Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Редуцированные полукольца

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30


Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

 «Редуцированные полукольца»

                                Работу выполнил студент

  математического факультета

  

\Подпись\ ____________

                                          Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

                          .                                                                   

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

                                                    

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

                                                                           «___»________________

Декан факультета _______________.

                                                                           «___»________________

Киров, 2003.

План.

  1.  Введение.
  2.  Основные понятия, леммы и предложения.
  3.  Доказательство основной теоремы.

 1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и  называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

  1.  (S, +)  коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
  2.  (S, )  полугруппа с нейтральным элементом 1;
  3.  умножение дистрибутивно относительно сложения:

                  a(b + c) = ab + ac,  (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c  S;

  1.  0a = 0 = a0 для любого a S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

  1.  S слабо риккартово;
  2.   a, bS  (D(a)D(b)= =);
  3.  все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
  4.  все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P  M  Op=OM для  P Spec S  и M Max S;
  5.  каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
  6.   a, b S (ab = 0  Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

 2.Основные понятия, леммы и предложения 

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

 Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c  S выполняется

 abc = abc  acb = acb.

 Определение 4. Элемент aS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

 Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда

                  baba = baba  и   baba = baba,

откуда              

                          baba + baba = baba + baba

или иначе    

                               (ba)+ (ba)= baba + baba.

В силу редуцированности  ba = ba, т.е.

                                    ab = ab  ba = ba.                                       (1)

 Аналогично доказывается  ba = ba  ab = ab.

Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bac   и         acb = acb. Значит, имеем:

          ab = ab  acb = acb, ba = ba  bca = bca.                (2)

 Пусть сейчас abc = abc. Тогда

 abc = abc  acbc = acbc  acbac = acbac  acbacb = acbacb  и           

acbacb = acbacb  (acb)+ (acb)= acbacb + acbacb  acb = acb.

Таким же образом доказывается другая импликация.

 Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0  a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n  2, то c= 0 для k   с условием n  2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

 Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+

 a    b    1

a

b

1

 a    b    1

b    b    b

1    b    1

 

 a    b    1

a

b

1

 a    a    a

 b    b    b

 a    b    1

                                                    

 Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa  ba. Во-вторых, S –полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.                              

 Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB  P влечёт A  P  или  B  P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

 Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a  P  или  b  P для a, b  S.

 Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b  S \ P найдётся элемент s  S такой, что asb  P. Если S  коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b  P влечёт ab  P.

 Доказательство: Пусть P  первичен и элементы a, b  P. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t  aSb не принадлежит P, поскольку t =  для некоторых   u,v,w S, то хотя бы для одного i  {1,…,k} a vb  P, ибо в противном случае каждое слагаемое  uavbw лежит в P,   и   следовательно, t  P.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A  P. Тогда найдётся a  A \ P. Предположим, что B  P. Получим, что некоторый элемент b  B \ P  и по условию asb  P для подходящего s S. Но тогда и  AB  P, и следовательно, P  первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется mсистемой, если 0 T, 1 T  и для любых a, b  T найдётся такой s S, что asb  T.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где   n    и  a  0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения.              0  T, 1 T и для a,a T     с = 1S : aсa= a T. Таким образом, T является mсистемой.

Легко увидеть, что  если   P – первичный  идеал, то   S \ P      является m-системой. И хотя дополнение до  mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T  mсистема, а J  произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих  J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P  J, P  T =  и P  максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb  P для некоторых a, b  P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T.  Пусть  m  (P + SaS)  T,   r  (P + SbS)  T   и   msr  T для некоторого sS. Но, с другой стороны,

 msr  (P + SaS)  (P + SbS)  P +SaSbS  P.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb  P неверно, и P  первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M  A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.

 Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним mсистему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a  S множество

Ann aS = {t  S: (s  S) ast=0} называется аннулятором элемента a.

Ann aS  является двусторонним идеалом полукольца S.

Ann a ={s  S: as = 0}  правый идеал и Ann aS  Ann a.

Определение 10. Для любого идеала P множество                                   Op = {s  S: (tP) sSt = 0} = {s  S: Ann sS  P} называется Oкомпонентой идеала P.

 Лемма 1. Op   является идеалом  для любого первичного идеала P.

 Доказательство: Пусть a, b  Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u  P. В силу первичности P   tsu  P для подходящего s  S. Для любого v  S

  (a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as  Op,       и Op  идеал.

 Лемма 2. Пусть P  M  первичные идеалы полукольца.

Тогда OM  Op  P.

 Доказательство: Пусть a  OM, тогда aSt = 0 для некоторого t  M. Поскольку t  P, то a  Op, и значит, OM  Op. Для любого s  S   0 = ast  P. Поскольку P первичен, то a  P или t  P, отсюда a  P, и следовательно,    Op   P.

