет равна Е1/2 + Еm/2, что соответствует интерференционному максимуму На рис. 3.4 б показано, как меняется интенсивность света на экране Э2 в зависимости от расстояния r от центра экрана P. Следовательно, наличие преграды с круглым отверстием усиливает освещенность в точке Р, т.к. без экрана амплитуда в данной точке была бы равна Е1/2. Если m – четное число, результирующая амплитуда в точке Р:

.

Поскольку амплитуды двух соседних зон Френеля мало отличаются друг от друга, можно предположить, что  и тогда результирующая амплитуда запишется в виде:  и в точке Р будет наблюдаться интерференционный минимум (рис. 3.4 в). Чтобы найти результирующую амплитуду в другой точке экрана, например, Р’, необходимо разбить фронт волны на зоны с центром в точке О’ (рис. 3.4. а). В этом случае часть первоначальных зон будет закрыта экраном Э1. Амплитуда в точке Р’ будет определяться не только числом зон, укладывающихся на отверстии, но и степенью частичного перекрывания зон. Исходя из соображений симметрии, дифракционная картина должна состоять из чередующихся светлых и темных колец, что и было подтверждено экспериментально. По мере удаления от центра экрана интенсивность максимумов убывает. ЕслиS0 – источник белого света, светлые кольца имеют радужную окраску.

2. Пусть между источником света S0 и экраном Э размещен непрозрачный диск АВ, параллельный экрану (рис. 3.5). Пунктирная прямая S0Р перпендикулярна диску и проходит через его центр. Вновь воспользуемся методом зон Френеля. Пусть диск закрывает m зон, тогда амплитуда первой действующей зоны будет Еm+1. С нее и следует начинать построение зон. В результате суммирования амплитуд всех открытых зон мы получаем, что в точке Р амплитуда Е = Еm+1/2. Таким образом, при дифракции на круглом непрозрачном диске в центре экрана получается светлое пятно (т.к. интенсивность здесь отлична от нуля), окруженное чередующимися концентрическими кольцами минимумов и максимумов.

 

 19. Дифракция Фраунгофера на прямоугольной щели. 

Дифракцию в параллельных лучах или дифракцию плоских волн впервые исследовал немецкий физик И. Фраунгофер в 1821-1822гг. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный экран Э1 с длинной узкой щелью АВ шириной а (рис. 3.6). Согласно принципу Гюйгенса – Френеля все точки щели можно рассматривать как вторичные источники световых волн, колеблющихся в одной фазе (так как плоскость щели есть часть волновой поверхности падающей плоской волны), и распространяющихся во всех направлениях. Из всего многообразия направлений выберем одно произвольное и будем рассматривать лучи, идущие под углом φ к падающим лучам. Параллельно экрану Э1поместим линзу Л, а в ее фокальной плоскости – экран Э2, на котором лучи соберутся в некоторой точке Р. Опустим перпендикуляр АС из точки А на крайний луч. АС представляет собой волновую поверхность для лучей, идущих под углом φ и, согласно определению, все точки данной поверхности колеблются в одной фазе. Поэтому отрезок ВС является оптической разностью хода между крайними лучами пучка, ВС = Δ = аsinφ. Поделим участок ВС на отрезки, равные λ/2 и из точек деления проведем плоскости, параллельные АС до пересечения с АВ (эти плоскости перпендикулярны рисунку и поэтому на нем изображены как прямые линии). Эти плоскости поделят щель АВ на равные полоски, которые являются зонами Френеля, т.к. световые волны, идущие от соседних полосок, имеют разность хода λ/2 (см. рис. 3.6). Если число зон будет четным, они попарно погасят друг друга, и в точке Р будет наблюдаться минимум освещенности. Четное число отрезков на участке ВС соответствует условию аsinφ = ±2m λ/2, где m = 1,2,3…Это условие называется условием дифракционного минимумаИз него находятся углы, под которыми наблюдаются дифракционные минимумы на экране. Знак “минус” соответствует лучам, идущим от щели под углом –φ.

Если число зон Френеля нечетно, на экране в точке Р получается дифракционный максимум. Условие дифракционного максимума имеет вид

аsinφ = ±(2m + 1)λ/2, где = 1, 2, 3…

Это условие определяет углы, соответствующие максимумам освещенности на экране Э2. Число m называется порядком дифракционного максимума или минимума.

В центральной точке экрана О соберутся лучи, идущие в направлении φ = 0, следовательно, без разности хода. В этом направлении щель действует как одна зона Френеля, создавая в точке О самый интенсивный максимум нулевого порядка. Это будет светлая полоса, повторяющая форму щели. Дифракционная картина от щели симметрична относительно точки О и интенсивности максимумов более высоких порядков уменьшаются в пропорции 1 : 0,047 : 0,017 : 0,008…

Дифракционная картина на экране зависит от отношения длины волны падающего монохроматического излучения λ к ширине щели а. Из условия дифракционного минимума , следовательно расстояния от центра картины до минимумов возрастают с уменьшением а. Центральная светлая полоса при этом расширяется. При а«λ вся поверхность щели будет небольшой частью лишь одной зоны Френеля. Такую щель можно считать линейным источником света, колебания от которого будут распространяться в одной фазе и дифракционной картины не наблюдается. При а»λ в центре экрана получается широкая равномерно освещенная полоса, обусловленная беспрепятственным прямолинейным распространением света от источника, и на ее краях наблюдаются очень узкие дифракционные полосы.

При освещении щели белым светом дифракционные максимумы, соответствующие различным длинам волн пространственно разделятся. Чем меньше длина волны, тем ближе к центру экрана будет располагаться ее максимум. Это следует из условия максимума при дифракции от одной щели. В центре экрана объединятся лучи всех длин волн, так как здесь угол φ = 0 и разность хода Δ = 0, поэтому центральный максимум будет белым. Максимумы первого, второго и высших порядков разложатся в спектры, обращенные фиолетовым краем к центру экрана. Подобные спектры расплывчаты, поэтому четкое разделение по длинам волн при дифракции от одной щели получить не удается. Для получения более качественной дифракционной картины свет от источника необходимо пропустить через несколько параллельных щелей.

 

3. 5. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке. 

Совокупность параллельных щелей одинаковой ширины а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b, лежащих в одной плоскости, называется одномерной дифракционной решеткой.

Если на решетку падает белый свет, то максимумы 1-го и более высоких порядков разложатся в спектры. Максимум для фиолетовых лучей будет располагаться ближе к центру экрана. Центральные нулевые максимумы для всех длин волн будут совпадать и поэтому в центре экрана будет наблюдаться белая полоса. Благодаря способности разлагать в спектр падающее излучение, дифракционная решетка широко используется для исследования спектрального состава излучения, т.е. для определения длин волн и интенсивностей всех его монохроматических компонентов. По расстояниям между дифракционными линиями при заданной длине волны можно определить период решетки, а по величине интенсивностей максимумов различных порядков изучить структуру рассеивающих центров (в обычной решетке это непрозрачные промежутки шириной b).

