Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Распределение Стъюдента и его использование при построении доверительных интервалов СОДЕРЖАНИЕ ВВЕ

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05


«Распределение Стъюдента и его использование при построении доверительных интервалов»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….…3

1. Распределение Стъюдента…………………………………………………4

  1.1.Сущность распределения Стъюдента………………………………….4

  1.2.Использование распределение Стъюдента при построении доверительных интервалов…………………………………………………...7

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………….21

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………….27

ВВЕДЕНИЕ

Целью работы является закрепление теоретических знаний по основам математической статистики, а также приобретение практических навыков в использовании методов математической статистики при решении прикладных задач.

Для достижения цели предполагается выполнить следующие задачи:

1) раскрыть понятие распределение Стъюдента и рассмотреть примеры его использования на практике;

2) применить теоретические знания в практическом задании.

Структура данной курсовой работы представляет собой введение, два раздела, заключение и список литературы.

Первый раздел работы – это теоретический материал по теме «распределение Стъюдента» и его использование при построении доверительных интервалов.

Математическая статистика – наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.

Проверка гипотез – система приёмов в математической статистике предназначенных для проверки соответствия опытных данных некоторой статистической гипотезе. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним тесно связано распределение Стьюдента (t-распределение).

1. Распределение Стъюдента

1.1. Сущность распределения Стъюдента

Распределения, близкие к нормальному, играют большую роль в проверке статистических гипотез. Рассмотрим одно из них более подробно.

В выборках небольшого объема (n < 30) характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из совокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых  выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В 1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить (t) и доверительную вероятность . При (n > 100), таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 < n < 100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде  случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, например, производственный  и  экономический  эксперимент, связанный  с  экономическими затратами, проводится на небольшом числе испытаний.

Распределение Стьюдента (t-распределение) характеризует распределение случайной величины

, где u0, u1, …, uk взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией. Аргумент t не зависит от дисперсии слагаемых. Функция плотности распределения Стьюдента

.

Здесь   – гамма-функция (интеграл Эйлера). Отсюда , при x0плотность распределения Г α,λ, где α, λ – положительные параметры.

Величина k характеризует количество степеней свободы. Плотность распределения f(t) – симметричная функция, и при большом числе степеней свободы похожа на нормальное распределение.

Область изменения аргумента t от –∞ до ∞. Математическое ожидание и дисперсия равны 0 и k/(k–2) соответственно, при k >2. По сравнению с нормальным распределение Стьюдента более пологое, оно имеет меньшую дисперсию. Это отличие заметно при небольших значениях k, что следует учитывать при проверке статистических гипотез (критические значения аргумента распределения Стьюдента превышают аналогичные показатели нормального распределения). Таблицы распределения содержат значения для односторонней  и двусторонней    критической области (см. Приложение 1).

Значения критических точек Z(a) распределения Стъюдента, применяемых для проверки статистических гипотез представлены в приложении (см. Приложение 1).

Рис. П.1. Односторонняя критическая область

 

Рис. П.2. Двусторонняя критическая область

Таким образом, распределение Стьюдента применяется для описания ошибок выборки при k £ 30. При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному,  для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов.

1.2. Использование распределения Стъюдента при построении доверительных интервалов

Распределение Стьюдента (t-распеределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, а именно тогда, когда  среднее квадратическое отклонение неизвестно и подлежит определению по опытным данным. Данное распределение  применяется при построении доверительных интервалов, когда число измерений невелико (k £ 30). Применение же нормального закона распределения в этом случае приведет к неоправданному сужению доверительного интервала.

Докажем данные утверждения приведя примеры построения доверительных интервалов для оценки математического ожидания.

1. При известном средне квадратическом отклонении  σ 

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение  этого распределения равное . Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью . Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину (она изменяется от выборки  к выборке), выборочные значения признака как одинаково распределенные независимые случайные величины с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением . Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами . Потребуем, чтобы выполнялось равенство

Тогда имеем 

Обозначим

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2Ф(t)=γ, или Ф(t) = γ/2; по таблице функции Лапласа (см. Приложение 3) находят аргумент t, которому соот-ветствует значение функции Лапласа, равное γ/2.

