Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

ЛЕКЦІЯ 21 Матриці

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-06-20


ЛЕКЦІЯ № 2(1). «Матриці».

1. Основні означення.

2. Дії над матрицями.

3. Обрнена матриця. Ранг матриці.

4. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв'язування.

П.1 Основні означення.

Матрицею розміром mn називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків і n стовпців. Матриці позначаються великими літерами, наприклад, А, B, а елементи матриць – відповідними малими літерами з двома індексами: aij, bij. Перший індекс указує номер рядка, другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент у матриці. Тобто, всі елементи матриці з однаковими першими індексами утворюють рядки, а елементи з однаковими другими індексами – стовпці матриці. Записуються матриці так:

                                          (2.1)

Скорочені позначення: Аmn, (aij)  

  1.  Якщо , то матриця називається прямокутною.
  2.  Матриця будь-якого розміру називається нульовою, якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Позначають нульову матрицю літерою О.
  3.  Матриця А1n, що складається з одного рядка (), називається матрицею (вектором)-рядком або однорядковою матрицею, а матриця Аm1,яка складається з одного стовпця () – матрицею (вектором)-стовпцем або одностовпцевою матрицею.
  4.  Якщо , то матриця розміром nn називається квадратною матрицею n-го порядку Аn n. Елементи aii квадратної матриці, в яких номер рядка дорівнює номеру стовпця, називаються діагональними та утворюють головну діагональ. Друга діагональ матриці називається побічною.
  5.  Діагональною називається квадратна матриця, в якій всі елементи, що не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю.
  6.  Діагональна матриця, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею і позначається літерою Е.
  7.  Квадратна матриця, в якій всі елементи під (над) головною діагоналлю дорівнюють нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею.

е)
верхня трикутна

д)
одинична

матриця

ґ)
діагональна

матриця

а)
нульова

(прямокутна)  
матриця

г)
квадратна матриця

в)
матриця - стовпець

б)
матриця - рядок

Будь-якій квадратній матриці Аn n можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником цієї матриці і позначається символом det A. За означенням

.

П.2. Дії над матрицями

  1.  Рівність матриць. Дві матриці А і В однакових розмірів називаються рівними (Аmn = Bmn), якщо aij = bij для будь-яких і,  j.

  1.  Множення матриці на число. Добутком матриці Аmn на число λ називається матриця Вmn = λАmn, кожний елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці А на число λ (bij = λaij):

  1.  Додавання (віднімання) матриць. Сумою (різницею) матриць A і B однакових розмірів mn називається матриця Сmn = Аmn  Bmn, елементи якої cij = aij  bij:

Приклад 1. Знайти матрицю 3А – 2В, якщо  

Множення матриць. Операція множення матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця A називається узгодженою з матрицею B, якщо кількість стовпців першої матриці A дорівнює кількості другої матриці B. Добутком матриць Аmn і Bnk називається матриця у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:  

 (2.2)

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. Кількість рядків матриці      Сmn = Amk  Bkn дорівнює кількості рядків матриці А, а кількість стовпців – кількості стовпців матриці B.

Приклад 2. Знайти AB і BA, якщо

 .

Деякі властивості добутку матриць

АВВА. Якщо АВ = ВА, то матриці A і B називаються комутативними;

добуток діагональних матриць є діагональною матрицею;

EmmAmn = Amn,  АmnЕnn = Аmn (Е – одинична матриця);

добуток квадратних матриць асоціативний: (АВ)С = А(ВС);

(А + B)  C = А  C + B  C;

Amk   Okn = Omn,  Omk  Akn = Omn  (Omn – нульова матриця).

Транспонування матриці – перехід від матриці Аmn до матриці АTnm, в якій рядки й стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку їх слідування, наприклад, якщо

A = то  AT =

Властивості транспонування матриці

1) (A + B)T = AT + BT;

2) (A)T = AT;

3) (AB)T = BTAT;

4) (AT)T = A.

Елементарними називаються такі перетворення матриці:

  1.  транспонування матриці;
  2.  переставлення місцями двох рядків (стовпців);
  3.  множення рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;
  4.  додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те саме число;
  5.  викреслювання нульового рядка (стовпця).

Матриці A і B, одержані одна з одної у результаті елементарних перетворень, називають еквівалентними і позначають так: A ~ B.

П.3. Обернена матриця. Ранг матриці.

Квадратна матриця А1 називається оберненою до матриці А, якщо

А–1  A = A  А–1 = E.   (2.3)

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det(A) = 0, і невиродженою, якщо det(A)  0.

