Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями Рассмотрим векторы и

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-06-20

Бесплатно
Узнать стоимость работы
Рассчитаем за 1 минуту, онлайн

№ 40

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы  и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами  и  тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой  и нормальный вектор  плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны.

№41

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (называемой образующей), остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию Z (называемую направляющей).

                                                                        

l

L

 Рис.1

Пусть направляющая определяется уравнениями   

                                    и ,  (1)

а   m, n, p – координаты  направляющего вектора образующей цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующей имеют вид     

                                  ,  (2)

где  x, y, zтекущие координаты, X,Y,Z – координаты точки, принадлежащей направляющей.

Исключая  X, Y, Z  из четырёх уравнений (1) и (2), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Рассмотрим частный случай. Пусть уравнение поверхности не содержит одной из переменных, для определённости  z , то есть  .

На плоскости  Oxy  это уравнение определяет некоторую кривую линию L.

В пространстве этому уравнению удовлетворяют все те точки пространства, первые две координаты которых совпадают с координатами линии  L , то есть те точки пространства, которые проектируются на плоскость Oxy  в точки линии  L. Совокупность всех точек   есть прямая параллельная оси  Oz, проходящая через точку  . Следовательно, совокупность всех точек, удовлетворяющих уравнению  , есть поверхность, описываемая прямой, параллельной оси  Oz  и пересекающих линию  L,  то есть цилиндрическая поверхность.

  

x

  о 

О

y

z


Рис.2

Аналогично, – уравнение цилиндрической поверхности,  образующая которой параллельно оси  Oy;  - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ox.

Перечислим прямые цилиндры  с образующей, параллельной оси  Oz:

1)     – эллиптический цилиндр с направляющей – эллипсом  в  плоскости  Oxy. Частным случаем эллиптического цилиндра является прямой круговой цилиндр, то есть  .

Рис.3.

x

y

z

O

a

-a

b

-b

2)    - гиперболический цилиндр с направляющей – гиперболой плоскости  Oxy.

x

y

z

a

-a

b

-b

Рис.4

3)    - параболический цилиндр с направляющей – параболой в плоскости  Oxy.

y

z

x

O

Рис.5

КОНИЧЕСКИЕ  ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Конической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).

О

L

Рис.6

Пусть направляющая задана уравнениями

    и      (1)

вершиной является точка Mo(xo,yo,zo).

Канонические уравнения образующей конуса, проходящей через точку Мо  и точку М(X,Y,Z), лежащую на направляющей, имеют вид:

                     .     (2)

Исключая из (1) и (2)  X,Y,Z,  получим искомое уравнение конической поверхности.

ПОВЕРХНОСТИ  ВРАЩЕНИЯ

Составить общее представление о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения.

Определение. Поверхностью вращения вокруг оси d называется поверхность, каждое сечение которой, перпендикулярное оси d, является окружностью с центром, лежащим на этой оси.

Рассмотрим линию L, которая вместе с осью d лежит в плоскости Р. Будем вращать эту линию вокруг оси, при этом каждая точка линии опишет окружность, а вся линия L опишет поверхность вращения.

Введём систему координат. Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат на оси d, ось Oz направим вдоль оси d, ось Ox поместим в плоскости P перпендикулярно оси Oz. Допустим, что линия L имеет в этой системе координат уравнение . Выведем уравнение поверхности вращения этой линии вокруг оси Oz. Для этого выберем на поверхности произвольную точку M(x,y,z). Расстояние от неё до оси Oz равно . Через точку М проходит окружность, описываемая при вращении некоторой точки плоскости Р. Обозначим эту точку Мо, а её координаты в системе Oxz  (xo,yo)   (в системе Oxyz она будет иметь координаты (xo,0,zo)), очевидно что , .

Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на ней лежит точка Мо, а, следовательно, и симметричная с ней относительно оси Oz точка . Чтобы точки Мо и лежали на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы координаты хотя бы одной из них удовлетворяли  уравнению линии L, то есть чтобы . Получим условие для координат точки   

М.        (1)

Это и есть уравнение поверхности вращения линии L вокруг оси Oz.

Случай, когда уравнение (1) не имеет вещественных решений, не исключается. В этом случае говорят о мнимой поверхности.

№42

Определение предела по Коши и Гейне

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.) 

Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого  существует такое число , что

при условии

Данное определение предела известно как  - определение или определение Коши

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. 

