Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Лекція 6 Прямі в просторі

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2015-07-05

Бесплатно
Узнать стоимость работы
Рассчитаем за 1 минуту, онлайн

Лекція 6. Прямі в просторі.

Якщо зафіксувати деякий вектор , то він задає напрямок у просторі. Тим самим визначена множина прямих паралельних даному напрямку. Для визначення конкретної прямої  з цієї множини, досить вказати точку  на ній (див мал. 1). Щоб визначити цю пряму аналітично, тобто вказати рівняння, яке пов’язує координати довільної точки прямої , скористаємось колінеарністю векторів  та  (він називається напрямним вектором прямої) : , де  – довільне число. Таким чином одержане векторне рівняння прямої .

Ця ж рівність для кожної координати вектора  дає параметричні рівняння прямої :  .   (1)

Тут  є параметром – кожна точка прямої визначена деяким його значенням. Якщо з рівностей (1) виключити параметр , то одержимо   Рис. 1  канонічні рівняння прямої:     (2)

Розглянемо деякі частинні випадки. Припустимо, що одна з координат напрямного вектора прямої (2) рівна нулю, наприклад, . Тоді пряма, очевидно, перпендикулярна осі абсцис. Якщо ж , то пряма перпендикулярна до площини  , тобто паралельна осі аплікат.

Пряму також можна задати, вказавши дві точки  та  на ній. Нехай  – довільна точка шуканої прямої. Тоді вектор  буде напрямним і можемо записати канонічні рівняння прямої, заданої двома точками: .

Пряма у просторі може також бути визначена як лінія перетину двох непаралельних площин: 

           (3)

Ці рівняння описують площини, проте дають мало уявлення про власне пряму. Щоб записати пряму, задану рівнянням (3), у канонічному вигляді, необхідно визначити напрямний вектор прямої та деяку точку на ній. Напрямний вектор, очевидно, має бути паралельним кожній з площин, а отже, перпендикулярним до нормалей  та  обох площин, тому можна вважати, що . Для того, щоб визначити точку на   Рис. 2  прямій (3), покладемо одну із змінних, наприклад , рівною  і розв’яжемо систему    відносно змінних  та .

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку  паралельно прямій .

Напрямний вектор  заданої прямої визначаємо із її параметричних рівнянь: . Шукана пряма паралельна заданій, отже, вектор  буде напрямним і для неї. За формулами (2) визначаємо канонічні рівняння нашої прямої: .

Приклад 2. Скласти канонічні рівняння прямої , .

Напрямний вектор  шуканої прямої визначимо як векторний добуток нормалей площин: , або . Знайдемо ще точку, що належить шуканій прямій. Покладемо, наприклад,  та розв’яжемо систему . Помноживши перше рівняння на  та додавши до другого, знайдемо . Отже, тоді , і точка  належить прямій. Залишилось записати канонічні рівняння цієї прямої: .

Зауваження. Очевидна неоднозначність канонічних рівнянь (2) – можна було використати іншу точку на прямій та використати будь-який колінеарний вектор за напрямний.

Означення 1. Пучком площин, що проходять через вісь , називається вся сукупність площин, що проходять через пряму .

Теорема. Нехай вісь пучка  задана як лінія перетину двох непаралельних площин :  та : . Тоді при довільних  та , таких, що , пучок задається рівнянням:

      (4)

Доведення. Покажемо, що по-перше, рівняння (4) – не тотожність. Дійсно, з припущення про те, що  випливає , тобто  та  збігаються. По-друге, вісь  належить пучку. Це видно з того, що для кожної точки прямої  виконуються рівності  та , а отже, виконано рівняння (4). По-третє, залишилось показати, що кожна площина , що проходить через вісь , описується рівнянням (4). Для цього розглянемо деяку точку , яка не лежить на осі . Тоді величини  та  не дорівнюють нулю водночас, а тому визначене відношення  , або . Якщо існує перше, то позначимо його через  , якщо існує друге, то через . Таким чином, для довільної площини  пучка можна визначити коефіцієнти  та , при яких площина описується рівнянням (4).

Зауваження. Рівняння пучка у вигляді (4) описує і обидві площини  та . Якщо ж покласти у рівнянні (4) , то одержимо рівняння, яке описує всі площини пучка за винятком площини .

Приклад 3. Записати рівняння площини, що проходить через пряму  та точку . Шукана площина належить пучку з віссю  , або  і описується рівнянням  при деякому значенні . Щоб визначити , підставимо в це рівняння координати заданої точки : , отже . Тому шуканою є площина .

Взаємне розташування прямої та площини.

Розглянемо основні задачі про взаємне розташування прямої та площини.

  1.  Знайти точку перетину прямої  з площиною .

Використаємо рівняння прямої у параметричній формі (1) та підставимо їх у рівняння площини. Таким чином з’ясуємо, при якому значенні параметру  має місце перетин прямої з площиною. Визначивши таким чином коефіцієнт , знайдемо координати точки перетину прямої та площини.

