Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Тема- Лінійні функціонали

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-06-20


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Лекція 13

Тема: " Лінійні функціонали. Властивості. Норма лінійного функціоналу. Загальний вид лінійних функціоналів. Теорема Хана-Банаха" .

Дисципліна: "Функціональний аналіз".

 

 Викладач  Гусарова І. Г.

Харків, 2014

Тема: Лінійні функціонали. Властивості. Норма лінійного функціоналу. Загальний вид лінійних функціоналів. Теорема Хана-Банаха

  1.  Лінійні функціонали. Визначення. Приклади. 

Означення: Лінійний оператор , що переводить даний лінійний простір   в числову пряму  називається лінійним функціоналом.  

Означення: Функціонал  називається аддитивним, якщо      для  .

 Означення: Функціонал  називається однорідним, якщо    (α - довільне число).

Означення: Аддитивний однорідний функціонал називається лінійним функціоналом.              

Функціонал  – це окремий вид оператора, тобто на функціонали поширюються всі визначення, твердження і теореми, що були отримані для операторів.

Нехай  - нормований простір. Справедлива наступна теорема.

 Теорема 1. Для того, щоб лінійний функціонал, визначений на лінійному нормованому простор, був неперервним, необхідно і достатньо, щоб він був обмежений, тобто

:   .        

Означення : Найменша з постійних М, яка задовольняє нерівності    називається нормою функціонала і позначається  .

Таким чином .

Крім того,

    .

Приклади лінійних функціоналів в нормованих просторах.

  1.  Нехай  Rn є n-вимірний евклідовий простір і  який-небудь фіксований вектор у ньому. Скалярний добуток , де  пробігає все Rn, є лінійний функціонал на Rn  . Через нерівність Коші –Буняковського маємо

.                                                        (1)

Отже, цей функціонал обмежений, а значить і неперервний на  Rn. З нерівності (1) отримуємо, що

.

Оскільки права частина цієї нерівності не залежить від , то, .

Тобто   .

Але поклавши , отримаємо

,

тобто   .

Тому.

2. Інтеграл

,

де – неперервна функція на, є лінійний функціонал в просторі   Цей функціонал обмежений, а його норма дорівнює. Дійсно,

,

причому при  досягається рівність  .  

3. Нехай  - фіксована неперервна функція на  . Покладемо для будь-якої функції

Цей функціонал лінійний. Він обмежений, оскільки                                                 (2)

Через лінійність і обмеженість він неперервний. З (2) слідує оцінка його норми:   

Насправді має місце точна рівність

4. Розглянемо в просторі   лінійний функціонал,   

                                                                      (3)

Його значення на функції  визначається як значення    в даній точці  .

Цей функціонал зазвичай записується у вигляді

,

розуміючи під    «функцію», яка дорівнює нулю усюди, окрім точки , а інтеграл від якої дорівнює одиниці

  Це  - функція Дирака.

Зрозуміло, що,  причому при   має місце рівність. Звідси витікає, що норма функціонала   дорівнює 1, тобто

 5. У будь-якому евклідовому просторі  можна визначити лінійний функціонал так само, як в Rn, вибравши деякий фіксований елемент    і  поклавши для будь-якого      . Як і у випадку , легко перевірити, що при цьому .


2. Інтерпретація норми лінійного функціонала
.

Поняттю норми лінійного  функціонала можна дати наступну наочну інтерпретацію.

Означення: Множина точок лінійного простору , що задовольняють рівнянню , де  -лінійний функціонал,  називається гіперплощиною в довільному лінійному просторі .

Всякому ненульовому функціоналу   можна поставити у відповідність гіперплощину L, визначену рівнянням.

  Знайдемо відстань   від цієї гіперплощини до точки 0. За визначенням відстані  ,   через оцінку

 ,   маємо .

На гіперплощині   матимемо , значить  .

З іншого боку, через визначення норми  для будь-якого >0  знайдеться такий елемент  , який задовольняє умові , що , отже

,

 тому   

Оскільки  >0  довільно,  отримуємо  , тобто

Висновок. Норма лінійного функціонала   зворотна відстані від гіперплощини   до точки 0.  

3. Опуклі функціонали . Однорідно-опуклі  функціонали.

Нехай   - лінійний дійсний простір.

Означення: Множина   (де  - лінійний дійсний простір) називається опуклою, якщо вона разом з будь-якими двома точками  і   містить і відрізок, що поєднує їх, тобто,

, де , та

або 

, .      

Означення: Визначений на  (де  - лінійний дійсний простір), функціонал  називається опуклим, якщо,   ,  

Означення: Функціонал  називається додатно-однорідним якщо   

Означення: Додатно-однорідний   опуклий функціонал називається однорідно-опуклим.

Приклади однорідно-опуклих функціоналів. 

1. Всякий лінійний функціонал є однорідно-опуклим. Однорідно-опуклим буде і функціонал, якщо    лінійний функціонал.

2. У просторі    з елементами  покладемо

,

цей  функціонал  буде однорідно-опуклим функціоналом.

3. Нехай  – це простір обмежених послідовностей , тоді  функціонал  

,

однорідно-опуклий функціонал.




1. Контроль милиции за соблюдением правил паспортно-регистрационной системы, правил пребывания в Российской Федерации иностранных граждан и лиц без гражданства
2. Тема- Лазерний атомно фотоіонізаційний спектральний аналіз
3. Основные классификации субъектов доказывания и их полномочия1
4. Годовалым ребенком я была перевезена на север ~ в Царское село
5. Виды речевой деятельности
6. Современные русские прозвища Ленского района Архангельской области
7. Особливості біології та екології павука-хрестовика (Araneus diadematus)
8. Зарегистрированные сигналы
9. Humn Evolution
10. РЕФЕРАТ ДИСЕРТАЦІЇ на здобуття наукового ступеня кандидата політичних наук ОДЕСА 2000
11. Использование функциональной части информационной системы в принятии управленческих решений
12. Тема- Культура Древней Руси 9 ~ 12 веков
13. Упряжные тяжеловозные породы лошадей.html
14. на тему- Фінанси малих підприємств ЗМІСТ [1] Курсова робота на тему-
15. МОДУЛЬ МОЩНОСТИ 2007 Каждый говорит нам что магнитное поле земли измерено как являющийся слишком незначащим
16. за политической борьбы Павел был по сути лишён любви близких ему людей
17. Транснаціональне рекламне агентство
18. Я должен идти домой
19. Технология производства мясных консервов
20. Индия Некоторые виды выращивают как декоративные растения во многих регионах мира в том числе на Украине и