20. Дифракционная решетка. Голография. Разрешающая способность оптических приборов

Совокупность параллельных щелей одинаковой ширины а, разделенных непрозрачными промежутками шириной b, лежащих в одной плоскости, называется одномерной дифракционной решеткой.

Гологра́фия (др.-греч. ὅλος — полный + γραφή — пишу) — набор технологий для точной записи, воспроизведения и переформирования волновых полей.

Данный метод был предложен в 1947 году[1] Дэннисом Габором, он же ввёл термин голограмма[2] и получил «за изобретение и развитие голографического принципа»Нобелевскую премию по физике в 1971 году[3]

Первая голограмма была получена в 1947 году (задолго до изобретения лазеров) Деннисом Габором в ходе экспериментов по повышению разрешающей способности электронного микроскопа. Он же придумал само слово «голография», которым он подчеркнул полную запись оптических свойств объекта. К сожалению, его голограммы отличались низким качеством. Получить качественную голограмму без когерентного источника света невозможно.

Разрешающая способность оптических приборов характеризует их способность давать раздельные изображения двух близких друг к другу точек объекта. Из-за дифракции света изображение точки — кружок (светлое пятно, окружённое кольцами). Наименьшее линейное или угловое расстояние между двумя точками, начиная с которого их изображения сливаются, называется линейным или угловым пределом разрешения. Количественной мерой Разрешающей способности обычно служит обратная величина. Разрешающая способность прибора может быть оценена по его аппаратной функции.

21. Поглощение электромагнитных волн. Закон Бугера.

Поглощением (абсорбцией) света называется явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

Поглощение света в веществе связано с преобразованием энергии электромагнитного поля волны в тепловую энергию вещества (или в энергию вторичного фотолюминесцентного излучения). Закон поглощения света (закон Бугера) имеет вид:

I=Iexp(-x), (1)

где I0, I -интенсивности света на входе (х=0) и выходе из слоя среды толщины х, -коэффициент поглощения, он зависит от .

Для диэлектриков =10-1 10-5 м-1 , для металлов =105 107 м-1поэтому металлы непрозрачны для света.

Зависимостью ( ) объясняется окрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее красный свет, при освещении белым светом будет казаться красным.

22. Поляризация света при отражении и преломлении на границе раздела двух диэлектрических сред. Закон Брюстера

Если угол падения света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков (например, на поверхность стеклянной пластинки) отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения (плоскость рисунка). В преломленном луче - колебания, параллельные плоскости падения (см.рис.5). Поляризацию объясняет электромагнитная теория Максвелла.

Закон Брюстера: Отраженный свет полностью линейно поляризован при угле падения a Бр , удовлетворяющем условию

tga Бр=n2/n(7)

При этом преломленный свет поляризован не полностью и угол между отраженным и преломленным лучами равен 90°.

23. Метод Малюса. Искусственная оптическая анизотропия: эффект Керра

Закон Малюса — физический закон, выражающий зависимость интенсивности линейно-поляризованного света после его прохождения через поляризатор от угла  между плоскостями поляризации падающего света и поляризатора.

где  — интенсивность падающего на поляризатор света,  — интенсивность света, выходящего из поляризатора,  —коэффициент пропускания поляризатора.

Оптический изотропный диэлектрик ( твердый, жидкий или газообразный) может стать оптически анизотропным при внесении его во внешнее однородное электрическое поле. Это явление называют эффектом Керра.

24. Дисперсия. Нормальная и аномальная дисперсии.

Диспе́рсия све́та (разложение света) — это явление, обусловленное зависимостью абсолютного показателя преломления вещества от частоты (или длины волны) света (частотная дисперсия), или, то же самое, зависимость фазовой скорости света в веществе от длины волны (или частоты). Экспериментально открыта Ньютоном около 1672 года, хотя теоретически достаточно хорошо объяснена значительно позднее.

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления вещества от частоты ν (длины волны λ) света или зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты ν (длины волны λ). Дисперсия света представляется в виде зависимости:

Дисперсия света называется нормальной в случае, если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты, в противном случае дисперсия наз. аномальной.

25.  Фазовая и групповая скорость.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн).

26. Связь между групповой и фазовой скоростями.

Между фазовой и групповой скоростями может быть установлена связь

(6.9)

Соотношение (6.9) называется формулой Рэлея. Возможны два случая:

1) , – случай нормальной дисперсии

2) , – случаи аномальной дисперсии

27.Тепловое равновесное излучение. Характеристики теплового излучения тел.

Тепловым излучением называется электромагнитное излучение, испускаемое телами за счет их внутренней энергии.

В этом случае энергия внутренних хаотических тепловых движений частиц непрерывно переходит в энергию испускаемого электромагнитного излучения.

Нагретое тело за счет теплового излучения отдает внутреннюю энергию и охлаждается до температуры окружающих тел. В свою очередь, поглощая излучение, могут нагреваться холодные тела. Такие процессы, которые могут происходить и в вакууме, называют радиационным теплообменом.

Если излучающее тело окружить оболочкой с идеально отражающей поверхностью, то через некоторое время эта система придет в состояние теплового равновесия.

Равновесным тепловым излучением называют излучение, при котором расход энергии тела на излучение компенсируется энергией поглощенного им излучения для каждой длины волны.

Из всех видов излучения только тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающими телами.

Основной величиной, характеризующей тепловое состояние тел, является температура. Для спектральной характеристики теплового излучения вводится понятие об излучательной ( или лучеиспускательной) способности тела

излучательная способность тела численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности этого тела в единичном интервале длин волн.

Светимость R(T) – количество энергии, излучаемое единицей поверхности тела в единицу времени во всем интервале длин волн от 0 до ∞.

Тело, которое поглощает полностью все падающее на него излучение любой длины волны при любой температуре, называют абсолютно черным (точнее абсолютно поглощающим) телом.

28. Законы теплового излучения абсолютно черного тела. Формула Рэлея-Джинса.

Абсолютно чёрное тело — физическая абстракция, применяемая в термодинамике, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.

Наиболее чёрные реальные вещества, например, сажа, поглощают до 99 % падающего излучения (т. е. имеют альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Термин был введён Густавом Кирхгофом в 1862.



