Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Вариант ’ 4 1. Найти область определения функции -.html

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-01-17


Вариант № 4

1.  Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Найдём корни знаменателя: . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как  всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .                             

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 2:   Последовательно строим сначала , затем  («сжимая» график в два раза по оси ОХ), затем сдвигаем график влево по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр t:  или . Функция определена только для , так как  всегда. Это часть параболы, вершина которой находится в точке (1/2, -1/4), а ветви направлены вверх. Ответ: график представлен на рисунке.  

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при  или . Строим график, изменяя φ в этих пределах. Получим окружность. Можно строить график другим способом. Так как , то . Кроме того, .

Или  или . Это уравнение окружности. Его можно привести к канонической форме: .

Ответ: график представлен на рисунке.

6. Вычислить предел:  (неопределённость вида (∞/∞)).

Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:

. Ответ: .

7. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое по отношению к числителю выражение:  или . Ответ: .

9. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

     Перейдём к синусу в знаменателе: .

Далее, .

Воспользуемся формулой :

.Ответ: .

10. Вычислить предел:  (неопределённость вида (1)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел:  (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентностью (при ): ~sin(2x)~2x. Получим:

. Cделаем замену переменной: . Тогда

. Следовательно,

. Далее, ~t. Таким образом,

. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме x=1. В точке x=1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:  . Таким образом, в точке x=1 имеют место разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

 

. Таким образом, в точке x=2 функция непрерывна, а в точке x=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=1 равна (-1).

Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим Δx на x-x0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но arctg(t) ~t, а 2t-1~tln(2) при t→0 . Поэтому

, так как  при любых значениях x. Ответ:

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: .

Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y:

 Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой  имеют вид  и , где  и   - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные  и :   . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или  и .

Ответ:

17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала:  .

По определению дифференциала  или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ: 

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:  .

Это неопределённость вида (1). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:  .

Это неопределённость вида (∞-∞). Здесь  ~x и ~x, следовательно,

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию  в окрестности точки x0 с точностью до :  .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:  

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 0) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: . 

По формуле Тейлора .Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:    . Отсюда следует, что прямые  и  являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Следовательно, прямая  является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.

3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Кроме того, производная терпит разрывы в точках  и . При  производная , следовательно, функция убывает, при  производная  - функция возрастает, при  производная , следовательно, функция убывает. Точка  является точкой максимума функции, причём .    При  производная , следовательно, функция снова возрастает. 6. . В точках  и  вторая производная равна нулю. Кроме того, в точках  и  вторая производная не существует. Имеем пять интервалов: в интервале   производная  - интервал вогнутости, в интервале , в интервале   и в интервале производная  - интервалы выпуклости, в интервале   производная  - интервал вогнутости. Точки  и  являются точками перегиба. 7. При   функция равна . Точка (0, 3/4) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (0, 3/4) - максимум, точки перегиба  и .




1. вариант изделия его конструктивные элементы материалы анализируют образцы изделий и выполняют чертежи
2. Расчет заземления и кондиционирования
3. тема Какая система называется автоматической Дайте определение понятию система
4. варианты ответа 1 Когда возникли налоги с разделе.
5. на тему- Изучение мнения учащихся о деятельности СНО ВШНИ Научноисследовательский и творческий союз студе
6. МІСЦЕВІ ФІНАНСИ
7. Раскройте различия в характеристике монополии в теориях Дж
8. ГЦПСП главной медсестрой
9. Количественные ~ вес рост объем головного мозга и т
10. Нравственное воспитание в ДОУ
11. Профилактика заболеваний, передающихся половым путем (ЗППП)
12. ТБО делятся также на отбросы биологические ТО и собственно бытовой мусор небиологические ТО искусствен
13. На тему- Финансовый контроль зарубежных стран на примере КНР
14. Правовое обеспечение инновационной деятельности Основная цель приобретение студентами навыков-
15. Цитоскелет сигнализирует
16. Toc6290287 ws not found in this document
17. Производственная программа на примере ООО Тихий Дон
18. Реферат- Путешествие по горному Крыму
19. ГК РФ под договором транспортной экспедиции понимается такой договор по которому одна сторона экспедитор
20. тема органов движения состоит их костей мышц и связок