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P симметрического полукольца S верна импликация:

P  P  не содержит первичных идеалов  Op P.

Доказательство:  Предположим, что Op  P.   Полагая  A = S \ P    и     B = S \ P, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A  B. Покажем, что AB  Op = .  В  самом деле,  если                 s  AB  Op, то sb = 0 для некоторого b  A, т.е. {0}  AB. Поскольку s является произведением элементов из A  B, то в силу первичности идеалов P и P  и  свойства симметрических полуколец   uv = 0  для  подходящих         u  B, v  A. Откуда u  Op  P  противоречие.

Таким образом,  AB является mсистемой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op.   А так как   A  B  AB, то P  P  Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P.

 Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P в симметрическом полукольце, если Op  P , то пересечение P и P содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {s  S: xS (axs = bxs)}  идеал полукольца S для a, b  S.Очевидно, (a, 0) = Ann aS.

Для произвольного идеала A обозначим   пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b  S выполняется

    = (a, b).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S  полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS  для всех a  S.

 Доказательство:  При a = 1   rad S =  = Ann S = 0, т.е. S  полупервично.

Пусть S  полупервичное  полукольцо и  b . Для каждого     первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b  P, во втором случае a  Op  P.   Тогда                      aSb  rad S = 0,   откуда     b  Ann aS. Следовательно,  Ann aS. Другое включение справедливо всегда.

 Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.  

 Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

 Доказательство: Пусть c (a, b) для a, b  S. Тогда ac  bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc  acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично   ac bc,  и  следовательно,       ac bc. По индукции ac  bc. Значит, T = {1, c, c,…}  mсистема, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом  c  S \ P.   Значит,  c , откуда       (a, b). Другое включение справедливо всегда.

Получили  = (a, b)  по определению 12  S  строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

 D(A) = {P  Spec S: A  P}.

Множество D({0}) = {P  Spec S: {0}P} = , а Spec S = D(S).

D(A)  D(B) = { P  Spec S: A  P   B  P} = { P  Spec S : AB  P} = D(AB).

 Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).

 Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

   = {P  Spec S: Ann A  P}.

 Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P  D(A), т.е. A  P, то Ann A  P, т.е. P  Y. Откуда  Y, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P . Тогда P  лежит в некоторой окрестности D(B), где B  некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

 D(A)  D(B) = , тогда AB  rad S = 0, т.е. B  Ann A.

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно,        P  Y . Получили Y  .

 Лемма 5. Пусть P  первичный идеал  редуцированного полукольца S. Тогда P = Op  P  минимальный первичный идеал.

 Доказательство: Пусть P = Op ,  P  Spec S  и  P   P.    Тогда              Op  OP  P . Поэтому P = P, и  P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a P \ Op. Степени элемента a образуют mсистему (0 {a}, 1{a} и для a,a{ a}               с = 1S : aсa= a{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если a Op , n  , то ab = 0 для некоторого b S \ P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть a  Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P  Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P  P ,что противоречит минимальности P. Значит, P  Op. Также  Op  P (Лемма 2). Тогда P = Op.

 Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

 Доказательство: В самом деле, если a, b  S \ P, то asb  P для подходящего  s  S, откуда asb  0 и ab  0.

 Определение 14. S –слабо риккартово  a  S b  Ann aS      

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N –полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём          a = 0 N. Тогда  Ann aS  =  N. В результате получим, что Ann aS + Ann b =  N. Теперь возьмём a  N  \ {0}. Тогда  Ann aS  =  {0}, а  Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N –слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

 3. Доказательство основной теоремы.

 Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

  1.  S слабо риккартово;
  2.   a, bS  (D(a)D(b)= =);
  3.  все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
  4.  все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P  M  Op=OM для  P Spec S  и M Max S;
  5.  каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
  6.   a, b S (ab = 0  Ann a + Ann b = S);

Доказательство:  Пусть S  редуцированное полукольцо. Такое S  симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)3)4)5)6)1) и 2)6).

 1)3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P  Spec S и ab Op при a, b  S.

 Тогда  сS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для  s  S.

Возьмём s = 1  abc = 0  bc  Ann aS (по определению Ann aS). Но         Ann aS  Ann a . Тогда bc Ann a. По условию 1)  S  слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a S,  bc  Ann aS.

 e Ann aS,  f Ann bc: e + f = 1 (1S).

Предположим, что a Op  Ann aS  P (по определению Ann aS)  e P.

Тогда f P, т.к. в противном случае 1P. Но P  первичный идеал  P  собственный  1P.

 f Ann bc  bcf = 0. Т.к. S  симметрическое  bScf = 0. Но cf P (т.к. c P, f P , а P  первичный идеал)  b  Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P  Spec S, вполне первичны.