Модель абсолютно черного тела

Абсолютно чёрных тел в природе не существует, поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет из себя замкнутую полость с небольшим отверстием. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Классический подход

Первый закон излучения Вина 
В 1893 году Вильгельм Вин, исходя из представлений классической термодинамики, вывел следующую формулу:

  1.  
  2.  где uν — плотность энергии излучения
  3.  ν — частота излучения
  4.  T — температура излучающего тела
  5.  f — функция, зависящая только от частоты и температуры. Вид этой функции невозможно установить, исходя только из термодинамических соображений.


Исторически именно первый закон Вина назывался законом смещения, но в настоящее время термином "закон смещения Вина" называют закон максимума.

Второй закон излучения Вина


В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

  1.  
  2.  где uν — плотность энергии излучения
  3.  ν — частота излучения
  4.  T — температура излучающего тела
  5.  C1,C2 — константы.




Релей и Джинс, исходя из классической теории о равном распределении энергии по степеням свободы, и представляя тело как набор осцилляторов, получили следующую формулу для испускательной способности АЧТ

,(8)

где k - постоянная Больцмана, kT -энергия колебаний осцилляторов на длине волны l.

Формула (8) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн (см. рис. 2, штриховую кривую) и резко расходится с опытом для малых длин волн:  при l®0. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в противоречии с опытом.

29.Элементарная квантовая теория излучения. Формула Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения (Спектральной Плотности Энергетической Светимости) абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения :

Формула Планка («форма» зависимости от частоты и температуры) первоначально была «выведена» эмпирически. Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея—Джинса, которая следует из классической теории электромагнитного поля, удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. С убыванием длин волн формула Рэлея—Джинса сильно расходится с эмпирическими данными. Более того, в пределе она даёт расхождение — бесконечную энергию излучения (ультрафиолетовая катастрофа). В связи с этим Планк в 1900 году сделал предположение, противоречащее классической физике, о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

30. Фотоэффект. Законы и квантовая теория внешнего фотоэффекта

Фотоэффе́кт — это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения (фотонов).

Фотоэффект – квантовое явление. C открытием фотоэффекта и его исследование экспериментально обосновали квантовую теорию. На ее основе оказалось возможным объяснение закономерностей Фотоэффекта: т.е. свободный электрон не может поглотить фотон, т.к. при этом не могут быть одновременно соблюдены законы сохранения энергии и импульса. Фотоэффект из молекулы или конденсированной среды возможен только из-за связи электрона с окружением. Эта связь характеризуется энергией ионизации, в конденсированной среде — работой выхода.[1]

В конденсированных веществах (твёрдых и жидких) выделяют внешний и внутренний фотоэффект.

Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание электронов веществом под действием света. Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фотоэффекте, называютсяфотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при упорядоченном движении во внешнем электрическом поле, называется фототоком.

Фотокатод - электрод вакуумного электронного прибора, непосредственно подвергающийся воздействию света.

Законы внешнего фотоэффекта Править

  1.  Закон Столетова: при неизменном спектральномсоставе света, падающего на фотокатод, фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности катода (иначе: число фотоэлектронов, выбиваемых из катода за 1с, прямо пропорционально интенсивности света): 
     и 
  2.  Для данного фотокатода максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты света и не зависит от его интенсивности.
  3.  Для каждого фотокатода существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота света при которой фотоэффект ещё возможен.

31. Энергия, масса и импульс фотона

Фотоны, энергия, масса и импульс фотона

1. Энергия фотона

W=hv= ,(1)

где h=6.6*10-34 Дж*с - постоянная Планка,=h/2=1.055*10-34 Дж*с также постоянная Планка,=2v - круговая частота.

2. Масса фотона определяется исходя из закона о взаимосвязи массы и энергии (Е=mc2)

(2)

3.Импульс фотона. Для любой релятивиской частицы энергия ее Поскольку у фотона m0=0, то импульс фотона

(3)

т.е. длина волны обратно пропорциональна импульсу.

32. Эффект Комптона. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света

Эффект Комптона (Комптон-эффект, Комптоновское рассеяние) — некогерентное рассеяние фотонов на свободных электронах. Эффект сопровождается изменением частоты фотонов, часть энергии которых после рассеяния передается электронам. Обнаружен американским физиком Артуром Комптоном в 1923 году в экспериментах с рентгеновским излучением. В 1927 Комптон получил за это открытие Нобелевскую премию по физике.

Свет имеет сложные корпускулярно-волновые свойства: обладает одновременно и волновыми и квантовыми свойствами - корпускулярно-волновая дуализм (двойственность) свойств света.

Связь корпускулярных и волновых свойств света отражают формулы для энергии, импульса, массы фотона:

   

Волновые свойства присущи не только большой совокупности фотонов, но и каждому фотону в отдельности.

33. Корпускулярно-волновой дуализм свойств материи. Гипотеза до Бройля. Дифракция электронов. Микрочастица в двухщелевом интерферметре

Корпускуля́рно-волново́й дуали́зм (или Ква́нтово-волново́й дуали́зм) — принцип, согласно которому любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства. Был введён при разработке квантовой механики для интерпретации явлений, наблюдаемых в микромире, с точки зрения классических концепций. Дальнейшим развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма стала концепция квантованных полей в квантовой теории поля.

 В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами.

Бройль (1892–1987), французский физик, удостоенный Нобелевской премии (1929 г). по физике за открытие волновой природы электрона. В 1923 г., развив идею А. Эйнштейна о двойственной природе, предположил, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, связанными с их массой и энергией (волны де Бройля). Экспериментальное подтверждение этой идеи было получено в 1927 г. в опытах по дифракции электронов в кристаллах, а позже она получила практическое применение при разработке магнитных линз для электронного микроскопа. Концепцию Луи де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме использовал Э. Шредингер при создании волновой механики.

    Дифракция электронов — процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет волновые свойства. Данное явление называется корпускулярно-волновым дуализмом, в том смысле, что частица вещества(в данном случае взаимодействующие электроны) может быть описана, как волна.

.

34. Соотношение неопределенностей. Набор одновременно измеримых величин

СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ — математически формулируемый принцип квантовой теории, согласно которому запрещается существование таких состояний физической системы, в которых две динамические переменные (далее обозначаемые в общем виде А и В) имели бы вполне определенное значение, если эти переменные являются канонически сопряженными величинами.

В 1927 г. В.Гейзенберг открыл так называемые соотношения неопределенностей, в соответствии с которыми неопределенности координаты и импульса связаны между собой соотношением:
, где , h постоянная Планка.
Своеобразие описания микромира в том, что произведение неопределенности (точности определения) положения Δx и неопределенности (точности определения) импульса Δp
x всегда должно быть равно или больше константы, равной – . Из этого следует, что уменьшение одной из этих величин должно приводить к увеличению другой. Хорошо известно, что любое измерение сопряжено с определенными ошибками и совершенствуя приборы измерения, можно уменьшать погрешности, т. е. повышать точность измерения. Но Гейзенберг показал, что существуют сопряженные (дополнительные) характеристики микрочастицы, точное одновременное измерение которых, принципиально невозможно. Т.е. неопределенность – свойство самого состояния, оно не связано с точностью прибора.

Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношения неопределенностей, имеет вид:
.

35. Задание состояния микрочастиц. Волновая функция  и ее статистический смысл. Амплитуда вероятностей.

Волновая функция и ее статистический смысл

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(w t- kх+jО)

или в экспоненциальной форме

SOехр[i(w t- kх+jО)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) w и k=2p /l через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

Y =АOехр[(-i/)(Еt- pх)]. (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет |Y| 2, то это [cм.(16)] несущественно).

Функцию Y называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интепретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того , что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP=|Y| 2 dV=YY*dV (17)

где Y* - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина |Y| 2=YY= dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

 (18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные Y по координате х и времени t:

откуда

 (19)

Амплитуда вероятности в квантовой механике, то же, что волновая функция состояния системы. Название А. в. связано с тем, что вероятность обнаружения системы в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения А. в. этого состояния.

Волновая функция в квантовой механике, величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (например, электрона, протона, атома, молекулы) и вообще любой квантовой системы (например, кристалла).

36. Временное и стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Это новое уравнение физики, не являющееся дифференциальным уравнением классической физики. Уравнение Шрёдингера не может быть выведено из каких–либо других соотношений, оно постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами. Подтверждение правильности этого уравнения придает ему характер закона природы.

Временное уравнение Шрёдингера. Для описания волновых свойств микрочастицы была введена комплексная функция координат и времени, называемая пси–функцией , физический смысл и свойства которой рассматривались ранее. Эта функция является решением временного уравнения Шрёдингера
,
где 
m– масса микрочастицы, U(х, у, z, t) – потенциальная энергия силовом поле, в котором частицы  находится, ,
 – оператор Лапласа. 
Это уравнение нерелятивистское, оно справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью 
 (с – скорость света в вакууме).
Волновая функция 
 является функцией времени.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

 (22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

37. Микрочастица в потенциальном ящике

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных ям. 
Потенциальная яма – область прорыва в которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.
Ямы могут имеет самую причудливую форму.



Для удобства вид ямы сводят к прямоугольному виду



Потенциальный ящик – одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками


U(x) = {0 0<x<l 
Бесконечность 0>=x, x>=L}
Мкч не может выйти за пределы ящика, граничные условия:
{ ψ (0) = 0
ψ (L)=0}
 Общие выводы:
- спектр энергии мкч в потенциальном ящике дискретен
- минимальная Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике != 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя
- дискретность энергии мкч проявляется только при достаточно малых размерах потенциального ящика и малой массе мкч
- дискретность исчезает при n, стремящемся к бесконечности.</x<l

38. Прохождение частицы над и под потенциальным барьером

39. Частица  в  сферически симметричном поле. Водородоподобные атомы, их энергетические уровни.

ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ - атомы (ионы), состоящие, подобно атому водорода, из ядра и одного электрона. К ним относятся ионы элементов с ат. номером 2, потерявшие все электроны, кроме одного: He+ , Li+2, В+3,. . . Вместе с водородом они образуют простейший изоэлектронный ряд. Уровни энергии (и спектры) В. а. подобны водородным, отличаясь от них масштабом энергий (и частот) переходов в Z2 раз

40 Постулаты Бора. Линейчатые спектры атомов

Постулаты Бора

1. Первый постулат заключается в следующем:

Существуют только некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационарные) орбиты, по которым движется электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса

Ln = mrv = n,n = 1, 2, ... (2)

Здесь m,v - масса и скорость электрона, r - радиус его орбиты. С учетом (1) и (2) находим радиусы стационарных орбит электронов

. (3)

Для атома водорода (Z=1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровским радиусом (а), равен

r1 = a = 0,528 А. (4)

внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (Т = mv2/2) и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (U =-Ze2/(40r)),

 (5)

при выводе формулы (5) учли формулу (1). Подставляя в (5) квантовые радиусы орбит электронов (3), получим, что энергия атома (которая равна энергии электрона, так как ядро атома неподвижно) может принимать только следующие дозволенные дискретные (квантовые) значения

(6)

или

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. (В атомной физике энергия измеряется в электронвольтах, 1 эВ = 1,610-19Дж).

2. Второй постулат устанавливает :

При переходе атома (электрона) из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон с энергией

, (7)

где Еn, Еm - энергии атома (электрона) в стационарных состояниях n и m, которые определяются согласно (6).

Исходя из своих постулатов Бор создал полуклассическую теорию простейшего водородоподобного атома и объяснил линейчатый спектр атом водорода. К водородоподобным атомам относятся атом водорода (z=1), ион гелия Не+ (z=2), ион лития Li++ (Z=3) и др. Для них характерно, что вокруг ядра с зарядом = Ze вращается только один электрон.

 Линейчатый спектр атома водорода

Спектр излучения атомарного водорода состоит из отдельных спектральных линий, которые располагаются в определенном порядке. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн (или частоты) этих линий могут быть представлены формулой. Действительно, из (7) с учетом (6) для водорода (= 1), следует, что

, (8)

где R = 2,07 1016 с -1 - постоянная Ридберга

Учитывая, что 1/ = v/с = /2с и используя (8), найдем

, (9)

где R =1,097410м-1 - называется также постоянной Ридберга.

Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики.В период ее развития (1913 - 1925 г.) были сделаны важные открытия , например, в области атомной спектроскопии.

41. Спектры водородоподобных атомов. Обобщенная формула Бальмера

Спектры излучения и поглощения водородоподобных атомов.

  1.  Согласно третьему постулата Бора и соотношению для энергии атома водорода квант энергии, излучаемый (или поглощаемый) при переходе электрона в атоме из одного стационарного состояния в другое равен:

,
где 
 – номера стационарных состояний, между которыми переходит электрон.

  1.  Подобное соотношение можно записать для длины волны излучения (поглощения) кванта при переходе электрона внутри атома:

,
где 
 –  постоянная Ридберга для длины волны.

  1.  Для частоты излучаемого кванта при переходе электрона внутри атома формула имеет вид:

,
где 
 –  постоянная Ридберга для частоты излучения.

