Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

модуль разности между элементами

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05

1) Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

Число a, принадлежащее множеству R,  называется пределом числовой последовательности {Хn}, если последовательность {Хn - a} является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа A, её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

2)Геометрический смысл предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности  xn, если в любую окрестность числа а,

начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности Хn

Геометрический смысл предела числовой последовательности: начиная с некоторого номера N, все члены последо-

вательности с n > N попадают в å -окрестность числа А.

3)Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Число  называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции  в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу .

4)Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела

5)Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x) < z(x) < v(x), и limx- a u(x)=limx- a v(x)=b, то limx- a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

Если    и , то

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда

Число e

Последовательность  имеет конечный предел, называемый числом е:

4.Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Следствия

 

Доказательство следствий

Второй замечательный предел:

Следствия

Доказательство следствия

6)Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

limx → x0  f(x) = f(x0),

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim x → x0  f(x) = f ( lim x → x0  x ),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

lim Δx → 0  Δy = 0. (2)

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

7)Определение производной

(1)Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение Dx, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции Dy и составим отношение. Если существует предел этого отношения при Dx®0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают f `(x).

(2)Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где   - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 +точка перемещается на расстояние:  x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:  va = / . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

(3)Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке

Теорема 2. Если функция f дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Следствие. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке

9)Правила и формулы дифференцирования функции.

Производная постоянной равна 0: c'=0, где c-const

Производная функции y=x равна 1: x'=1

Производная суммы: (u + v)=u'+ v'

Производная произведения: (u*v)'=u'*v + v'*u

Следствие: пост. множ. за скобки: (c*u)'=c*u, где c-const.

Производная дроби: (u/v)'=(u'v-v'u)/(v2)

Следствие1: (u/c)'=(1/c)*u'

Следствие2: (c/v)'=-cv'/v2

Производная степенной функции: (xn)'=nxn-1

Производная функции y=(√x)'=1/2√x : (√x)'=1/2√x

Производная функции у=1/х: 1/x)'=-1/x2


1. Уральский государственный университет путей сообщения в г.
2. Учебное пособие- Традиционные и инновационные средства оценки результатов обучения
3. массу. В общем ценность белков ни у кого не вызывает сомнений однако практика показывает что на удивленье м
4. ШКОЛА РОДИТЕЛЯ ОСОБОГО РЕБЕНКА НА БАЗЕ ДЕТСКОГО ДОМАИНТЕРНАТА ЮЖНОЕ БУТОВО Н
5. РОЖДЕСТВО ХРИСТОВО Рождество Христово Лк
6. Тема 1 ВЫСТАВКИ И ЯРМАРКИ- СУЩНОСТЬ ПРЕДНАЗНАЧЕНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ 1
7. ПОВРЕЖДЕНИЯ ЖИВОТА План лекции - 1 Определение понятия Повреждения живота причины.
8. Обозначение Наименование Кол
9. економічного обґрунтування ТЕО інноваційного проекту
10. Система простейших
11. на тему- Эволюция форм и видов денегВыполнил-студент 3 курса группы 2заочной ф-оспециальности 080107
12. Проблема связи латеральеых профилей с индивидуальными различиями человека в дифференциальной психофизиологии
13. Тема- СЛАВ~НСКАЯ ЧАКРОВАЯ СИСТЕМА
14. Истязание
15. Тема 6 Статистика праці та заробітної плати
16. Диаметр Земли 12756 км; масса 5981024 кг; плотность 5510 кг-м3; период вращения 23 ч 56 м 41 с; период обращения 36526
17. ТЕМА ОЦЕНОК РАНГИ БАЛЛЫ ОЦЕНКИ Ранг А ~ от 90 до 100 баллов оценка отлично
18. в прямом противоречии с Декларацией 1789 г
19. а форма договора о передаче в пользование комплекса исключительных прав принадлежащих правообладателю
20. Управление судном