Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Лабораторная работа 4 По дисциплине- САПР Выполнил- ст

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30


Министерство науки и образования, молодежи и спорта Украины

Донецкий национальный технический университет

Кафедра АТ

Лабораторная работа №4

По дисциплине: «САПР»

Выполнил: ст.гр.СУА-13м

Пихно Эдуард

Приняла: Жукова Н.В.

Г.Донецк, 2013г.

Проектирование наблюдателя LQG регулятора средствами Control System Toolbox

Цель: Изучение методик и математического апарата для проектирования наблюдателяLQG регулятора.

Теоретические сведения.

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление (LQG control) относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений, действующих в цепи управления и измерений в виде белого гауссовского шума (БГШ).

Рассматривается модель объекта управления в пространстве состояний с учетом шумов:

(1)

где - матрицы динамики, управления и измерения соответственно; - БГШ со следующими характеристиками:

Для простоты будем полагать, что .

Функционал качества оптимального управления можно представить в виде:

,   (2)

где - вектор состояния объекта управления, - симметричные положительно-определенные матрицы коэффициентов веса по переменным состояния и управляющему воздействию, такие что, , . Обратите внимание, что будет скаляр, если система (1) имеет один вход и один выход (SISO - модель). Тогда оптимальное управление по критерию (2) имеет вид:

,  (3)

где - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию оптимального регулятора, - решение AER ().

Синтез LQG-регулятора включает две задачи:

1. Синтез оптимального регулятора состояния по критерию (2), был нами ранее рассмотрен и выполнен.

2. Синтез наблюдателя состояния, учитывающий помехи, действующие на объект, так называемый фильтр Калмана.

Решение задачи синтеза LQG-регулятора средствами Control System Toolbox.

Фильтр Калмана.

Фильтр Калмана является аналогом наблюдающих устройств детерминированных систем управления. Параметры фильтра Калмана определяются однозначно, если известны статистические характеристики помех, воздействующих на объект и (или) искажающих результаты измерений. Следует отметить, что далеко не всегда эти характеристики известны с достаточной степенью точности, так, что их приходится задавать в достаточной степени произвольно, а это в свою очередь, сказывается на характеристиках всей системы. Фильтр Калмана минимизирует среднеквадратическую ошибку оценки состояния системы, т.е. среднеквадратичную разность между истинным состоянием  и его оценкой : (ковариационная матрица ошибок оценки: ). Тогда истинный вектор состояния объекта заменяется на восстановленный и исходная задача может быть сведена к классической задаче LQR – управления.

Структурная схема фильтра представлена на рис.1.

Рис.1 – Структурная схема фильтра Калмана

Здесь матрица коэффициентов фильтра, определяется следующим образом:

, (4)

где удовлетворяет алгебраическому уравнению Риккати:

, (5)

симметричная положительно-определенная матрица, т.е. .

Для работы с фильтром Калмана в Control System Toolbox имеется команда:

[Gk, Kf, Pf]=kalman(G,,),

где G – расширенная модель объекта в пространстве состояний с учетом БГШ, т.е. , , ; а  заменяется на , т.к. объект задан уравнением (1);

Gk – модель фильтра Калмана в пространстве состояний;

Kf  – матрица коэффициентов фильтра Калмана;

Pf  – решение уравнения Риккати (ковариационная матрица ошибок оценки Pf = или дисперсии).

Принцип разделения (separation principle) при проектировании LQG – регулятора.

После получения оптимальной оценки состояния структурную схему замкнутой системы с LQGcontroller можно представить на рис.2 с оптимальным управлением: и матрицей коэффициентов обратной связи по состоянию оптимального LQR - регулятора .

Рис.2 – Структура замкнутой системы с LQG – регулятором

Отсюда следует, что в LQG оптимальном управлении задачи оптимальной оценки состояния объекта и оптимального управления решены раздельно (так называемый «принцип разделения»). Т.е, сначала синтезируется фильтр Калмана и на полученной оценке состояния, как если бы вектор состояния точно измерялся, проектируют оптимальный LQR –регулятор.

Наблюдатель- LQG регулятор.

Для объекта

синтезируется оптимальный LQG – регулятор по критерию

,  (6)

где может быть выбрана как zero matrix.

Структурная схема наблюдателя- LQG регулятора представлена на рис.3.

Рис.3. – Структура наблюдателя- LQG регулятора

Предполагают, что матрица коэффициентов обратной связи по состоянию и коэффициенты матрицы фильтра Калмана Kf  определены по принципу разделения. Тогда наблюдатель- LQG регулятор может быть формализован следующим образом исходя из структурной схемы (рис.3):

,

Т.е.

 (7)

или в матричной форме:

.  (8)

Для работы с LQG регулятором в Control System Toolbox имеется команда:

Gс=-lqg(G,W,V)

или

[Af, Bf, Cf, Df]=lqg(A,B,C,D, W,V),

где [Af, Bf, Cf, Df] –модель LQG регулятора в пространстве состояний;

матрицы W, V могут быть заданы так: , , где ковариационные матрицы шумов , действующих на объект с и часто предполагаемыми как zero matrix. Отсюда очевидно, что матрица V это взаимокорреляционная функция сигналов с . - симметричные положительно определенные матрицы коэффициентов веса LQR-регулятора, .