  1.  Для циклической частоты излучения получаем:

,
где 
 –  постоянная Ридберга для циклической частоты излучения.
Приведенные выше формулы верны и для поглощения, и для излучения кванта, в результате чего происходит переход электрона из одного стационарного состояния в другое. Если квантовое число 
, то (n) – номер ближней к ядру орбиты (более низкого энергетического уровня); (к) – номер дальней орбиты (более высокого энергетического уровня), тогда энергия поглощается. Наоборот, когда квант излучается, то электрон переходит с более далекой от ядра орбиты на более близкую, поэтому (n) – номер орбиты, на которую переходит электрон.
Из закономерностей для переходных процессов видно, что частоты (и соответственно длины волн) кванта не любые, а образуют дискретный ряд значений, что подтверждает экспериментальные данные о линейчатых спектрах излучения и поглощения атома водорода и водородоподобных атомов.

Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водорода.

Швейцарский ученый И. Бальмер (1825—1898) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

                                       (209.1)

где R'=1,10107 м–1 — постоянная Ридберга.* Taк как  c/, то формула (209.1) может быть переписана для частот:

                                           (209.2)

где R=R'c=3,291015 с–1 — также постоянная Ридберга.

42. Квантовые числа. Спин электрона. Принцип Паули. Таблица Менделеева.

Спин (от англ. spin — вертеть[-ся], вращение) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.
Принцип Паули
Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:
1. Главное квантовое число n (n = 1, 2 ...).
2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l (l = 0, 1, 2, ... n-1).
3. Магнитное квантовое число m (m = 0, +/-1, +/-2, +/-... +/-l).
4. Спиновое квантовое число ms (ms = +/-1/2 ).
Для одного фиксированного значения главного квантового числа n существует 2n2 различных квантовых состояний электрона.
Один из законов квантовой механики, называемый принципом Паули, утверждает:
В одном и том же атоме не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором квантовых чисел, (т.е. не может быть двух электронов в одинаковом состоянии).
Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атома, т.е. периодической системе элементов Менделеева.
Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов. Он ввел понятие о порядковом номере элемента и получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов.
При этом часть клеток периодической системы осталась незаполненной, т.к. соответствующие им элементы были неизвестны к тому времени. В 1998 г. в России синтезирован изотоп 114-го элемента.
Менделеев предсказал ряд новых элементов (скандий, германий и др.) и описал их химические свойства. Позднее эти элементы были открыты, что полностью подтвердило справедливость его теории. Даже удалось уточнить значения атомных масс и некоторые свойства элементов.
Химические свойства атомов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних (валентных) электронов.
Последовательность заполнения электронных слоев и оболочек в периодической системе элементов Менделеева объясняется квантовой механикой и основывается на 4-х положениях:
1. Общее число электронов в атоме данного химического элемента равно порядковому номеру Z.
2. Состояние электрона в атоме определяется набором 4-х квантовых чисел: n, l, m, ms.
3. Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно удовлетворять минимуму энергии.
4. Заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули.

43. Статистическое описание квантовой системы. Принцип неразличимости тождественных частиц.

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано:

  1.  В волновой механике — волновой функцией,
  2.  В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Эти описания математически эквивалентны. В общем случае квантовое состояние (смешанное) принципиально не может быть описано волновой функцией и должно быть описано матрицей плотности, являющейся неотрицательным самосопряженнымоператором с единичным следом. Квантовые состояния можно интерпретировать как статистические ансамбли с некоторыми фиксированными квантовыми числами.

При переходе от рассмотрения движения одной микрочастицы, в частности одного электрона, к рассмотрению многоэлектронных систем, проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Например, квантовомеханическая система состоит из N электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства - массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики, в частности квантовые числа. Такие частицы называются тождественными частицами.

        Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики, который называется принципом неразличимости тождественных частиц. Согласно этому принципу невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

        Принимая во внимание физический смысл величины , принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

, (8.13)

где x1 и x2 - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц.

        Из выражения (8.13) вытекает, что возможны два случая:

, (8.14)

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. В том случае, когда при перемене частиц местами волновая функция не изменяет знака, она называется симметричной, если же изменяет знак, то носит название несимметричной. Изменение знака волновой функции не означает, что произошло изменение состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не изменяется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии составляет признак данного типа микрочастиц.

        Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы и молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например: электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным спином (например: -мезоны, фотоны), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами.

        Зависимость симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обосновал швейцарский физик В.Паули. Это явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

44. Функции распределения Бозе-Энштейна и Ферми-Дирака.

БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - функция распределения по уровням энергии тождеств. частиц с нулевым или целочисл. спином при условии, что взаимодействие частиц слабое и им можно пренебречь, т. е. ф-ция распределения идеального квантового газа, подчиняющегося Бозе - Эйнштейна статистике.

В случае статистич. равновесия ср. число  таких частиц в состоянии с энергией ei при темп-ре T выше вырождения температурыопределяется Б--Э. р. 

где - набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы,  - хим. потенциал.

Б.- Э. р. соответствует максимуму статистического веса (или энтропии) с учётом неразличимости частиц, отвечающей требованиям бозе-статистики. При темп-ре ниже темп-ры вырождения бозе-газ испытывает Бозе - Эйнштейна конденсацию, при к-рой часть частиц Скапливается в состоянии с нулевым импульсом, а остальные частицы распределены согласно Б.- Э. р. с

Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются статистике Ферми–Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми–Дирака:

.

(10.12)

Здесь F – энергия Ферми, определяемая как значение энергии, при которой все состояния системы частиц, подчиняющихся статистике Ферми–Дирака заняты. Для электронного газа значение энергии Ферми совпадает со значением химического потенциала при T = 0 К и определяется как величина энергии, необходимая для изменения числа частиц в системе на единицу [79]. Также из формулы (10.12) видно, что энергию Ферми можно определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

 

45. Классическая и квантовая теория теплоемкости твердых тел. Фононы

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ ПО ЭЙНШТЕЙНУ

Модель Эйнштейна: кристалл рассматривается как система N атомов, каждыйиз которых является

Квантовым осциллятором.

Колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой.

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры. Согласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (kT<<DE), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.

Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т. е. DEвращ<<DEкол , то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колебательные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости (см. рис. 80).

Функции распределения Ферми — Дирака для T=0 К и T>0 заметно различаются (рис. 312) лишь в узкой области энергий (порядка kT). Следовательно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости. Этим и объясняется отсутствие заметной разницы между теплоемкостями металлов и диэлектриков, что не могло быть объяснено классической теорией.

Как уже указывалось, классическая теория не смогла объяснить также зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, а квантовая статистика решила эту задачу. Так, А. Эйнштейн, приближенно считая, что колебания атомов кристаллической решетки независимы (модель кристалла как совокупности независимых колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов), создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Она впоследствии была развита П. Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмотрел непрерывный спектр частот гармонических осцилляторов).

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией Е=.Фонон есть квант энергии звуковой волны (так как упругие волны — волны звуковые). Фононы являются квазичастицами — элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.

Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных частиц (например, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняющегося статистике Бозе - Эйнштейна, так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.1) для фононов необходимо m положить равным нулю.

