Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Квадратные матрицы

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30


21. Квадратные матрицы.                                 

Квадратной матрицей называется

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

Главная диагональ называется совокупность (а11, а22, аnn). Другая диагональ называется побочной или второстепенной. Квадратная матрицы называется треугольной, если ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны 0.

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы симметричны относительно главной диагонали.

Квадратная матрица называется единичной, если все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, а на главной диагонали 1.

Е - единичная матрица.

Еnесли нужно подчеркнуть размерность.

  1.  Аm*n*En=Am*n
  2.  Enn*Am*n=Am*n

             

22. Определитель квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое называется определителем.

Определителем 2 порядка, который соответствует квадратной матрице 2 порядка

А=    а11  а12

          а21  а22      называется число  ∆=      

                     a11    a12

                     a21    a22    =a11*a22-a21*a12=det A

Пример:

  ∆=           1       2

                 3       4      =1*4-2*3=-2

Замечание: неквадратная матрица определителям не соответствует.

Определителем 3 порядка, который соответствует кв. матрице 3 порядка,

         а11   а12    а13

А=     а21     а22    а23   

         а31    а32     а33   называется число

          а11   а12    а13

∆=      а21     а22    а23   

         а31    а32     а33     = а11*а22*а33+а12*а23*а31+а21*а32*а13-а13*а22*а31-а32*а23*а11-а21*а13*а33.

При вычислении определителя 3 порядка удобно пользоваться «правилом треугольников».

Минором элемента аiJ называется определитель порядка n-1, получаемый из  ∆, вычеркиванием i-строки и j-столбца. Алгебраическим дополнением Аij к элементу аij называется число (-1)i+j.

Теорема: определитель n-порядка равен сумме произведений любой его строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

∆=

23.  Свойства определителей.

1.  Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:

  ∆=    1       2

           3       4   =1*4-2*3=-2

  ∆|=    1      3

           2       4   =1*4-2*3=-2

2.Определитель, содержащий нулевую строку или столбец, равен 0.

3.Если 2 строки (столбца) определителя поменять местами, он изменит знак на противоположный.

4. Определитель, содержащий 2 одинаковые строки (столбца), равен 0.

5. Если все элементы строки (столбца) определителя умножить на некоторое  число k, то и значение определителя изменится в k раз.

6. Определитель, содержащий пропорциональные строки или столбцы, равен 0.

7. Определитель не меняется, если к элементам одной его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умножить на одно и то же число. (тоже верно и для столбцов).

24. Система линейных ур-ний. Правило Крамера.

Общий вид системы из m уравнений  с n неизвестными следующий:

a11x1+a12x2+..a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+..a2nxn=b2,

am1x1+am2x2+..amnxn=bm

где аij i=1,m  j=1,n  коэффициенты; b1,b2…,bm – свободные члены; x1,x2,..,xn переменные(неизвестн)

                          а11   а12   а1n  

Матрица  А=   a21    a22   a2n

                           am1   am2   amn

называется основной матрицей системы.

Матрица

          а11   а12   а1n  b1

С=      a21    a22   a2n  b2

          am1   am2   amn   bm    (1)

расширенная матрица системы.

Набор чисел (α1,  α2,  αn) называется решением системы (1), если при подстановке чисел α1,  α2,  αn в систему (1) каждое из ур-ний системы обращается в верное равенство. Система(1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместная система решения не имеет.

Система(1) называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет несколько решений.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными(n=n).

a11x1+a12x2+..a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+..a2nxn=b2,

an1x1+an2x2+..annxn=bn

Рассмотрим матрицу

        a11   а12    a1n

А=   a21    a22     a2n

           an1    an2      ann     и матрицы А1, А2, .., Аn, где матрица Аj    j=1,n получается из матрицы Аij замены j столбца на строку без свободных членов.

         b1   a12   a1n

А1=   b2    a22   a2n

         bn    an2   ann

          a11   b1      a1n

А2=   a21    b2       a2n

         an1    bn    ann

Пусть определитель матрицы А не равен 0, тогда системы уравнений совместно и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

x1=, x2=, xn=

Замечание: если det A=0, то возможны два случая:

  1.  Хотя бы один из определителей матрицы не равен 0,  то решений нет.
  2.  Если все определители равны 0 требуются дополнительное исследование.

25. Равносильные системы.

Две системы ур-ний наз. Равносильными, если они имеют одни и те же решения, т.е. каждое решение одной системы являются решением другой и наоборот.

Элементарными преобразованиями системы называются следующие 3 операции:

  1. Умножение обеих частей одного из ур-ний на число, отличное от 0.
  2. Умножение обеих частей одного из ур-ний на число, отличное от 0 и сложение обеих частей полученного уравнения с соответствующими частями др. ур-я системы.
  3. Добавление в систему или исключение из нее ур-я вида 0*х1+0*х2+0*хn=0

Теорема: Элементарные преобразования ур-ний системы приводит к эквивалентным ей системам.

На эквивалентных преобразованиях системы основан метод Гаусса.  Его идея состоит в том, чтобы с помощью эквивалентных преобразований привести систему к такому виду, из которого ее решение легко усматривается.




1. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Одеса ~ Дисерта
2. Практикум для студентов дневного и заочного отделений специальности Менеджмент организации
3. Разработка комплекса мероприятий по продвижению товара
4. Магнитные носители информации Запись информации на магнитные носители
5. вступает в сотни отношений с другими людьми
6. Государство ~ выделившийся из общества политико территориальное суверенное организация особой публичной в
7. изменение развитие влечет за собой разноплановые структурные изменения; рост структурные изменения к.html
8. Метафизических основах правовой науки
9. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5
10. Сочинение- Олимпийские игры
11. 47 это старый довоенный рецепт со слегка повышенным контрастом и великолепной резкостью
12. Лекція 12. Адаптивне управління
13. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Київ ~ Дис1
14. тема сжатого воздуха Требования Регистра к системе сжатого воздуха Число воздухохранителей и запас пуско
15. Заказать звонок Осуществляем грузоперевозки по Омску и омской области ~ перевозки различных грузов- м
16. тематической картографии связанное с созданием и использованием социальноэкономических и экономических к
17. Определите количество предикативных частей в анализируемой конструкции их границы внимательно прочит
18. Первичные документы по учету материалов
19. всего 45242 45370 45279 45278 45420 45370
20. Происходящая теория обучения как методологическая предпосылка инновационной деятельности в общем среднем образовании