 Приклад 4. Знайти точку перетину прямої  з площиною .

Підставимо параметричні рівняння прямої  у рівняння площини: , звідки . Отже,  – точка перетину даної прямої з площиною.

  1.  Знайти кут  між прямою  та площиною .Сформулювати умови їх паралельності та ортогональності.

Неважко зрозуміти, що  або , де  – це кут між нормаллю площини та напрямним вектором прямої. Тому . Пряма та площина паралельні, коли , а перпендикулярні – при , тобто .

 Приклад 5. Знайти кут  між прямою  та площиною .

Тут  – напрямний вектор прямої, а  – нормаль площини. Тоді  

  1.  Сформулювати умови належності прямої  до площини .

Для того, щоб пряма лежала у площині необхідно і достатньо виконання двох умов: пряма паралельна площині і одна точка прямої належить площині. Запишемо ці умови аналітично: .

  1.  Сформулювати умови перетину двох непаралельних прямих  та .

Переконайтесь самостійно, що умова перетину двох непаралельних прямих еквівалентна умові компланарності векторів ,  та , де  та .

  1.  Записати рівняння площини, що проходить через дві задані паралельні прямі.
  2.  Записати рівняння площини, що проходить через дві задані прямі, що перетинаються.
  3.  Знайти точку симетричну заданій відносно заданої площини.

Приклад 6. Знайти точку, симетричну точці  відносно площини .

 Опустимо перпендикуляр із точки  на площину та знайдемо точку  перетину його з площиною. Точка

буде серединою відрізку , де  – шукана симетрична точка. Отже, перпендикуляр має проходити через точку , а його напрямним вектором буде нормаль заданої площини. Таким чином одержимо рівняння цього перпендикуляра: . Точку  знайдемо, як описано в прикладі 4: . Далі, оскільки точка  – середина відрізку , то її координати є напівсумою відповідних координат точок  та , звідки й знаходимо .

  1.  Знайти відстань між двома заданими паралельними прямими.
  2.  Знайти відстань до заданої прямої від точки, що не лежить на даній прямій.

 Приклад 7. Знайти відстань точки  від прямої .

Побудуємо площину, що проходить через точку  перпендикулярно до заданої прямої: , або . Відшукаємо точку  перетину цієї площини із заданою прямою: . Шукана відстань дорівнює довжині відрізку : .

  1.  Знайти найкоротшу відстань  між двома мимобіжними прямими.

 Приклад 9. Знайти найкоротшу відстань між двома мимобіжними прямими  та .

Побудуємо площину , якій належить одна з прямих, приміром, , паралельну до іншої – . Тоді шукана відстань  буде відстанню від довільної точки прямої  (нам відома одна з її точок – точка ) до площини . Позначимо напрямні вектори заданих прямих відповідно  та , відому точку на  – . Нехай  буде довільна точка на шуканій площині . Для визначення рівнянні площини використаємо компланарність векторів ,  та  : , звідки одержимо рівняння площини  . Нормальне рівняння цієї площини матиме вигляд , тому .

Другий спосіб: , вектор  буде ортогональним до обох прямих, тоді .

  1.  Записати рівняння спільного перпендикуляра двох мимобіжних прямих.

PAGE  3


EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

  1.  

Диплом на заказ


1. ЛЕКЦИИ ПО МЕТОДОЛОГИИ СОЦИОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ Учебник для студентов гуманитарных вузов и аспирантов
2.  КЧО как и другие геологические карты создаются для разных целей и подразделяются на- 1
3. А. Оборудование- учебник Д.
4. Расчеты с покупателями и заказчиками 9 5 Виды и формы расчетов
5. ТЕМА 6. ДОСЛІДНА СТАДІЯ СУДОВОБУХГАЛТЕРСЬКОЇ ЕКСПЕРТЗИ ПЛАН 6
6. ТЕЛЕРЕМОНТ 1
7. Автоматизированные информационные системы управления персоналом предприятия
8. Тема 54.3.1 Внешняя политика в 20е гг
9. Система рефинансирования банковского сектора
10.  Общая теоретикоправовая характеристика усыновления удочерения
11. Лошадка Яйца отварить вкрутую.
12. Начинается долгий девятимесячный марафон по врачам- сдача многочисленных анализов осмотры измерения высл
13. МИРОВОЙ ОКЕАН41
14. Особенности развития наглядно-образного мышления в старшем дошкольном возрасте
15. TLKER Аннотация В начале XXI века вокруг Чернобыльской атомной станции образовалась загадочная а
16. Становление идивидуального стиля познавательной деятельности учащегося
17. Мы сильно рекомендуем сесть на наш автобус к лагерь начиная с пожизненной дружбы иногда начинается тут же.
18. покрытые стойкой эмалью зубы реже фрагменты челюстей ещё реже другие кости
19. Реферат- Криминально-психологические аспекты правовой культуры на уровнях индивида, группы, общества
20. Реферат Ржавчинные грибы