Применение статистики Бозе - Эйнштейна к фононному газу — газу из невзаимодействующих бозе-частиц — привело П. Дебая к количественному выводу, согласно которому при высоких температурах, когда T>>TD (классическая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти, а при низких температурах, когда T<<TD (квантовая область), — пропорциональна кубу термодинамической температуры: СV3. В данном случае TD —характеристическая температура Дебая, определяемая соотношением kТD=, где  —предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки. Таким образом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений теплоемкости твердых тел.

Модель квазичастиц — фононов — оказалась эффективной для объяснения открытого П. Л. Капицей явления сверхтекучести жидкого гелия. Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947) российским ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости.

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квантколебательного движения атомов кристалла.

46. Явление сверхпроводимости. Высокотемпературная сверхпроводимость.

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ - явление, заключающееся в том, что у мн. хим. элементов, соединений, сплавов (наз. сверхпроводниками)при охлаждении ниже определ. (характерной для данного материала) темп-ры Тс наблюдается переход из нормального в т. н. сверхпроводящее состояние, в к-ром их электрич. сопротивление пост. току полностью отсутствует. При этом переходе структурные и оптич. (в области видимого света) свойства сверхпроводников остаются практически неизменными. Электрич. и магн. свойства вещества в сверхпроводящем состоянии (фазе) резко отличаются от этих же свойств в нормальном состоянии (где они, как правило, являются металлами) или от свойств др. материалов, к-рые при тех же темп-pax в сверхпроводящее состояние не переходят.

Сверхпроводи́мость — свойство некоторых материалов обладать строго нулевым электрическим сопротивлением при достижении ими температуры ниже определённого значения (критическая температура). Известны несколько сотен соединений, чистых элементов, сплавов и керамик, переходящих в сверхпроводящее состояние. Сверхпроводимость — квантовое явление. Оно характеризуется также эффектом Мейснера, заключающемся в полном вытеснении магнитного поля из объема сверхпроводника. Существование этого эффекта показывает, что сверхпроводимость не может быть описана просто какидеальная проводимость в классическом понимании.

Открытие в 1986—1993 гг. ряда высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) далеко отодвинуло температурную границу сверхпроводимости и позволило практически использовать сверхпроводящие материалы не только при температуре жидкого гелия (4.2 К), но и при температуре кипения жидкого азота (77 К), гораздо более дешевой криогенной жидкости.

Высокотемпературные сверхпроводники (Высокие Tc) — семейство материалов (сверхпроводящихкерамик) с общей структурной особенностью, относительно хорошо разделёнными медно-кислородными плоскостями. Их также называют сверхпроводниками на основе купратов. Температура сверхпроводящего перехода, которая может быть достигнута в некоторых составах в этом семействе, является самой высокой среди всех известных сверхпроводников. Нормальное (и сверхпроводящие) состояния показывают много общих особенностей между различными составами купратов; многие из этих свойств не могут быть объяснены в рамках теории БКШ. Последовательная теория сверхпроводимости в купратах в настоящее время не существует; однако, проблема привела ко многим экспериментальным и теоретическим результатам, и интерес в этой области — не только в достижении сверхпроводимости при комнатной температуре. За экспериментальное открытие первого высокотемпературного сверхпроводника в 1987 была немедленно присуждена Нобелевская премия.

47. Зонная теория твердого тела. Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории. Проводимость по зонной теории.

Используя уравнение Шредингера - основное уравнение динамики в нерелятивистской квантовой механике, - в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например, найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Кван-тово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы - ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле - усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 313).

                                         Рис. 313

По мере «сжатия» нашей модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны,образуется зонный энергетический спектр.

Из рис. 313, на котором показано расщепление энергетических уровней в зависимости от расстояния r между атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» - принадлежат всему твердому телу.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннельный эффект, см. § 221). Это приводит к тому, что среднее время жизни т валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10-15 с (для изолированного атома оно примерно 10-8 с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределенностей DE ~ h/t (см. (215.5)). Следовательно, если естественная ширина спектральных линий составляет примерно 10-7 эВ, то в кристаллах D» 1¸10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных электронов расширяются в зону дозволенных значений энергии.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 313 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее рас положены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10-22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

 

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также запол нена целиком. В общем случае можно говорить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зове проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314.

 

                                      Рис. 314

 

На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутривенный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT » 10-4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10-22 эВ). Таким образом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б)Это имеет место для щелочно-земельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (BeMgCaZn, ...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочно-земельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перераспределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны DE.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (DЕ порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источ ника, способного передать электронам энергию DЕ, и кристалл является полупроводником (рис. 314, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl DЕ = 6 эВ), для полупроводников - достаточно узка (например, для германия D= 0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.

48. Собственные и примесные п/п. Удельная проводимость  собственных и примесных п/п.

Собственная проводимость полупроводников

Полупроводниками являются твердые тела, которые при Т = 0 характеризуются полностью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости сравнительно узкой (DЕ порядка 1 эВ) запрещенной зоной

В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IVи VI групп Периодической системы элементов Менделеева), напримерSiGeAsSe, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элементов различных групп. Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Примером собственных полупроводников могут служить химически чистые GeSe, а также многие химические соединения: InSbGaAsCdS и др.

Проводимость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами - дырками, называется дырочной проводимостью или проводимостью р-типа (от лат. positive - положительный).

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т. е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).

 Эффективная масса - величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамические свойства квазичастиц - электронов проводимости и дырок.                                   

Проводимость полупроводников, обусловленная примесями, называется примесной проводимостью, а сами полупроводники - примесными полупроводниками. Примесная проводимость обусловлена примесями (атомы посторонних элементов), а также дефектами типа избыточных атомов (по сравнению со стехиометрическим составом), тепло выми (пустые узлы или атомы в междоузлиях) и механическими (трещины, дислокации и т. д.) дефектами. Наличие в полупроводнике примеси существенно изменяет его проводимость. Например, при введении в кремний примерно 0,001 ат.% бора его проводимость увеличивается примерно в 10б раз.

49. Фотопроводимость П\П р-n переход. Полупроводниковые диоды.

ФОТОПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Фотопроводимость (см. § 202) полупроводников увеличение электропроводности полу проводников под действием электромагнитного излучения - может быть связана со свойствами как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т. е. когда энергия фотонов равна или больше ширины запрещенной зоны (hv >DE), могут совершаться перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 324, а), что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость,обусловленная как электронами, так и дырками.