Односторонние пределы

Символом  обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий предел  называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x = a

Аналогично, символом  обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь кa, принимает значения x > a. Соответствующий предел  называется правосторонним пределом функции f (x) в точке x = a

Отметим, что двусторонний предел  существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть . В этом случае

Основные теоремы о пределах

 

Теорема 1(о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

  .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(xв этой точке не превосходит предела функции g(x).

  .

Теорема 3Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с,    докажем, что    .

Возьмем  произвольное >0. В качестве  можно взять любое

положительное число. Тогда при 

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

  и  .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

 B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть ,  ,   .

Тогда, по теореме о связи предела и б. функции:

 где  - б.м. при.

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при  .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

,  .

№43

первый замечательный предел

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°    

Второй замечательный предел

здесь е - число ЭйлераСледствия из второго замечательного предела

1°   

2°   

3°   

4°   

5°   

6°   

№44

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства

 

Определение 1. Функция  называется бесконечно малой (б.м.) функцией при , если ее предел при равен нулю.

 <=>  , для всех х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

Определение 2. Функция  называется бесконечно большой (б.б.) функцией при , если ее предел при равен + (-).

Пример. Функция   при    - б.м., при    - б.б., при  не является ни б.б. ни б.м.

Теорема 1 (о связи предела и бесконечно малой функции). Если функция  имеет предел , то разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .

Доказательство. Необходимо показать, что

 <=> f(x)-A  б.м. функция при .

Так как , то

 , для  будет выполняться неравенство .

Сравним это с определением б. м. функции:

 , для  будет выполняться неравенство .

Сравнивая определения предела функции и б. м. функции, видим, что f(x)-A  -  б.м. при .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при  функций есть функция бесконечно малая при .

Доказательство. Пусть  - б.м. функции при .

Надо доказать, что  есть б.м. функция при.

Возьмем >0, тогда и .

Так как  - б.м. при ,    ;

(2.1)

 

так как  - б.м. при ,    ;            

так как  - б.м. при ,    .

Возьмем , тогда при  будут выполняться все три неравенства (2.1) одновременно.

.

Итак, для >0 мы нашли  такое, что при всех  выполняется неравенство , =>  есть б.м. функция при.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при  функции на ограниченную в некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при .

Доказательство.  - б. м. при функция;

f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция.

Докажем, что   · f(x) – б. м. функция при .

Поскольку f(x) - ограниченная в некоторой окрестности точки а функция, то  и К такие, что при х

(2.2)

 

    | f(x)| < К.

Возьмем произвольное >0 и рассмотрим число ,

так как  - б. м. при функция, , что х:

(2.3)

 

    ||<.

Возьмем , тогда при  будут выполняться оба неравенства (2.2) и (2.3) одновременно.

<

Итак, для >0  мы нашли  такое, что при всех х, удовлетворяющих , выполняется неравенство |· f(x)|< , =>    · f(x) – б. м. функция  при .

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых при  функций есть функция, бесконечно малая при .

Теорема 5 (о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций). Если  - б. м. при функция и 0 в некоторой окрестности точки а, то функция  есть б. б. функция при .

Если  - при  б. б. функция, то функция  есть б. м. функция при .

Сравнение бесконечно малых функций

 Пусть  б.м. функции  при . Предположим, что существует предел их отношения и он равен l.

.

Тогда если:

1)   l=1, то функции  и  называются эквивалентными б.м.;

2)   l - число, l0, то функции  и  называются б.м. одинакового порядка;

3)  l=0, то функция  называется б.м. более высокого порядка, чем ;

4)  l, то функция  называется б.м. более высокого порядка, чем .

Эквивалентные бесконечно малые

Функции  и  называют бесконечно малыми при , если  и 

Функции  и  называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть  - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

№45

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim

x → x0

 f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

 Of(x0) )      O(x0) :     x  O(x0 f(x Of(x0) ) .

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim

x → x0

 f(x) = f (

lim

x → x0

 x ),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x0 — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x0 ) — соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

lim

Δx → 0

 Δy = 0.

(2)

Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0x0 + δ ).

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел

lim

x → x0 + 0

 f(x) = f(x0).

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δx0].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел

lim

x → x0 − 0

 f(x) = f(x0).