Выполнение работы (вариант 8)

Синтез LQG-регулятора.

1. Модель системы в пространстве состояния имеет вид:

Переменные состояния обозначены следующим образом:

 – Перемещение тележки №1;

– Перемещение тележки №2;

– Угол отклонения маятника;

– Скорость изменения перемещения тележки №1;

– Скорость изменения перемещения тележки №2;

– Скорость изменения угла отклонения маятника.

Рассчитаем значения элементов матрицы с помощью программы MATLAB:

2. Формирование БГШ и ковариационных матриц:

%% Синтез LQG-регулятора

% Формирование БГШ и вычисление ковариационных матриц

Pin = 2e-3;                                 %Мощность шума на входе

Pout = 1e-3;                                %Мощность шума на выходе

NoiseIN = wgn (1,length(t),Pin,'linear');   %Вектор шума на входе

NoiseOUT = wgn (1,length(t),Pout,'linear'); %Вектор шума на выходе

FnoiseIN = lsim(Wfil,NoiseIN,t);            %Фильтрация шума на входе

FnoiseOUT = lsim(Wfil,NoiseOUT,t);          %Фильтрация шума на выходе

 

%Ковариационные матрицы

XI = cov(FnoiseIN);

THETA = cov(FnoiseOUT);

Nx=G*XI*G';

3. Синтез фильтра Калмана-Бьюси

% Синтез фильтра Калмана-Бьюси

Br=[B G,eye(6,6)];

Dr=[0];

Gr=ss(A,Br,C,Dr);

[Gk,Kf,Pf] = kalman(Gr,XI,THETA);

Kf = real(Kf);

4. Синтез LQG-регулятора.

% Синтез LQG-регулятора

Q=diag([50 50 50 1 1 1]);

R=0.001;

W=[Q zeros(6,1); zeros(1,6) R];

V=[Nx zeros(6,1); zeros(1,6) THETA];

[Ag,Bg,Cg,Dg]=lqg(A,B,C,D,W,V);

LQG_Reg = ss(Ag,Bg,Cg,Dg);

5. Получим модель системы с помощью функций append и connect.

% Система с LQG-регулятором

Object = ss(A, [G B zeros(6,1)],C,[0 0 1]);

Sys = append (Object, LQG_Reg);

inputs = [1 3 4];

outputs = [1];

Qio = [2 2; 4 -1];

System = connect(Sys,Qio,inputs,outputs);

U_f3 = [FnoiseIN FnoiseOUT step];

[~,~,Xlq] = lsim(System,U_f3,t);

Build_Graph_Int(t,Xlq(1:6));

Рисунок 7 – Графики переходных процессов в системе с LQG-регулятором

6. Промоделируем работу системы в Simulink. Можно воспользоваться одной из нижеприведенных схем:

Рисунок 8 – Схема моделирования системы в Simulink №1

Рисунок 9 – Схема моделирования системы в Simulink №2

В результате были получены следующие графики:

Выводы по работе: в результате выполнения лабораторной работы я изучил методы проектирования линейных систем при случайных воздействиях проектирования фильтра Калмана-Бьюси. Освоил методики и математический аппарат для проектирования наблюдателяLQG регулятора. Приобрел навыки работы с пакетом Matlab при анализе преобразования случайных процессов динамической системой. В ходе работы был синтезирован фильтр Калмана-Бьюси, который вместе с LQR-регулятором позволил добиться хорошо качества ПП. Также был синтезирован оптимальный LQG-регулятор, но в данном случае качество ПП значительно ухудшилось по сравнению с системой с фильтром Калмана.




1. Влияние водных ресурсов на жизнедеятельность человека
2. Гормоны растений
3. Специальный характер правового регулирования несостоятельности (банкротства)
4. При желтухах в крови кроме билирубина накапливаются и другие компоненты желчи желчные кислоты их соли а
5. ые этические системы
6. Быть энтузиасткой сделалось ее общественным положением и иногда когда ей даже того не хотелось она чтобы
7. 20 г
8. Организация судебной власти
9. физические упражнения
10.  означает номер утверждения в опроснике
11. это зрение одним глазом
12. ІП пацієнта- Вік- І
13. Анализ финансового состояния ЗАО Телмос
14. Социосфера РоссийскоАрмянский Славянский государственный университет Шадринский государственн.html
15. Ломаная кривая спроса для олигополиста обязательно предполагает- Разрыв в кривой предельного дохода Бу
16. Пульпит
17. Вариант 5 Часть 1 При выполнении заданий этой части в бланке ответов 1 под номером выполняемого вами зада
18. Контрольная работа- Системный подход в менеджменте страховой деятельности
19. от Рождества Христова
20. Контрольная работа Теория литературы и практика читательской деятельности Преподаватель ~ Подобрий А