 

Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость может возникать и при hv < DE: для полупроводников с донорной примесью фотон должен обладать энергией hv > DED, а для полупроводников с акцепторной примесью - hv ³ DEA. При поглощении света примесными центрами происходит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае полупроводника n-типа (рис. 324, б) или из валентной зоны на акцепторные уровни в случае полупроводника р-типа (рис. 324, в). В результате возникает примесная фотопроводимость, являющаяся чисто электронной для полупроводников n-типа и чисто дырочной для полупроводников р-типа.

Таким образом, если

hv ³ DE для собственных полупроводников,

hv ³ DEП  для примесных полупроводников                                   (244.1)

(DEП  - в общем случае энергия активации примесных атомов), то в полупроводнике возбуждается фотопроводимость. Из (244.1) можно определить красную границу фото проводимости - максимальную длину волны, при которой еще фотопроводимость возбуждается:

l0 =сh/DE для собственных полупроводников,

l0 =сh/DEП   для примесных полупроводников.

Учитывая значения D и DEП   для конкретных полупроводников, можно показать, что красная граница фотопроводимости для собственных полупроводников приходится на видимую область спектра, для примесных же полупроводников - на инфракрасную.

Полупроводниковый диод — полупроводниковый прибор с одним электрическим переходом и двумя выводами (электродами). В отличие от других типов диодов, принцип действия полупроводникового диода основывается на явлении p-n-перехода.

Плоскостные p-n-переходы для полупроводниковых диодов получают методом сплавления, диффузии и эпитаксии.

50. Атомное ядро. Состав и характеристики атомного ядра. Изотопы.

А́томное ядро́ — центральная часть атома, в которой сосредоточена основная его масса (более 99,9 %). Ядро заряжено положительно, заряд ядра определяет химический элемент, к которому относят атом. Размеры ядер различных атомов составляют несколько фемтометров, что в более чем в 10 тысяч раз меньше размеров самого атома.

Атомные ядра изучает ядерная физика.

Атомное ядро состоит из нуклонов — положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов, которые связаны между собой при помощи сильного взаимодействия. Протон и нейтрон обладают собственным моментом количества движения (спином), равным [сн 1] и связанным с ним магнитным моментом.

Атомное ядро, рассматриваемое как класс частиц с определённым числом протонов и нейтронов, принято называть нуклидом.

Количество протонов в ядре называется его зарядовым числом  — это число равно порядковому номеру элемента, к которому относится атом, в таблице Менделеева. Количество протонов в ядре определяет структуру электронной оболочки нейтрального атома и, таким образом, химические свойства соответствующего элемента. Количество нейтронов в ядре называется его изотопическим числом . Ядра с одинаковым числом протонов и разным числом нейтронов называются изотопами. Ядра с одинаковым числом нейтронов, но разным числом протонов — называются изотонами. Термины изотоп и изотон используются также применительно к атомам, содержащим указанные ядра, а также для характеристики нехимических разновидностей одного химического элемента. Полное количество нуклонов в ядре называется его массовым числом  () и приблизительно равно средней массе атома, указанной в таблице Менделеева. Нуклиды с одинаковым массовым числом, но разным протон-нейтронным составом принято называть изобарами.

Как и любая квантовая система, ядра могут находиться в метастабильном возбуждённом состоянии, причём в отдельных случаяхвремя жизни такого состояния исчисляется годами. Такие возбуждённые состояния ядер называются ядерными изомерами

51. Энергия связи ядра. Дефект массы.

Под энергией связи ядра Eсв понимают энергию, которая высвобождается в процессе образования из нуклонов атомного ядра.

Нуклоны связаны в ядра благодаря ядерным силам, которые значительно превосходят силы электростатического отталкивания, действующие между протонами. Для расщепления ядра необходимо преодолеть эти силы, т. е. затратить энергию. Соединение нуклонов с образованием ядра, напротив, сопровождается высвобождением энергии, которую называют энергией связи ядра Eсв.

У различных ядер она имеет разное значение.

Особенно важную характеристику представляет собой энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Как видно из рисунка, наибольшей энергией связи на нуклон обладают изотопы с массовым числом около 50. Очевидно, что выигрыш в ядерной энергии удается достичь только в тех случаях, когда в результате превращения средняя энергия связи на нуклон увеличивается.

Ядерная энергия может выделяться при слиянии легких ядер (реакция синтеза ядер) или расщеплении тяжелых (деление ядер), поскольку в этих процессах увеличивается средняя энергия связи на нуклон.

Взаимосвязь энергии связи ядра и дефекта массы вытекает из соотношения Эйнштейна между энергией и массой E = mc2.

Если

Eсв

энергия связи ядра,

Дж

Δm

дефект массы этого ядра,

кг

c

скорость света в вакууме, 3 • 108

м/с

то

Используя принятые в атомной физике единицы (атомную единицу массы, а. е. м., и единицу энергии МэВ), после подстановки численного значения для с получаем:

Дефекту массы, равному 1 а. е. м., отвечает энергия связи ядра, равная 931.5037 МэВ.

52. Модели ядер. Ядерные силы.

Между составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфические для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами. Они называются ядерными силами.

С помощью экспериментальных данных по рассеянию нуклонов на ядрах, ядерным превращениям и т.д. доказано, что ядерные силы намного превышают гравитационные, электрические и магнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодействий.

Перечислим основные свойства ядерных сил:

1) ядерные силы являются силами притяжения;

2) ядерные силы являются короткодействующими — их действие проявляется только на расстояниях примерно 10–15 м.;

3) ядерным силам свойственна зарядовая независимость: ядерные силы, действующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец, между протоном и нейтроном, одинаковы по величине.

4) ядерным силам свойственно насыщение, т. е. каждый нуклон в ядре взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов.

5) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.

6) ядерные силы не являются центральными, т. е. действующими по линии, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов.

Из большого числа моделей, каждая из которых обязательно использует подобранные произвольные параметры, согласующиеся с экспериментом, рассмотрим две: капельную и оболочечную.

1. Капельная модель ядра (1936; Н. Бор и Я. И. Френкель). Капельная модель ядра является первой моделью. Она основана на аналогии между поведением нуклонов в ядре и поведением молекул в капле жидкости. Так, в обоих случаях силы, действующие между составными частицами — молекулами в жидкости и нуклонами в ядре, — являются короткодействующими и им свойственно насыщение.

2. Оболочечная модель ядра (1949—1950; американский физик М. Гепперт-Майер (1906—1975) и немецкий физик X. Иенсен (1907—1973)). Оболочечная модель предполагает распределение нуклонов в ядре по дискретным энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым нуклонами согласно принципу Паули, и связывает устойчивость ядер с заполнением этих уровней. Считается, что ядра с полностью заполненными оболочками являются наиболее устойчивыми. Такие особо устойчивые (магические) ядра действительно существуют.

53. Закон радиоактивного распада.

