Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод1

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05


План учебного занятия № 63.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Тема: Различные виды остаточного члена в формуле Тейлора. Исследование функции с помощью производной.

Цель обучения: Научить применять различные виды остаточного члена  при выполнении приближенных вычислений.

Цель развития: Показать возможные  способы применения нахождения значений функции в приближенных вычислениях.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие пределы,  исследующие поведение функций на отрезке.

Ход занятия:

  1.                                   Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

 Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

                             2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 Доказательство. 

  1.  Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при х<0,

тогда:

2) Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2.

 

Тогда по теореме Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2x1),   x1 < < x2

По условию f()>0, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает.

Теорема доказана.

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически:

    y                y

                                                                                                                               

        x       x

  1.                                                            Точки экстремума.

 Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

 Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. 

 Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

 Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

 По определению:

Т.е. если х0, но х<0, то f(x1) 0, а если х0, но х>0, то f(x1) 0.

 

А возможно это только в том случае, если при х0  f(x1) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция  у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

  1.                                                            Критические точки.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = x                                               Пример: f(x) =   

       y                                                                             y

             x

          x

     

В точке х = 0 функция имеет минимум, но           В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной.                                            максимума, ни минимума, ни произ-

      водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

 Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

 Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

 Доказательство.  

Пусть

По теореме Лагранжа:           f(x) – f(x1) = f()(xx1),     где x < < x1.

Тогда: 1) Если х < x1, то < x1;      f()>0;    f()(xx1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0  или   f(x) < f(x1).

 2) Если х > x1, то > x1   f()<0;    f()(xx1)<0, следовательно

f(x) – f(x1)<0  или   f(x) < f(x1).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

  1.  Найти критические точки функции.
  2.  Найти значения функции в критических точках.
  3.  Найти значения функции на концах отрезка.
  4.  Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

  1.                                          Исследование функции на экстремум с помощью

                                                           производных высших порядков.

Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

 Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.

 Доказательство. 

Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x1 и f(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная  f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.




1. ТЕМП
2. Проект производства работ на строительство жилого здания
3. ТЕМА 13 А Ф КЕРЕНСКИЙ ВО ВРЕМЕННОМ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ ПЛАН 1
4.  Сущность и назначение человека 1 Надпись на пропилеях святилища Лето на Делосе
5. Психология Специализация- Психология управления менеджмента У
6. Создание базы данных «расписание»
7. ВОЗМОЖНОСТИ ФИРМЫ РЕЗЮМЕ
8. 1] I Проблема [1.html
9. Северный Арктический федеральный университет им
10. Витамины.html
11. і Текст курсового проектування друкується на папері формату А4 шрифт 14 Times new romn міжрядковий інтервал 15
12. Бизнес- иерархия приращения капитала
13. Основные принципы социального воспитания и социализации природосообразности центрации социальной отвест
14. Dickens - David Copperfield
15. МЫСЛЬ 1991 в кратком изложении ББК 87
16.  помещения в данном доме не являющиеся частями квартир и предназначенные для обслуживания более одного поме
17. Полномочия нотариальной палаты
18. Расчет структурной надежности системы
19. Постоянное улучшение эрекции
20. Теоретикометодологические основы развития креативности