Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препод.html

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-01-17

Акция
Закажите работу сегодня со скидкой до 5%
Бесплатно
Узнать стоимость работы
Рассчитаем за 1 минуту, онлайн

0

План учебных занятий № 109, 110, 111.

дисциплины «Высшая математика»

Специальность  2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий

Группа     

Преподаватель Моисеева Т.И.

Раздел программы   Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема:   Линейное неоднородное  дифференциальное уравнение     (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Цель обучения: Сформировать понятие о  неоднородных дифференциальных уравнениях со специальной правой частью.

Цель развития: Показать возможные  способы решения ЛНДУ со специальной правой частью.

Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.

Тип занятия: Урок изучения нового материала.

Вид занятия:  Урок-лекция.

Межпредметные связи: Науки, изучающие применение решения ЛНДУ со специальной правой частью.

Ход занятия:

  1.  Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида

С учетом обозначения   можно записать:

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

 Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 Доказательство.  Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

 Пусть  - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

 Далее покажем, что сумма является общим решением неоднородного уравнения.

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

 Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Пример. Решить уравнение

Решаем линейное однородное уравнение

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решим эту систему:

Из соотношения  найдем функцию А(х).

Теперь находим В(х).

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

Окончательный ответ:

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

  1.       Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I.  Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.  

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

 

II.  Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где  у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

и

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

  1.  Для функции f1(x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е.    

Итого:

  1.  Для функции f2(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f2(x), получаем:

Таким образом,

Итого:

Т.е. искомое частное решение имеет вид:

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

 Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

 Пример. Решить уравнение  

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

 Определение. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

 Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

                                                                                                      (1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

 Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции   …  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки  этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям

 Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.

  1.               Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

                                                                                                         (2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, uрешения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = constтоже являются решениями этой системы.

2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде:

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

 В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

 Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

 Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k1:   

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k2:   

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

 

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у =2x + 2y  из второго уравнения.

 Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

 Обозначив , получаем  решение системы:

Пример. Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле

Общее решение неоднородного уравнения:

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

 Пример. Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

  1.  k = -1.

Если принять = 1, то решения в этом случае получаем:

  1.  k2 = -2.

Если принять = 1, то получаем:

  1.  k3 = 3.

Если принять = 3, то получаем:

Общее решение имеет вид:

Далее при изучении ДУ следует теория устойчивости, мы ее рассматривать не будем.




1. тема культуры здоровья передаваемая по наследственной цепочке из века в век
2. а МНОГИЕ ЛЮДИ ДУМАЮТ что жить по вере и исполнять волю Божию очень трудно
3. Развитие гражданского права
4. ПРАКТИКУМ по курсу- Общая химия с основами геохимии для студентов 1 курса географического факультет
5. рідкісності обмеженості ресурсів та ефективності використання їх альтернативності вибору
6. Тема- Вариативность дополнительного образования как способ реализации возможностей личностного развити
7. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Київ 2002 Д
8. Анализ поэмы ДГ Байрон «Паломничество Чайлд Гарольда»
9. Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса
10. Был ли неизбежен Октябрь 1917 года
11. а Данная функция гражданскоправового договора была бы невыполнимой без закрепленного в законодательстве п
12. Реферат Формирование и развитие рынка труда в России Содержание I
13.  По даним у таблиці розрахувати долю бюджетного дефіциту у ВВП та прокоментуйте отримані данні
14. Острый послеродовой гнойно-катаральный эндометрит КРС
15. Вопросы для подготовки к экзамену по предмету Светотехника и электротехнологии
16. Контрольная работа- Исследование операций
17. Статья- Структура полиэтилена в ориентированных бикомпонентных смесях, отожженных выше точки его плавления
18. Управление организационными изменениями Москва 2006 УТВЕРЖДЕНО Решением У
19. реферату- Країни БалтіїРозділ- Географія Країни Балтії Країнами Балтії називають Естонію Латвію Литву щ
20. Прочие доходы оприходованы излишки ТМЦ выявленные при проведении инвентаризации