Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Объекты входящие в множество ~ его элементы

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30

Вспомогательные положения

Множество – некоторый набор (совокупность) объектов.

Объекты, входящие в множество – его элементы.

(здесь – множество натуральных чисел).

Множество A, все элементы которого принадлежат множеству X, называется подмножеством множества X:

Если нужно написать, что элемент входит в множество , то пишут:

.

Не принадлежит:

;

.

Пустое множество обозначается следующим образом: ∅.

Пусть заданы множества A и B. Тогда суммой или объединением этих множеств будет:

– множество, состоящее из элементов, входящих или в A или в B или в оба.

Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество , состоящее из элементов, входящих как в A, так и в B одновременно.

A

B

Разностью называется множество, состоящее из элементов, входящих в A, но не входящих в B:

A

B

A\B

Пусть . Тогда дополнением X в E называется множество X', состоящее из элементов, входящих в E, но не входящих в X:

.

Очевидно: X'' = X.

X

Справедливы следующие равенства:

;

.

Доказательство:

Пусть
. Тогда и .

A

B

E

x

Функции

Пусть заданы два множества: и .

Предположим, что каждому элементу  из множества E по некоторому закону  в соответствие ставится один и только один элемент  из множества G.

Тогда  называется функцией (отображением, оператором), определенной на множестве E со значениями в множестве G.

или

или

.

Например: , где:

E – действительные числа, G – действительные числа (неотрицательные числа).

.

Или обычная запись равенством: .

Если , то  называется образом  при отображении , а  – прообразом  при отображении .

Пусть . Тогда обозначим через  множество , таких что :

Тогда:

– образ множества  (оно состоит из образов элементов ).

Aпрообраз множества B при отображении f.

E

G

A

B

y=f(x)

Можно показать, что выполняются следующие равенство и включение:

;

.

E

A

B

G

f(A) (A)

F(B)

Отображение (функция)  называется инъективной, если прообраз каждого элемента из  (для которого прообраз существует) состоит из одного элемента (разные точки из  имеют разные образы в ).

Например, – не инъективна.

Множество  множество значений функции.

Если , то отображение называется сюръективным.

Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется биективным.

В этом случае  устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами  и .

Если  – биективное отображение, то для функции  можно построить (легко видеть как) функцию , которая называется обратной функцией к функции .

E

G

x

y

f

f-1

Тогда получаем, что определена на множестве ; её значения лежат в множестве  и выполняются следующие равенства:

;

.

Мощности. Счетные и континуальные множества

Сравнивая бесконечные множества, заметим, что существуют биекции этих множеств на их некоторую часть (на подмножество).

x

y

Оказывается, что справедлива следующая теорема Берштейна:

Пусть  и  – произвольное множество. Тогда:

  1. Либо существует инъекция из  в , либо существует инъекция из  в  (оба обстоятельства не исключают друг-друга).

Заметка: Если является инъекцией , то в множестве  точек «больше», чем в множестве .

  1. Если существует одновременно инъекция из  в  и инъекция из  в , то существует биекция  на .

Следствие:

Для заданных множеств  и  имеются только три возможности:

  1. Существует инъекция из  в  и не существует инъекции из  в .

Тогда говорят, что  имеет мощность строго большую мощности  (мощность  строго меньше мщности ).

  1. Существует инъекция из  в .

Тогда говорят, что множество  имеет мощность строго большую, чем мощность множества  (мощность  строго меньше мощности ).

  1. Существует биекция  на . В этом случае говорят, что множества  и  имеют одинаковую мощность (равномощны).

Класс всех множеств, равномощных данному множеству, называется мощностью этого множества или его кардинальным числом.

Счетное множество – множество, имеющее мощность множества  целых натуральных чисел, т. е. множество является счетным, если можно установить взаимно однозначное соответствие <биекцию> между его элементами и элементами множества натуральных чисел.

Континуальные множества – множества, имеющие мощность множества действительных чисел.

Частично упорядоченные множества

Множество  называется частично упорядоченным, если для некоторых пар  и  элементов множества введено некоторое соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:

  1.  
  2.  
  3.   аксиома №3 не обязательна)

Пример 1:

Пространство матриц.

Введем в него соотношение порядка следующим образом:

Матрица , если матрицы  и  имеют одинаковые размеры, и все элементы матрицы  меньше или равны соответствующих элементов матрицы .

Пример 2 (естественный):

Рассмотрим некоторое множество  и обозначим через множество всех подмножеств множества .

Превратим множество в частично упорядоченное множество, считая, что для двух элементов  и  (некоторых подмножеств множества ) выполняется , если , т. е. все точки множества  принадлежат множеству .

Множество  – линейно упорядоченное, если любые два его элемента сравнимы. Например, действительные числа (натуральные...).

Подмножество  множества  называется ограниченным сверху, если в множестве  существует такой элемент , что для всех  выполняется неравенство . Элемент  при этом называется мажорантой множества .

Элемент  множества  называется максимальным элементом, если для всех элементов , сравнимых с , выполняется неравенство:

.

