Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

ТЕМА- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА Простые ставки ссудных процентов Простые уче.html

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-01-17


ТЕМА: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА

  1.  Простые ставки ссудных процентов
  2.  Простые учетные ставки
  3.  Сложные ставки ссудных процентов
  4.  Сложные учетные ставки

Четкое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала.

Проценты это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Наращение (рост) первоначальной суммы долга это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка, или, что то же, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

1. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Для исчисления простых ставок ссудных процентов применяются следующие формулы:

                                     2.1.                              2.4.

    2.2.            2.5.

    2.3.           2.6.

где:

i % - простая годовая ставка ссудного процента

i – относительная величина головой ставки процентов

Iг – сумма процентных денег выплачиваемых за год    

I – общая сумма процентных денег за весь период начисления денег

P -  величина первоначальной денежной суммы

S – наращенная сумма

kн – коэффициент наращения

n – продолжительность периода начисления в годах

- продолжительность периода начисления в днях

К – продолжительность года в днях

Применяя последовательно формулы 2.4., 2.3., 2.1. и 2.6., получаем основную формулу для определения наращенной суммы

    2.7.       2.8.

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей", приведенной) величиной суммы S. Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S — компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассматриваться далее. Из формулы (2.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

                     2.9.

Преобразуя формулу 2.7., получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

     2.10        2.12.

     2.11                       2.13.

           

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. В этом случае применяются следующие формулы 2.14, 2.15:

       2.14.                                  2.15.

2. ПРОСТЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой. При операциях дисконтирования по учетной ставке применяются следующие формулы:

      2.16.  

                2.17

        2.18

          2.19

где:

d% - простая годовая учетная ставка

d – относительная величина учетной ставки

Dг – сумма процентных денег, выплачиваемая за год

D – общая сумма процентных денег

S – сумма которая должна быть возвращена

P – сумма, получаемая заемщиком

Преобразуя формулу 2.19., получаем формулу для определения наращенной суммы:

             2.20

Из формулы 2.20 легко увидеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение 2.20 имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. (1 — nd) > 0, или d < 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни. На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

    2.21       2.22

3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок. Для исчисления сложных ссудных процентов применяются следующие формулы:

   2.23        2.24

где:

iC – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов

kН.С – коэффициент наращения в случае сложных процентов    

j – номинальная ставка сложных судных процентов

 Формула 2.25. применяется в случаях, когда срок ссуды n в годах не является целым числом.

           2.25.

где:

na – целое число лет

nb – оставшаяся дробная часть года

n = na + nb

Если уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления, то применяется формула 2.26. Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то применяется формула 2.27.

   2.26               2.27

 

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m .

Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле 2.23, получаем выражение для определения наращенной суммы:

     2.28

где mn общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn целое число интервалов начисления, l — часть интервала начисления), то выражение 2.28. принимает вид:

     2.29

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными. В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

                 2.30

Существуют и другие способы определения наращенной суммы:

            2.31               2.32

Полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти:

         2.33                               2.34

               2.35                   2.36

                2.37

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.

Правило «72» и Правило «69» (более точное):

      

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях iC(%). До iC(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом iC. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годовых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле 2.38. и по правилам «69» и «72».

а) n = ln 2/ln 1,2 = 3,8 года,  

или n = 72/20 =3,6 года,

или n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) n = ln 2/ln 2,1 = 0,93 года,

или n = 72/110 = 0,65 года,

или n = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным значением — 18 дней).

4. СЛОЖНЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

    2.38                 2.39.

где, dС (%) — сложная годовая учетная ставка;

dС    — относительная величина сложной учетной ставки;

k.Н У  — коэффициент наращения для случая учетной ставки;

Сравнивая формулы 2.23. и 2.38, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее. Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный для кредитора. Это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом n), и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл.  Из формулы 2.38. также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d (%) приближается к 100%.

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий меньше года интервал, начисление m раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом. Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, необходимо использовать формулу 2.40.  При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная вычисляется по формуле 2.41.

       2.40               2.41

Для начисления процентов m раз в году применяются формулы 2.42. и 2.43. При этом mn целое число интервалов начисления за весь период начисления, l — часть интервала начисления, f  — номинальная годовая учетная ставка.

        2.42.              2.43

При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле 2.44.

     2.44.

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы 2.45 – 2.49. Они используются для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки.

    2.45.                  2.46.

   2.47.                 2.48.

     2.49




1. Образование понятий
2. підприємство як первинна ланка ринкової економіки Підприємство це господарська одиниця яка спеціалізу.html
3. Олейников Николай Макарович
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ для студентов очной и заочной форм обу
5. Лекция 16 Гносеология
6. Про загальнообов~язкове державне соціальне страхування від нещасного випадку на виробництві та професійно
7. Поняття світогляду і його структура
8. Введение Использование природных ресурсов всегда играло огромную роль в экономике России.html
9. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук.
10. Антропологічна характеристика та риси людини
11. . Динамическая непроходимость аспастическая; б паралитическая
12. Моление Даниила Заточника
13. Основные этапы становления социальной работы в России и за рубежом
14. Небольшой экскурс в историю игр
15. тематики Предметом экономического анализа является исследование хозяйственной деятельности предприятия
16. продовольственный комплекс индикативное планирование экономическое стимулирование государственное регу
17. Люблінская унія Утварэнне Рэчы Паспалітай
18. История отечественного государства и права - сост
19. на тему- ldquo; Способи та методи формування творчого мислення у дітей шкільного віку на прикладі досвіду пе
20. ТЕМА 1 СУТНІСТЬ ФІНАНСІВ ЇХ ФУНКЦІЇ ТА РОЛЬ 1