Число стандартных отклонений, содержащихся на отрезке между а (математическое ожидание Х) и х,  будет иметь стандартное нормальное распределение, так как из нормально распределенной величины выборочной средней  вычитается постоянная и полученная разность делится на постоянную. Полагая , где 1 есть заданная доверительная вероятность, можно построить доверительный интервал для оценки значения а.

Пример 1.2.1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины по выборочным средним, если n = 36, =3 и задана надежность =0,95.

Из соотношения 2Ф(t)= 0,95 , откуда Ф(t) = 0,475 по таблице  найдем t:      t =1,96. Точность оценки

Доверительный интервал .

Пример 1.2.2. Найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность =0,3 и надежность = 0,975, если случайная величина распределена нормально и =1,2. 

Из соотношения 2Ф(t)= 0,975 , откуда следует Ф(t) = 0,4875.

По Приложению 2  найдем t:      t =2,24.

Из равенства выразим n: , подставим значения и получим минимальный объем выборки  n =81.

Поправка на конечность генеральной совокупности

На практике часто ограниченная, но большая по объему совокупность теоретически рассматривается как бесконечная. При этом предполагается, что эта гипотетическая совокупность формируется под постоянным влиянием тех же факторов, что определяли состав, свойства и структуру действующей ограниченной совокупности.

Общая формула для построения доверительных пределов в случае бесконечной генеральной совокупности и известного значения σ имеет вид  Объем выборки п при этом не оказывает существенного влияния на адекватность результатов оценки, полученных на основе данных формул.

Ввиду бесконечности генеральной совокупности можно считать, что случайные выборки извлекаются из нее по принципу "с возвращением" (повторная выборка). Однако на практике часто требуется проводить статистические заключения для ограниченной генеральной совокупности, имеющей заданный объем N. В этом случае имеет место отбор элементов в выборку по принципу "без возвращения элементов в генеральную совокупность" (бесповторная выборка). Это в свою очередь влияет на величину стандартной ошибки средней. Она уменьшается и принимает вид .  Корректирующий множитель         называется поправкой на конечность генеральной совокупности. Его включение в формулу для вычисления стандартной ошибки средней является обязательным. Однако если объем выборки п мал по сравнению с размером генеральной совокупности N, значение корректирующего множителя будет близко к единице и он не повлияет на стандартную ошибку средней. При расчетах во всех случаях, когда n  0,05N, корректирующий множитель полагается равным единице. Он учитывается, когда n>0,05N, т. е. объем выборки составляет более 5% от объема генеральной совокупности.

Общая формула для доверительных пределов при условии n>0,05N будет иметь вид  

Пример 1.2.3 Компания производит определенный тип электрических приборов. Ранее были проведены исследования сроков службы приборов, которые показали, что стандартное отклонение σ для большой партии приборов составляет 50 ч. Партия произведенных приборов имеет размер N = 100. Из произведенной партии была извлечена выборка объемом п = 10 приборов.

Объем выборки п=10 превышает 5% объема генеральной совокупности: n/N= 0,1>0,05. Поэтому при определении доверительных пределов следует учитывать поправку на конечность генеральной совокупности. Вычислим стандартную ошибку средней:

час.

Найдем доверительные пределы (измеряемые в часах), соответствующие доверительным вероятностям 90, 95 и 99%:

364± 1,6415,03=384 ±25  или (359, 409);

364 ±1,9615,03 = 384 ±29  или (355, 413);

364 ±2,5815,03 = 384 ±39    или (345, 423).

2) При неизвестном σ 

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а с помощью доверительных интервалов.

В этом случае σ заменяется соответствующей статистикой, т. е. выбо-рочным стандартным отклонением s. Полагая, что объем выборки постоянный, знаменатель , уже не будет постоянным, так как значение  не является одинаковым для всех различных выборок заданного объема. Поэтому величину Z в этом случае нельзя считать нормально распределенной. Она подчиняется другому закону распределения.

По данным выборки можно построить случайную величину:

   ,  где   выборочная средняя, s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с k =n –1 степенями свободы. Поскольку плотность распределения Стьюдента

 

где , явным образом не зависит от а и σ, то можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (–tγ , tγ ), учитывая четность плотности распределения, следующим

образом:              

Отсюда получаем: tγs/.

