Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.ru

Задачи с решениями по сопротивлению материалов

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-30


Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости»

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

Минск

БНТУ

2012


УДК 539.3(075.8)

ББК 30.121я7

С 23

Составители:

Е.А. Евсеева, С.И. Зиневич, С.В. Соболевский

Рецензенты:

М.М. Гарост, Л.Р. Мытько

Оформили:

М.И. Маковчик, О.П. Янцова

С 23

Задачи с решениями по сопротивлению материалов/ сост.: Е.А. Евсеева, С.И. Зиневич, С.В. Соболевский. – Минск: БНТУ, 2012. –с.

Учебное пособие содержит задачи с решениями по курсу «Сопротивление материалов» и справочный материал, необходимый для решений этих задач.

Для студентов строительных специальностей.

ISBN 978-985-525-730-2 © БНТУ, 2012


Содержание

Введение                                                                                            4

  1.  Центральное растяжение и сжатие                                           5
  2.  Геометрические характеристики сечений                              19
  3.  Кручение                                                                                    23
  4.  Плоский поперечный изгиб                                                     32
  5.  Неразрезные балки                                                                   75
  6.  Сложное сопротивление                                                          97
  7.  Устойчивость                                                                          115
  8.  Динамика                                                                                 123
  9.  Приложение                                                                             133


Введение

   Учебное пособие содержит подробное решение типовых задач по курсу «Сопротивление материалов». Рассмотрены расчеты прямого бруса при различных видах деформации, включены задачи на кручение, устойчивость и динамическое действие нагрузки. Уделено внимание решению статически неопределимых стержневых систем и неразрезных балок.

   Данное издание позволит выработать навыки в решении задач курса и облегчит самостоятельную работу студентов строительных специальностей при выполнении расчетно-проектировочных заданий.

  1.  ЦЕНТРАЛЬНОЕ  РАСТЯЖЕНИЕ  И  СЖАТИЕ.

З а д а ч а 1.1.

Ступенчатый стержень находится под действием внешних сил F. Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости E=200 ГПа.

Требуется: построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывать.

F1=60 кН,

F2=20 кН,

F3=100 кН,

F4=30 кН,

А1=6 см2,

А2=12 см2,

А3=10 см2,

а=80 см,

в=100 см,

с=100 см.


 Рис. 1.1. Схема стержня.

Решение.

Для определения внутренних усилий разбиваем стержень на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и местам приложения сосредоточенных сил. Определяем, что стержень необходимо разбить на пять участков.

Проведем сечение I-I (рис.1.2а). Отбросим нижнюю часть стержня и её действие заменим нормальной силой N1. Запишем уравнение равновесия, проецируя все силы на ось стержня:

, откуда

.

На участке 1-2 нормальная сила N1 постоянна по величине.

Проведем сечение II-II (рис.1.2б) и, отбрасывая верхнюю часть стержня, заменяем её действие нормальной силой N2. Проецируем все силы на ось стержня:

, откуда

.

Аналогично находим нормальные силы в сечении III-III (рис.1.2в):

, откуда

.

В сечении IV-IV (рис.1.2г):

, откуда

,

  и  в сечении V-V  (рис.1. 2д):

,

.

Рис.1.2. Схема расчета стержня.

Рис.1.3.Эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений.

Откладывая в масштабе значение нормальных сил N1, N2, N3, N4, N5 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис.1.3а). Знак “плюс” показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а “минус” – сжатие. Для построения эпюры нормальных напряжений, воспользуемся формулой:

Определим напряжение для каждого участка:

,

,

        ,

,

           .

В масштабе откладываем значение напряжений и определяем, что максимальное значение напряжения достигает на участке I (рис.1.3б).

Для построения эпюры перемещений воспользуемся формулой:

.

Расчёт начинаем с участка V, так как перемещение в заделке отсутствует. Определим изменение длин каждого из участков:

       ,

       ,

,

       ,

       .

Перемещение участка V: ,

участка IV: ,

участка III:  ,

участка II: ,

участка I: .

В масштабе откладываем значение перемещений (рис.1.3в).

З а д а ч а  1.2.

Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R=210 МПа и модулем продольной упругости E=210 ГПа, загружена согласно схеме (рис.1.4).

Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить проверочный расчет жёсткости, если перемещение точки C не должно превышать 20 мм.

F=20кН,

q2=10кН/м,

q1=5кН/м,

а=0,8м,

в=1м,

[]=20мм.
                Рис. 1.4. Схема стержневой системы.

Решение.

Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющих. В первую очередь рассмотрим жёсткий элемент I (рис.1.5), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия.  Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее значение.

Составим уравнение равновесия:

;      ,

,

Рис.1.5. Схема жесткого элемента I.

Определим опорные реакции YA  и XA, составив уравнения равновесия:

ΣY=0,  ,

.

Знак «минус» показывает, что направление реакции необходимо заменить на противоположное.

ΣX=0, следовательно,  XA=0.

Рассмотрим жесткий элемент II (рис.1.6), приложив к нему нормальную силу N1, взятую с обратным знаком. Рассечем стержень 2, приложив к нему усилие N2.

Рис.1.6. Схема жесткого элемента II.

Cоставим уравнение равновесия:

,        ,

,

.

Определим sin. Длина стержня 2 равна:

тогда ,    

Подберём диаметр сечения для стержней по расчетному сопротивлению R:

,  .

Для первого стержня:

,,

Для второго стержня:

Определим опорные реакции YB и XB , составив уравнения равновесия:

ΣY=0, F – N1 – q2·a + N2·sinα + YB = 0,

YB =  -20 + 32 + 10·0,8 + 54,44·0,529 = - 8,79 кН.

ΣX=0,  XB + N2·cosα = 0,   XB = - N2·cosα,

  =

XB = - 54,44·0,847= - 46,09 кН.

Знак «минус» свидетельствует о том, что направление реакций YB и XB необходимо заменить на противоположное.

Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержней 1 и 2 (рис.1.7):

      ,

  

Составим схему перемещений элементов стержней системы, предположив, что жёсткие брусья будут поворачиваться относительно своих опор, оставаясь прямыми (рис.1.7).

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E и K, переместятся соответственно в точки D'',E'  и K', т.е. перемещения абсолютно жёстких брусьев будет происходить вертикально.

Определим перемещение точки D:

   ,

.


Рис. 1.7. Схема перемещений стержневой системы.

Из подобия треугольников BEE' и BDD' определим перемещение точки Е:

 

      ,

       , .

Из подобия треугольников АСС'' и АKK'' определим перемещение точки С:

    .

Жёсткость конструкции обеспечена.

З а д а ч а  1.3.

Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчётным сопротивлением материала R=210 МПа и модулем продольной упругости Е=210 ГПа, загружена согласно схеме (рис. 1.8).

Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить проверочный расчёт жёсткости, если перемещения точки С не должно превышать 20 мм.

F=20 кН,      а=1 м,

q=12 кН/м,   b=1,5м, [δ] = 20 мм.

Рис. 1.8. схема стержневой системы.

Решение.

Определим усилия в стержнях, мысленно разделив стержневую систему на 2 составляющих. Рассмотрим жёсткий элемент I

(рис.1.9).

 Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее значение, составив уравнение равновесия:

 

 

Определим реакцию в шарнире YC:


Рис. 1.9. Схема жесткого элемента I.

Рассмотрим жёсткий элемент II (рис.1.10), приложив к нему реакцию YC, взятую с обратным знаком.

Рис. 1.10. Схема жесткого элемента II.

Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему усилие N2.

Cоставим уравнение равновесия:

 тогда ,

где

Подберём диаметр сечения для стержней по расчётному сопротивлению R:

 

Для первого стержня:

Для второго стержня:

Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнение равновесия:

ΣY=0, YB - q·4a + N2·sinα + RC = 0,   

ΣX=0, -XB + N2·cosα = 0,   XB = 66,67·0,8=53,34 кН.        

 Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержня 2 (рис.1.11):

Перемещение точки С в положении С' определяется только удлинением стержня 2. Из подобия треугольников BCC' и BDD'':

Рис. 1.11. Схема перемещений стержней системы.

 Жёсткость конструкции обеспечена.

З а д а ч а  1.4.