Закон радиоактивного распада — физический закон, открытый английскими учеными Эрнестом Резерфордом и Фредериком Содди. По его формуле находят число нераспавшихся атомов радиоактивного вещества:
N = No · 2 -t/T,
где No — число радиоактивных атомов в начальный момент времени,
t — интервал времени,
T — период полураспада, т. е. время, в течение которого распадается половина наличного числа радиоактивных атомов.
Чем меньше период распада, тем меньше времени живут атомы, тем быстрее происходит распад.
Закон радиоактивного распада является статистическим законом.

Радиоактивность — это способность атомов некоторых изотопов самопроизвольно распадаться, испуская излучение. Впервые такое излучение, испускаемое ураном, обнаружил Беккерель, поэтому вначале радиоактивные излучения называли лучами Беккереля. Основной вид радиоактивного распада — выбрасывание из ядра атома альфа-частицы — альфа-распад (см. Альфа-излучение) или бета-частицы — бета-распад (см. Бета-излучение).


54. Альфа и бета распады. Правило смещения.

Альфа- бета- и гамма- распады

Ядра большинства атомов – это довольно устойчивые образования. Однако ядра атомов радиоактивных веществ в процессе радиоактивного распада самопроизвольно превращаются в ядра атомов других веществ. Так в 1903 году Резерфорд обнаружил, что помещенный в сосуд радий через некоторое время превратился в радон. А в сосуде дополнительно появился гелий: (88^226)Ra→(86^222)Rn+(2^4)He. Чтобы понимать смысл написанного выражения, изучите тему о массовом и зарядовом числе ядра атома.

Удалось установить, что основные виды радиоактивного распада: альфа и бета-распад происходят согласно следующему правилу смещения:

Альфа-распад

При альфа-распаде излучается α-частица (ядро атома гелия). Из вещества с количеством протонов Z и нейтронов N в атомном ядре оно превращается в вещество с количеством протонов Z-2 и количеством нейтронов N-2 и, соответственно, атомной массой А-4: (Z^A)X→(Z-2^(A-4))Y +(2^4)He. То есть происходит смещение образовавшегося элемента на две клетки назад в периодической системе.

Пример α-распада: (92^238)U→(90^234)Th+(2^4)He.

Альфа-распад – это внутриядерный процесс. В составе тяжелого ядра за счет сложной картины сочетания ядерных и электростатических сил образуется самостоятельная α-частица, которая выталкивается кулоновскими силами гораздо активнее остальных нуклонов. При определенных условиях она может преодолеть силы ядерного взаимодействия и вылететь из ядра.

Бета-распад

При бета-распаде излучается электрон (β-частица). В результате распада одного нейтрона на протон, электрон и антинейтрино, состав ядра увеличивается на один протон, а электрон и антинейтрино излучаются вовне:   (Z^A)X→(Z+1^A)Y+(-1^0)e+(0^0)v. Соответственно, образовавшийся элемент смещается в периодической системе на одну клетку вперед.

Пример β-распада: (19^40)K→(20^40)Ca+(-1^0)e+(0^0)v.

Бета-распад – это внутринуклонный процесс. Превращение претерпевает нейтрон. Существует также бета-плюс-распад или позитронный бета-распад. При позитронном распаде ядро испускает позитрон и нейтрино, а элемент смещается при этом на одну клетку назад по периодической таблице. Позитронный бета-распад обычно сопровождается электронным захватом.

55. Закономерности альфа и бета распада. Антинейтрино.

Антинейтрино (символ   или  ), нейтральная элементарная частица с нулевой массой и полуцелым спином, являющаяся античастицей по отношению к нейтрино. Существуют 2 типа А., отвечающие 2 типам нейтрино, — электронное   (выступающее в реакциях всегда совместно с электронами или позитронами) и мюонное   (выступающее совместно с мюонами). Подробнее см. Нейтрино.

Нейтри́но (итал. neutrino — нейтрончик, уменьшительное от neutrone — нейтрон) — нейтральная фундаментальная частица с полуцелым спином, участвующая только в слабом и гравитационном взаимодействиях, и относящаяся к классу лептонов. Нейтрино малой энергии чрезвычайно слабо взаимодействуют с веществом: так, нейтрино с энергией порядка 3—10 МэВ имеют в воде длину свободного пробега порядка 1018 м (около 100 св. лет). Также известно, что каждую секунду через площадку на Земле в 1 см² проходит около 6·1010 нейтрино, испущенных Солнцем[1]. Однако никакого воздействия, например, на тело человека они не оказывают. В то же время нейтрино высоких энергий успешно обнаруживаются по их взаимодействию с мишенями

Каждому заряженному лептону соответствует своя пара нейтрино/антинейтрино:

  1.  электронное нейтрино/электронное антинейтрино;
  2.  мюонное нейтрино/мюонное антинейтрино
  3.  тау-нейтрино/анти-тау-нейтрино

56. Природа y излучения и его характеристики
Гамма-распад

Кроме альфа и бета-распада существует также гамма-распад. Гамма-распад – это излучение гамма-квантов ядрами в возбужденном состоянии, при котором они обладают большой по сравнению с невозбужденным состоянием энергией. В возбужденное состояние ядра могут приходить при ядерных реакциях либо при радиоактивных распадах других ядер. Большинство возбужденных состояний ядер имеют очень непродолжительное время жизни – менее наносекунды.

Также существуют распады с эмиссией нейтрона, протона, кластерная радиоактивность и некоторые другие, очень редкие виды распадов. Но превалирующие виды радиоактивности это альфа, бета и гамма-распад.




1. На тему- Характеристика логистической деятельности магазина одежды Trushop Выполнил- Цой Е
2. Лекція 5 Розрахунок єдиного податку
3. Українська національна кухня
4. Гранит підприємство організація Затверджена наказом Мінстату Українивід 21 червня 19
5. автомобиль Ld Smr; По билетам Б200 автомобиль Ld Prior; По билетам Б500 автомобиль Лада Гранта По билетам Б1000
6. Реферат- Теория массового обслуживания с ожиданием
7. 10 неделя
8.  ТЕХНИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ [4] 2
9. Места антидепрессантов в терапии фобий
10. вариантов оформления имеет свои достоинства и недостатки
11. Дубовский педагогический колледж Отчет практиканта Вид практики
12. задание 2 для студентов института дистанционного обучения
13. 4 ОБОРУДОВАНИЕ
14. тематика Гіпербола Визначення 1
15. на тему- ldquo;Епоха Просвітництва та її основні рисиrdquo; Просвітництво це цив
16. Технология производства картофельного крахмала
17. Экономический анализ
18.  Технология разработки программных продуктов 2 1
19. тема права Вопросы- Понятие и признаки системы права Предмет и метод правового регулирования как ос
20. права человека одно из наиболее часто употребляемых сочетаний