)4). По условию 3 все идеалы Op , где  P  Spec S, первичны. Но              M  Max S –является первичным идеалом (предложение  4), т.е. M  Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM ,  где          M  Spec S  и M  Max S, первичны.

 Пусть P  M. Тогда OM    Op (лемма 2).

Если a  Op , т.е. ab = 0 при  некотором  b S \ P и s = 1S, то a OM , ибо       b OM    P, а  ab = 0 OM  и  OM  псевдопрост (доказано выше). Значит и         Op  OM  . Тогда Op = OM .

 4)5). Пусть P –первичный идеал из S и P  M. По условию 4) данной теоремы OM –первичный идеал и так как P  M  Op = OM . Также Op  P (Лемма 2). Докажем, что  OM –минимальный первичный идеал в S, лежащий в P.   Пусть в P лежит  Q  минимальный первичный идеал полукольца S.   Но    Q  M  OM   OQ  Q. По условию 4) данной теоремы  OM   = OQ.  . Так как     Q –минимальный первичный идеал  OQ  = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что  Op = OM  =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P   произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP  = OM (по условию 4)). Также OP  = P  .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP = P  . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M Max S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

 5)6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b  S для некоторых a, b S.

Тогда Ann a + Ann b  M для подходящего M  Max S.  

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM   P (Лемма 2). Предположим, что    a  P \ OM .     Степени    элемента a образуют mсистему (0 {a}, 1{a} и для a,a{ a}   с = 1S: aсa= a{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если a OM, n  , то ab = 0 для некоторого b S \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a OM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P  OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w  S \ P и q, w  S \ P . Тогда s  S: qsw  P   qsw  P  P     P  P  первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит         P  OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aOM  или b OM. Откуда по определению нулькомпонент Ann a M  Ann bM               Ann a + Ann b  M  противоречие  Ann a + Ann b = S.

 6)1). Возьмём a, b S: ab = 0   b  Ann aS.

 Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо Sслабо риккартово, что и требовалось доказать.                  

 2)6). Пусть a, b  S и ab = 0. D(a)  D(b) = {PSpec S: aP  bP} = { PSpec S: ab  P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = .

Обратно, D(a)  D(b) ={PSpec S: aP  bP} ={PSpec S: ab  P}=D(ab) =  ab = 0, так как D(x) =   x = 0.

 Таким образом, ab = 0  D(a)  D(b) = .

Так как S –симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

 = {SSpec S: Ann aP  Ann bP} = .

Тогда Ann a + Ann b  M для  M  Max S  Spec S  Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S  Ann aM  Ann bM для подходящего M  Max S  Spec S.

Тогда   = {S  Spec S: Ann a P  Ann b P} = . Таким образом, условия 2) и 6) равносильны. 

Теорема доказана полностью.

 Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0  и  a + b  A  a  A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b A. Так как  условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него.  Тогда   Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c Ann a  и      k Ann b.

 c  Ann a  ac = 0 (по определению аннулятора).

 k  Ann b  bk = 0.

a = a1 + 0 = a(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)k = (a + b)k A.

 Получили a A, что и нужно было доказать.

 

Литература.

  1.  Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». –М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.
  2.  В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997.  131 с.




1. Прокурорский надзор за исполнением законов при рассмотрении уголовных дел военными судами
2. Река Хуанхэ и ее оссобенности
3. Ну что как Он снял свой серый халат и ответил-
4. ПРАВИЛА СТРЕЛЬБЫ И УПРАВЛЕНИЯ ОГНЕМ АРТИЛЛЕРИИ
5. Технологический процесс изготовления платья-кимоно из шелковой ткани
6. Subject over from the Continent when they invded Britin nd it ws mde into poem somewhere bout the 7th century.
7. Договоры страхования ответственности особенности взаимного страхования
8. Закона Украины об охране труда 7 1
9. Кинематика 1Три способа задания движения точки
10. ПУТЕШЕСТВИЕ К МУДРОЙ СОВЕ Задачи игры- развитие у детей уважительного отношения к жизни растительног
11. Вейделевская средняя общеобразовательная школа Вейделевского района Белгородской области П.html
12. тема римского права1
13. I. Si se le encuentr culpble el cstigo ser~ conden perpetu que en Sud~fric signific un m~nimo de 25 ~os de c~rcel
14. НАРОДНЫЙ СТРАЖ 1
15. Солистами Нижнего Новгорода
16. Загадочный канон Рамоса де Парехи
17. Согласовано Согласовано Начальник упра
18.  Официальный анамнез Ф
19.  Длительное психоэмоциональное напряжение и отрицательные эмоции ведущий предрасполагающий фактор гипер
20. Массаж при хроническом гастрите и гастроптозе