Теорема 1. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і досить, щоб вона була невиродженою. При цьому обернена матриця єдина і обчисляється за формулою

 (2.4)

де Aij (i, j = ) – алгебраїчні доповнення елементів aij матриці A.

Доведення. ►Необхідність. Нехай існує А1. Доведемо, що тоді А – невироджена матриця.  За умовою А–1  A = A  А–1 = E. Тоді  |А–1  A| =| A| | А–1| =| E|=1, отже,      det(A)  0, тобто матриця А невироджена.

Достатність. Нехай матриця А невироджена. Перевіримо, що для матриці, заданої формулою (2.4), виконуються рівності  А–1  A = A  А–1 = E.

.

Аналогічно A  А–1 = E. Таким чином, А–1 – обернена матриця до матриці A.

Доведемо єдиність оберненої матриці. Нехай А’ – ще одна обернена матриця. Тоді

А–1 = А–1 E= А–1(А А’)=( А–1А) А’= Е А’= А’.

Таким чином, обернена матриця єдина. ◄

Виділимо в матриці Аmn k довільно обраних рядків і k стовпців. Нагадаємо, що визначник k-го порядку, складений з елементів, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k-го порядку і позначають Мk.

Рангом матриці А називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора матриці. Ранг матриці А позначається rang(A), rg(A), r(A).

З означення рангу випливає, що

  1.  ранг існує для будь-якої матриці Аmn, причому .
  2.   тоді і тільки тоді, коли (А – нульова матриця).
  3.  для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.

Якщо r(А) = r, то знайдеться хоча б один мінор Мr ≠ 0, а всі мінори порядку, більшого ніж r, дорівнюють нулю.

Зауваження 1. Ранг матриці визначається кількістю рядків ненульового мінора, а не його значенням.

Приклад 3. Обчислити ранг матриці

► Оскільки третій рядок пропорційний першому (e3 = 2e1), то будь-який мінор 3-го порядку М3 = 0 (за властивістю 6 визначників).  Мінор 2-го порядку: М2 = 0 – 4 = – 4  0      r(A) = 2. ◄

Зауваження 2. Ранги еквівалентних матриць однакові.

П.4 Матричий запис системи лінійних рівнянь і її розвязування.

Нехай задано систему,  яка містить  n  лінійних рівнянь з n невідомими.

 (2.5)

Систему (2.5) запишемо також у матричному вигляді:

A   X = B, (2.6)

Якщо матриця А системи (2.5) невироджена (det A  0), то її розв’язок може бути поданий у вигляді:

X = A–1B.  (2.7)




1. Дослідження менеджерського шляху Лі Якокки
2. тема уголовного пава
3. дипломная или выпускная квалификационная работа но по всей вероятности никто из членов ГАК Государственно
4. на тему- Современные группы защиты животных Выполнила- Студентка 5 курса 2 группы Данилова
5. ИНТОКСИКАЦИИ РТУТЬЮ И МАРГАНЦЕМ Указать ПДК для ртути в воздухе рабочих помещений Указать 4 произ
6. выделение диффундирующего элемента в атомарном состоянии благодаря реакциямпротекающим во внешней среде2
7. тема программной документации СХЕМЫ АЛГОРИТМОВ ПРОГРАММ ДАННЫХ И СИСТЕМ Обозначения условные и правил
8. Проблема происхождения христианства
9. тематики Кафедра- Информатики и ИТО РЕФЕРАТ НА ТЕМУ- Китай на пути экономике знаний
10.  Побудова перевіркової матриці ~ а і її результат б для коду 10
11. Порой разнимая двух участников драки приходилось и самому получать в челюсть
12. усреднители промывных вод сгустители накопители и площадки подсушивания осадка
13. варианты привлечения в отрасль негосударственных инвестиционных ресурсов
14. Татарско-крымская литература
15. Реферат Общие сведения о США
16. Норм Принципы их построения и установления допускаемых напряжений
17. правовых систем место и роль государства и права в жизни общества в различные периоды истории; особенности
18. Qd~n m~nsib~tl~rinin ~~R~ H~KML~R~ Seyyid M~h~mm~d M~sud M~sumi ’ ’~-.html
19. q 3 1 5 Найти x4 ~ 2 x8 3x 4 ответ- 3 Билет 3 Линейн
20. варианты- стратегия недифференцированного маркетинга Недифференцированный маркетинг ~ маркетинг при