Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

по теме Интеграл Неопределенный интеграл

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05


Руководство к решению контрольной работы

№2 по теме  «Интеграл»

Неопределенный интеграл.

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

                          2) ;

                          3) .

Пример 1.  Найти   .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

=+3 = .

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

.                                            (2)

Пример 2.  Найти   .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

 .

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании  подведение под знак дифференциала части подинтегральной  функции, основанное на следующей формуле:

.                                       (3)

Пример 3.  Найти .

Решение. Воспользуемся методом  подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

==.

Ответ: .

  1.  Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

.                                             (4)

Обычно за  выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ;      ;      ;     

–  здесь за  u принимают многочлен ,  за   – оставшееся выражение, то есть, например  .

2) ;     ;    

– здесь за  u принимают обратную функцию, например, arcsinbx,  за   – оставшееся выражение,  то есть .

  1.  Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью   называют отношение двух многочленов и , т.е. =. Для интегрирования рациональной дроби  необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:

,

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробь неправильная (), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

    (5)

Для нахождения интегралов вида   , где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), применяют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и    (6)

Формула Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница  для вычисления определенного интеграла имеет вид:

 ,                                (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл.

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому,  применяя формулу (4), а затем формулу НьютонаЛейбница, получаем:  

=.

Ответ: .

 Несобственные интегралы первого и второго рода

Интеграл

                                     (8)

называется несобственным интегралом первого рода.

Интеграл

,                                     (9)

где  a – точка бесконечного разрыва функции называется  несобственным интегралом второго рода.

Если  b – точка бесконечного разрыва функции , то

,                                     (10)

– тоже несобственный интеграл второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Следовательно,  интеграл сходится и равен .

Ответ:  интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 точка разрыва второго рода подинтегральной функции,  поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ:  интеграл расходится.

Вычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК  называется фигура, ограниченная прямыми  x = a,  x= b,  y = 0  и  кривой  y = f(x), где   для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

.                      (11)

Если фигура Ф ограничена в  ДСК линиями x = a,  x= b,  y = f1(x)  и  y = f2(x) где   для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:

     .                (12)

9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором  в ПСК называется фигура, ограниченная лучами  и кривой , где   (рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

.                        (13)

 Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми  x = a,  x= b,

y = 0 и непрерывной кривой  y = f(x), где для ,  вращается вокруг оси  ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

.                                            (14)

Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a,  x= b,

y1 = f1(x)  и  y2 = f2(x) где   для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

.              (15)

 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть плоская кривая  АВ задана уравнением  y = f(x), где .  Если функция f(x) и ее производная  f·′(x)  непрерывны на промежутке  [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:

 .                                     (16)

Примерный вариант и образец выполнения

контрольной работы №2

Задача 1.  Решение задачи 1.     

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

 

.

Ответ: .

Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

, или  .

Неопределенные коэффициенты  А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты  А, В, С можно найти другим способом подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):

Из первого уравнения получим: . Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

.

Таким образом,  

Переходим к интегрированию:

.

Здесь использовано: ,

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: .

 

Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем:

.

Ответ: .

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а),      б) .

Задача 2. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры:

а)  ограниченной в ДСК линиями l1:  и  l2: .

б)  ограниченной в ПСК линией  l: .

Сделать чертежи.

Решение задачи 2.

а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения:  x = 1,  x = 3.

Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, что на промежутке [1; 3].

Таким образом, используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

.

Ответ:  единиц площади.

б) Для построения кривой  в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .

0

π/4

2π/4

3π/4

π

5π/4

6π/4

7π/4

2π

13

12,7

12

11,3

11

11,3

12

12,7

13

Построим чертеж в ПСК (рис. 7).

           Так как фигура ограничена кривой,

заданной в полярной системе координат, то

площадь фигуры, ограниченной заданной линией,  вычислим по формуле (13):

.

Для получаем:

 .

Ответ: единицы площади.

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла  объем тела, полученного  вращением вокруг оси OX  фигуры, ограниченной линиями

l1:  и  l2: y = 6x. Сделать чертеж.

Решение задачи 3.

Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми  l1 и  l2 нужно найти точки их пересечения, т.е. решить систему: .  Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: .

Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8) можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):

.

Ответ:  единиц объема.

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому

,

следовательно, интеграл сходится и равен .

Здесь использовано: .

Ответ: .

 б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, поэтому

,

следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: .




1. Реферат- Мелкие ракообразные- водяной ослик, ракушковые рачки, дафнии, циклопы
2. А ПОДВЯЗКА ЛОКОМОТИВОВ На оптимальное число вагонов в составах разборочных грузовых поездов значите
3. Проголошення незалежності України та розгортання державотворчих процесів на початку 1990-х років
4. Нору Глава 5.
5. тематика 27 Физика 37 Технология газовой сварки 309 Биология
6. зем 03 Сільськогосподарські землі 04 сільськогосподарські угіддя05 рілля06 перелоги07 багаторічні насадженн
7. место вскрытия брюшной полости должно соответствовать проекции органа на кожу брюшной стенки и представля
8. Роль Ришелье в истории Франции
9. РЕФЕРАТ Причины и последствия употребления нецензурной лексики ученика 10А класса Иванченко Се
10. на тему- НЕОСТОРОЖНОСТЬ И ЕЕ ВИДЫ
11. трнаспортные средства- мостовая кранбалка для подъема и транспортировки пресс гидравлический станок ИС2
12. правовых актов. Специфика власти и социального регулирования в первобытном обществе
13. Профессиональная этика Зачет включает- 1 беседу по общетеоретическим вопросам курса; 2 выявление знани
14. 20 року Впізнання почато о ldquo;rdquo; год
15. Технология принятия управленческих решений
16. Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д
17. Экологией - наука о растительном мире - наука о человеке - наука о Земле - наука о животном мире
18. Курсовая работа- Излучение Вавилова-Черенкова
19. це загальна назва для цілого набору прийомів і способів створення різних структур нанометрових розмір
20.  Предмет і завдання педагогіки вищої школи категоріальний апарат Педагогіка вищої школи галузь педагог