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал (–tγs/,+tγs/), покрывающий, неизвестный  параметр а с надежностью γ. По специальной таблице по заданным п и γ можно найти tγ (см. Приложение 2).

Пример 1.2.4 Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99.

Решение. Из таблицы находим, что tγ(γ=0,99; п=25)=2,797. Тогда  , или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который попадает неизвестный параметр а с надежностью 0,99.

Пример 1.2.5 Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Объем выборки n16, выборочная средняя =20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Найдем tγ . Пользуясь таблицей, по γ = 0,95 и n =16 находим tγ =2,13. Найдем доверительные границы: (–tγs/, +tγs/), где

tγs/=2,130,8/4=0,426 Итак, с надежностью 0,95 неизвестный  параметр а  заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626.

Степень отклонения t-распределения от нормального связана с объемом выборки п, для которой вычисляется величина стандартного отклонения s. Чем меньше объем выборки, тем больше отклонение от нормальности.

При неограниченном возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному закону. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением, для построения доверительных интервалов можно пользоваться распределением Z, а в качестве стандартной ошибки средней рассматривать статистику. Тогда для бесконечной генеральной совокупности формула вычисления доверительных пределов с доверительной вероятностью 1–α имеет вид  или .

В случае конечной генеральной совокупности объема N при условии n/N>0,05 следует учитывать поправку на конечность генеральной совокупности: .

Однако для малых выборок (n < 30), в особенности для малых значений n, замена распределения нормальным приводит к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, если n = 5 и = 0,99, то, пользуясь распре-делением Стьюдента, найдем tγ = 4,6, а используя функцию Лапласа, найдем tγ = 2,58, т. е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.

Пример 1.2.6 Найти доверительный интервал для математического ожидания с надежностью  γ =0,95, если дисперсия неизвестна. Объем выборки составляет n = 100. Среднее выборочное значение = 30,  s=8,7. Объем заданной выборки достаточно большой, n100. Поэтому можно использовать как распределение Стьюдента, так и нормальное распределение. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1 (нормальный закон распределения). Будем полагать, что  t, а = s=.8,7 По заданной надежности γ = 0,95 найдем, с помощью таблицы (см. Приложение 3), параметр t: t=2Ф(t)=0,95, откуда Ф(t)=0,475,  t=1,96.  Получим доверительный интервал для математического ожидания

,       .

Проведем вычисления и получим, что (28,29<a<31,71  Таким образом, интервал (28,29; 31,71) покрывает параметр m =M(X)=a  с надежностью γ = 0,95 при неизвестной дисперсии.

Вариант 2 (закон распределения Стьюдента). По заданной надежности γ = 0,95 найдем, с помощью таблицы (см. Приложение 2), параметр  t (γ; n).  t (0,95;100)=1,984.  Запишем доверительный интервал для математического ожидания

,     .

Проведем вычисления и окончательно получим, что 28,274<a<31,726 . Таким образом, интервал (28,274; 31,726)  покрывает параметр m M(X) =a  c надежностью  γ = 0,95  при неизвестной дисперсии.

Можно заметить, что если значение s близко к σ, то доверительный интервал, полученный с применением закона распределения Стьюдента, будет более широким, чем доверительный интервал, полученный с применением формул нормального распределения, так как tγ >t. Это объясняется тем, что распределение Стьюдента применяется при выборках малых объемов, содержащих недостаточный объем информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При проверке статистических гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним также связано распределение Стьюдента. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента Z(a ).

При k >100 данное распределение практически соответствует нормальному, для 30 < k < 100 различия между распределением Стьюдента и нормальным распределением составляют несколько процентов.

Распределение Стьюдента (t-распеределение) имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, и при построении доверительных интервалов для М(Х), а именно тогда, когда  среднее квадратическое отклонение σ неизвестно и подлежит определению по опытным данным.