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

        Определение 3.3   Пусть  -- некоторая функция,  -- её область определения и  -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с  и/или )7. Назовём функцию  непрерывной на интервале , если  непрерывна в любой точке , то есть для любого  существует  (в сокращённой записи: 

Пусть теперь  -- (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию  непрерывной на отрезке , если  непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке  и непрерывна слева в точке , то есть 
 
 
     

        Определение 3.4   Назовём функцию  непрерывной на множестве , если 
     

Нетрудно видеть, что тогда при  и при  это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть  и  -- функции и  -- интервал или отрезок, лежащий в . Пусть  и  непрерывны на . Тогда функции  непpеpывны на . Если вдобавок  пpи всех , то функция  также непpеpывна на . Предложение 3.4   Множество  всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке  -- это линейное пpостpанство:

    Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция  непрерывна на отрезке , причём  и  -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что  (то есть существует хотя бы один корень  уравнения ).

Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция  принимает значения разных знаков:  в случае  или  в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через  и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины  и , где , и найдём . В случае  корень найден; в случае  рассматриваем далее отрезок , в случае  -- отрезок  и т. д. 

Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность  -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность  -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом ); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков  образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим теперь . Тогда

 и 

поскольку функция  непрерывна. Однако, по построению последовательностей  и  и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7),  и , то есть  и . Значит, , и  -- корень уравнения .      
Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции)   Пусть функция  непрерывна на отрезке  и  (будем для определённости считать, что ). Пусть  -- некоторое число, лежащее между  и . Тогда существует такая точка , что .

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

Доказательство.     Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда  и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .      

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда  (см.  пример 3.13) принимает значения , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества  (то есть такого, что  при всех  и некотором ; число  называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что  при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней  (для которых  при всех ). 

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .

Если точка  принадлежит множеству , то  является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

        Лемма 3.1   Пусть  -- непрерывная функция на отрезке , и множество  тех точек , в которых  (или , или ) не пусто. Тогда в множестве  имеется наименьшее значение , такое что  при всех .


Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство.     Поскольку  -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , такая что  при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,

Значит, , так что точка  принадлежит множеству  и .

В случае, когда множество  задано неравенством , мы имеем  при всех  и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

откуда , что означает, что  и . Точно так же в случае неравенства  переход к пределу в неравенстве даёт

откуда  и .      
Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции)   Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда  ограничена на , то есть существует такая постоянная , что  при всех .

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена

 Доказательство.     Предположим обратное: пусть  не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств  имеется наименьшее значение . Покажем, что

Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между  и , то

то есть  -- промежуточное значение между  и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что  -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что  при всех .

Точно так же далее доказывается, что  при всех  при всех , и т. д. Итак,  -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции  следует, что существует , но  при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция  ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что  ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.      

на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при  имеет точку разрыва второго рода, такую что  при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию  на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что  при .

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

        Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что  при всех  (то есть  -- точка минимума: ), и существует точка , такая что  при всех  (то есть  -- точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках  и  этого отрезка.


Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

 Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция  ограничена на  сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на  -- число . Тем самым, множества ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения . Эти  не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел  Так как , то и

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех  , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .

Аналогично доказывается существование точки минимума.      

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при  предел  не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию  на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что  и , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию  на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом   и 

 


Диплом на заказ


1. Тель Авив ~ Яффо
2. Экологический менеджмент на предприятии
3. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Харків
4. Задание 1 6 баллов Ответ- 1 ~ Бабочка 2 ~ Заяц 3 ~ Белка 4 ~ Лось 5 ~ Волк 6 ~ Ёж Задание 2 3 балла Отв
5. Что есть информация что есть жизнь
6. Тема 1. Производство как основа экономического развития общества Производство служит основой благосостоя
7. Информатика п~ні бойынша 051301 Жалпы медицина 051302 Стоматология 5В110400 Медициналы~профилактика
8. тематики в початковій школі Зміст Вступ
9. Мотив дороги и его философское звучание в литературе ХIХ века
10. 6 терминов, знакомых понаслышке
11. тема имеет и притом единственное решениеТеорема3
12. БЛАГОДАРНОСТЬ Благодарю моих родителей Фреда и Лео Келлер за любовь и поддержку и за привитый мн
13. ТЕМА Тема 203
14. тема страны 4 Финансовый аппарат как специфическая сфера финансовой системы
15. Лабораторная работа- Моллюски промежуточные хозяева гельминтов амфибий
16. тями эстет мышля писля
17. Булгаков МА стислий переказ короткий зміст твору Мастер и Маргарита Булгаков М
18. Аркигрэм перенёсшей идеи попарта и научной фантастики 1960х гг
19. Кодекс административного судопроизводства Украины от 1 сентября 2005 года.html
20. Уголовноисполнительное право России Ведомственный контроль за деятельностью учреждений и орга