Лемма Цорна

Если в частично упорядоченном множестве  всякое линейно упорядоченное множество имеет мажоранту, то в множестве  существует максимальный элемент.

«Аргумент слаб - повысить голос»

У.Черчилль.

Линейные пространства

Определение

Пусть задано некоторое множество . Предположим, что в этом множестве:

  1. для любых двух элементов  и  определен единственным образом элемент, который будем обозначать , и называется суммой элементов и ;
  2. для любого элемента из и произвольного числа определен единственным образом элемент из , который мы будем обозначать и называть произведением элемента на число .

При этом выполняются следующие аксиомы:

  1.   – коммутативность сложения;
  2.   – ассоциативность сложения;
  3. в множестве  существует элемент (обозначим его ), такой что   для любого из ;
  4. для каждого  существует в множестве элемент, который обозначим , такой что  ( – элемент, противоположный элементу );
  5.    для любого элемента ;
  6.    – ассоциативность умножения для любого и произвольных чисел и ;
  7.    для любых чисел и , и произвольного числа ;
  8.    для любых чисел и и произвольного элемента .

Тогда называется линейным (векторным) пространством, а его элементы – векторами линейного пространства.

Примеры:

  1. Матрицы одного размера.

Операции сложения и умножения на число вводятся естественным образом.

– матрица, состоящая из всех нулевых элементов.

Противоположным элементом в этом пространстве для каждой матрицы будет матрица, элементы которой совпадают по величине с исходной матрицей, но противоположны по знаку.

  1. Множество векторов (например, на плоскости).

[?] Будет ли линейным пространством множество квадратных трехчленов?

Ясно, что это множество не будет линейным пространством:

  1. Множество функций, непрерывных на промежутке :

Линейная зависимость и независимость

Определение

Векторы линейного пространства называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна :

 

(некоторые числа)

только в одном случае – если:

<здесь – нулевой элемент (но не вектор), а 0 – число>

Векторы – линейно зависимы, если существует такой набор чисел, не все из которых равны нулю, что выполняется равенство:

.

– линейно зависимы

 

Если – это значит, что диагональ параллелограмма равна нулю, значит стороны равны нулю:

,

.

Но и не равны , т.к. векторы неколлинеарны.

Отсюда следует, что .

Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Доказать (!)

В пространстве линейно независимыми могут быть не более трех векторов (три некомпланарных вектора линейно независимы).

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Максимальное число линейно независимых векторов, «помещающихся» в пространстве, – размерность пространства.

Определение

 линейно независимых векторов в -мерном пространстве называется базисом этого пространства.

Однако, бывают пространства, не имеющие конечной размерности. Примером такого пространства может служить пространство непрерывных функций . Покажем это. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке .

Чтобы показать, что это пространство не является конечномерным, нужно построить бесконечную систему векторов этого пространства, такую, что любое конечное подмножество этой системы векторов было бы линейно независимой системой векторов.

 

0

1

0

1

0

1

Любое конечное число построенных функций будет линейно независимо. Например:

,

,

.  (1)

Равенство верно в любой точке t (!!!)

Равенство верно только когда все .

Тождество (1) выполняется при всех t.

Возьмем точку. В точке:

! Уже равенство (=), а не тождество () !

Также, подставляя точку, получим, что и т.д.

Т.е. в пространстве (а значит и в  ) существует любое количество линейно независимых векторов, поэтому такие пространства называются бесконечномерными.

Отметим, что функциональный анализ изучает бесконечномерные пространства и функции в этих пространствах.


1. Контрольная работа- Внедрение инновационного проекта в медицине
2. Особенности посева кукурузы трактором МТЗ-80
3.  ЭКОНОМИКА ПРЕДПРИЯТИЯ ЗАДАЧА 1 Определить плановую расчетную рентабельность при следующих данных- сме
4. Виды и особенности промышленной деятельности исправительных учреждений
5. Санаторный детский дом 39 Цель- Познакомить детей с компьютерным классом
6. Курсовая работа Основные аспекты уголовной ответственности за хулиганство
7. Конституцией. Естественно это не могло появится само собой все это нужно было создавать
8. Государство и экология1
9. экономика часто используется для характеристики общественного производства
10.  Причини та умови виникнення філософії
11. Секрет или прочитавших книгу убедились- Закон Притяжения работает Просто надо научиться правильно его и
12. Тема 4- Роль темпераменту в діяльності людини
13. Анатомия половых органов самцов жвачных и однокопытных
14. Тема реферату обирається з наведеного переліку і узгоджується з викладачем теми не мають повторюватися ко
15. Как римская республика стала самым развитым государством Средиземноморья Провозглашение Римской респ
16. Измеритель дисперсии случайного процесса
17. Контрольная работа- Социально-экономический анализ развития Пермского края
18. Охрана и способы защиты прав ребенка
19. Петербургского союза журналистов Усиление роли процессов этнической идентификации в общественной жизн
20. Охрана водных объектов