2. Статистическая обработка результатов наблюдения и проверка гипотезы о нормальном распределении

Задание 8

Изучался рост объема количества заказов на товар за год в 100 однотипных фирмах, при этом были получены следующие результаты  в процентах:

152

148

158

129

155

165

129

137

152

158

155

164

171

157

152

145

143

155

151

147

142

136

130

139

154

147

157

164

161

154

145

130

135

160

151

131

134

139

151

157

131

133

139

153

160

164

170

177

169

174

169

175

156

153

145

149

146

138

133

150

132

176

138

144

139

146

140

150

141

156

176

140

173

144

153

156

163

168

150

174

146

158

140

163

155

167

162

149

162

148

166

153

168

172

158

159

177

162

156

145

 

Провести статистическую обработку данных результатов

  1.  Составить интервальный ряд распределения, определив оптимальную длину интервала .
  2.  Построить гистограмму относительных частот.
  3.  Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и среднее квадратичного отклонения  (С.К.О.)
  4.  Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить, не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным с уровнем значимости
  5.  Построить доверительные интервалы для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью)   и 
  6.  Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, и приведя в соответствие масштабы.

Решение

1. Составим интервальный ряд распределения, определив оптимальную длину интервала  h .

Проанализировав количество заказов на товар за год в 100 однотипных фирмах, находим:

Объем выборки n = 100,

xmin = 129,     xmax = 177.

Найдем hопт:

hопт =  

Следовательно, выбираем длину интервала h = 6   ().

Тогда  

(Можно сдвигать на величину ).

2. Построим гистограмму относительных частот.

. 

3. Вычислим оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

N

[xi-1; xi)

xi*

ni*

ni*xi*

ni*(xi*-xB)2

N

[xi-1; xi)

xi*

ni*

ni*xi*

ni*(xi*-xB)2

1

[126;132)

129

6

774

24,3

3542,94

1,8692

0,0694

3,20

11,24  

2

[132;138)

135

7

945

18,3

2344,23

1,4077

0,1476

6,81

7,19

3

[138;144)

141

12

1692

12,3

1815,48

0,9462

0,2541

11,73

12,28

4

[144;150)

147

15

2205

6,3

595,35

0,4846

0,3555

16,41

13,71

5

[150;156)

153

19

2907

0,3

1,71

0,0231

0,3989

18,41

19,61

6

[156;162)

159

15

2385

5,7

487,35

0,4385

0,3621

16,71

13,46

7

[162;168)

165

11

1815

11,7

1505,79

0,9000

0,2661

12,28

9,85

8

[168;174)

171

8

1368

17,7

2506,32

1,3615

0,1582

7,30

8,77

9

[174;180)

177

7

1239

23,7

3931,83

1,8231

0,0761

3,51

13,95

Σ

 

 

100

Σ1 = 15330

 

Σ2 =16731,00

 

 

 

Σ3=

110,07

является серединой i -го  интервала.

  выборочное среднее.

  исправленная оценка дисперсии. Тогда    исправленное среднеквадратическое отклонение.

Вычислим .

4. Используя критерий согласия (критерий Пирсона) выясним, не противоречит ли принятая гипотеза о нормальном виде закона распределения опытным данным с уровнем значимости α =0,05.

Здесь  надо находить по таблице (см. Приложение 1).

Значения npi  находим по формуле npi = .

Находим;

где   Тогда 

Имеем 10,07 < 12,6, т.е. . Это значит, что принятая гипотеза о нормальном законе распределении не противоречит опытным данным.

5. Построим доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью (доверительной вероятностью) γ = 0,95 и γ = 0,99.

n = 100, = 153,3 ,    s = 13,    γ = 0,95,    γ = 0,99

Доверительные интервалы для математического ожидания :

  1.  с надежностью γ = 0,95

 t (0,95;100) = 1,984 – табличное значение (см. Приложение 3).

Далее  определяем .

Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 равен , т.е.

или

– доверительный интервал с надежностью 0,95

  1.  с надежностью γ2 = 0,99

 t (0,99;100) = 2,627 – табличное значение (см. Приложение 3).

Далее  определяем .

Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,99 равен , т.е.

153,3 – 3,415 < a < 153,3 +3,415. Следовательно

149,885 < a < 156,715 – доверительный интервал с надежностью 0,99.

Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения:

  1.  с надежностью γ = 0,95:

q1 = q (0,95;100) = 0,143– табличное значение (см. Приложение 4).

Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,95 равен     s(1 – q1) < σ < s (1 + q1), т.е.

13(1 – 0,143) < σ < 13(1 + 0,143) или

11,141 < σ < 14,859 доверительный интервал среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95.

4) q2 = q (0,99;100) = 0,198 – табличное значение

(см. Приложение 4). Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью γ = 0,99 равен s (1 – q2) < σ < s (1 + q2), т.е.

13(1 – 0,198) < σ < 13(1 + 0,198) или

10,426 < σ < 15,574 доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью 0,99.

6. Построим кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, и приведя в соответствие масштабы. Имеем

 

  1.   
  2.  , где 
  3.  0,004,  где

  1.  0,  где

.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Критические точки распределения Стьюдента

k

Уровень значимости a (двусторонняя критическая область)

0,10

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

1

6,314

12,7

31,821

63,7

318,3

637,0

2

2,920

4,30

6,965

9,92

22,33

31,6

3

2,353

3,18

4,541

5,84

10,22

12,9

4

2,132

2,78

3,747

4,60

7,17

8,61

5

2,015

2,57

3,365

4,03

5,89

6,86

6

1,943

2,45

3,143

3,71

5,21

5,96

7

1,895

2,36

2,998

3,50

4,79

5,40

8

1,860

2,31

2,896

3,36

4,50

5,04

9

1,833

2,26

2,821

3,25

4,30

4,78

10

1,812

2,23

2,764

3,17

4,14

4,59

11

1,796

2,20

2,718

3,11

4,03

4,44

12

1,782

2,18

2,681

3,05

3,93

4,32

13

1,771

2,16

2,650

3,01

3,85

4,22

14

1,761

2,14

2,624

2,98

3,79

4,14

15

1,753

2,13

2,602

2,95

3,72

4,07

16

1,746

2,12

2,583

2,92

3,69

4,01

17

1,740

2,11

2,567

2,90

3,65

3,96

18

1,734

2,10

2,552

2,88

3,61

3,92

19

1,729

2,09

2,539

2,86

3,58

3,88

20

1,725

2,09

2,528

2,85

3,55

3,85

21

1,721

2,08

2,518

2,83

3,53

3,82

22

1,717

2,07

2,508

2,82

3,51

3,79

23

1,714

2,07

2,500

2,81

3,49

3,77

24

1,711

2,06

2,492

2,80

3,47

3,74

25

1,708

2,06

2,485

2,79

3,45

3,72

26

1,706

2,06

2,479

2,78

3,44

3,71

27

1,703

2,05

2,473

2,77

3,42

3,69

28

1,701

2,05

2,467

2,76

3,40

3,66

29

1,699

2,05

2,462

2,76

3,40

3,66

30

1,697

2,04

2,457

2,75

3,39

3,65

40

1,684

2,02

2,423

2,70

3,31

3,55

60

1,671

2,00

2,390

2,66

3,23

3,46

120

1,66

1,98

2,36

2,62

3,17

3,37

1,64

1,96

2,33

2,58

3,09

3,29

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

0,0005

Уровень значимости a (односторонняя критическая область)

Приложение 2

Таблица значений функции распределения Стьюдента t = t (,n)

Приложение 3

Таблица значений функции Лапласа

x

Сотые доли x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,0000

0040

0080

0120

0160

0199

0239

0279

0319

0359

0,1

0398

0438

0478

0517

0557

0596

0636

0675

0714

0753

0,2

0793

0832

0871

0910

0948

0987

1026

1064

1103

1141

0,3

1179

1217

1255

1293

1331

1368

1406

1443

1480

1517

0,4

1554

1591

1628

1664

1700

1736

1772

1808

1844

1879

0,5

1915

1950

1985

2019

2054

2088

2123

2157

2190

2224

0,6

2257

2291

2324

2357

2389

2422

2454

2486

2517

2549

0,7

2580

2611

2642

2673

2704

2734

2764

2794

2823

2852

0,8

2881

2910

2939

2967

2995

3023

3051

3078

3106

3133

0,9

3159

3186

3212

3238

3264

3289

3315

3340

3365

3389

1,0

0,3413

3438

3461

3485

3508

3531

3554

3577

3599

3621

1,1

3643

3665

3686

3708

3729

3749

3770

3790

3810

3830

1,2

3849

3869

3888

3907

3925

3944

3962

3980

3997

4015

1,3

4032

4049

4066

4082

4099

4115

4131

4147

4162

4177

1,4

4192

4207

4222

4236

4251

4265

4279

4292

4306

4319

1,5

4332

4345

4357

4370

4382

4394

4406

4418

4429

4441

1,6

4452

4463

4474

4484

4495

4505

4515

4525

4535

4545

1,7

4554

4564

4573

4582

4591

4599

4608

4616

4625

4633

1,8

4641

4649

4656

4664

4671

4678

4686

4693

4699

4706

1,9

4713

4719

4726

4732

4738

4744

4750

4756

4761

4767

2,0

0,4772

4778

4783

4788

4793

4798

4803

4808

4812

4817

2,1

4821

4826

4830

4834

4838

4842

4846

4850

4854

4857

2,2

4861

4864

4868

4871

4875

4878

4881

4884

4887

4890

2,3

4893

4896

4898

4901

4904

4906

4909

4911

4913

4916

2,4

4918

4920

4922

4925

4927

4929

4931

4932

4934

4936

2,5

4938

4940

4941

4943

4945

4946

4948

4949

4951

4952

2,6

4953

4955

4956

4957

4959

4960

4961

4962

4963

4964

2,7

4965

4966

4967

4968

4969

4970

4971

4972

4973

4974

2,8

4974

4975

4976

4977

4977

4978

4979

4979

4980

4981

2,9

4981

4982

4982

4983

4984

4984

4985

4985

4986

4986

3,0

0,49865

3,1

0,49903

3,2

0,49931

3,3

0,49952

3,4

0,49966

3,6

0,499841

3,8

0,499928

4,0

0,499968

4,5

0,499997

5,0

0,4999997

0,5

ЛИТЕРАТУРА

  1.  Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2004. – 479 с.: ил.
  2.  Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. – 405 с.: ил.
  3.  Сулицкий В. Н. Методы статистического анализа в управлении: Учеб. пособие. – М.: Дело, 2002. – 520 с.
  4.  Математика: часть Ι, ΙΙ, ΙΙΙ: учебно-методический комплекс для специальностей «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» / авторы-сост.: В. А. Ковалев, В. Н. Сулицкий. – М.: Моск. городск. ун-т управления Правительства Москвы, 2007. – 108 с.
  5.  Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 573 с.
  6.  Фадеева Л.Н., Жуков Ю.Н., Лебедев А.В. Математика для экономистов: Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения. – М.: Эксмо, 2006. – 336 с.




1. обязательные поставки так называемому центру символом которого выступает Москва не зависеть от центра в
2. реферату- Життєвий і творчий шлях Василя СтефаникаРозділ- Українознавство Життєвий і творчий шлях Василя С
3. Налоговая полиция
4. Эволюция систем органов живых существ.html
5. лекция медицинских рефератов историй болезни литературы обучающих программ тестов.4
6. Острый абсцесс и гангрена легких
7. Участие прокурора в гражданском процессе.
8. Философия кошки Евгений Дмитриевич Елизаров Философия кошки Родоначалие жанра Д
9. Анализ финансового состояния и устойчивости предприятия.html
10. Лабораторная работа 11 Линейные динамические структуры Построить стек целых чисел
11. Вариант 1 Описание задания Колл
12. ТЕМА 8. Управлінський контроль Поняття та процес контролю
13. Реферат Сущность и динамика глобальных экономических проблем современности
14. лекциями некоторые самые большие и самые важные в мире
15. Тренерское поведение
16. техническому оборудованию Гигиеническая характеристика основных технологических процессов и производст.
17. варианта расположения с
18. Юбилейный представляют новогоднюю сказку Тайна Острова Сокровищ Герои в исполнении актрисы театра и
19. Общая аэрокриотерапия больных бронхиальной астмой
20. І ПИРОГОВА ldquo;Затвердженоrdquo;