Система, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней, загружена расчётной нагрузкой (рис.1.12). Расчётное сопротивление материала стержней R=210 МПа.

Требуется: проверить прочность стержней.

q=10 кН/м,

F=20 кН,

A1=5 см2,

A2=10 см2,

а=2 м.


Рис. 1.12. Схема стержневой системы.

Решение.

Рис. 1.13. Схема стержневой системы с нагрузкой.

Составим расчётную схему стержневой системы (рис. 1.14).

Рис. 1.14.Расчетная схема стержневой системы.

В схеме N1 и N2 – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и СС1, Yo и Xo – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-неподвижной опоры О. Таким образом, имеем 4 неизвестные реакции (N1, N2, Yo, Xo) и три уравнения равновесия ( Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для её решения требуется составить дополнительное уравнение перемещений.

Запишем уравнение равновесия:

,

,

,

.

Данное уравнение имеет 2 неизвестные нормальные силы.

Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жёсткий элемент BOC при деформации повернётся вокруг опоры О, оставаясь жёстким.

Составим схему перемещений (рис.1.15).

Рис. 1.15. Схема перемещений стержневой системы.

Из подобия треугольников ОСС' и ОВВ' определим: . Т.к. ОС=ОВ=6м, следовательно

.

Примем, что А1=А, тогда А2=2А.

Рассчитаем длину стержней:

Решаем систему уравнений:

Определим напряжение в стержнях:

Прочность стержней обеспечена.

Определим опорные реакции в точке О:

ΣY=0, YO - q·2a + N2·sin45o – N1·cos60o = 0,

YO = 10·4  + 6,974·0,707 - 2·0,5 = 43,93 кН,

ΣX=0, -XO + N1 ·sin60o + N2·cos45o = 0,

XO = 2·0,866 + 6,974·0,707 = 6,663 кН.

  1.  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ  ХАРАКТЕРИСТИКИ  СЕЧЕНИЙ.

З а д а ч а  2.1.

Для заданного сечения (рис.2.1), состоящего из прямоугольного листа и прокатных профилей требуетcя: вычислить главные центральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры.

  1.  Лист 222см,  
  2.  Уголок неравнобокий 125808,
  3.  Двутавр №18.


Рис. 2.1. Схема сечения.

Решение.

Предварительно рассчитаем и выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические  характеристики профилей, составляющих сечение.

Геометрические характеристики листа (фигура 1):

см2,

 

Геометрические характеристики уголка (фигура 2):

 ,        

                    

                  

Уголок в составном сечении повернут на 90о, поэтому моменты инерции из сортамента меняются местами.                                            Геометрические характеристики двутавра (фигура 3):

                        

         Определим положение центра тяжести сечения, предварительно выбрав вспомогательные оси xo и yo. Проведем эти оси через центр тяжести листа и рассчитаем расстояние между осями xo и yo и центральными осями каждого из элементов сечения (рис.2.2).

Рис. 2.2. Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см).

Через центр тяжести фигуры проводим центральные оси xc и yc.

Рассчитаем расстояния между осями xc и yc и центральными осями каждого из элементов сечения. Расстояния между осями xi:

 a2 = 2,84 - 2,26=0,58 cм, a3 = -10 - 2,26= - 12,26 см.

Расстояния между осями yi:

  

         Определим осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей:

,

.

         Определим центробежный момент инерции составного сечения, предварительно вычислив центробежный момент инерции уголка:

                          

Перед корнем принят знак «минус», т.к. ось Imin уголка повернута по отношению к оси y2 против часовой стрелки.

       Центробежный момент инерции всего сечения:

         

 

        т.к. фигуры имеют оси симметрии.

      Определим положение главных центральных осей сечения:

    

      Угол  откладывает от оси xc по ходу часовой стрелки (рис.2.2).

      Определим значение главной центральных осей составного сечения:

      

      

      

 

 

    Проверим правильность вычисления:

5134,97+3057,43=7737,54+454,86.

3.КРУЧЕНИЕ.

Задача 3.1.

    Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг Rc=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа.

    Требуется:

  1.  подобрать диаметр вала;
  2.  построить эпюру крутящих моментов и напряжений;
  3.  построить эпюру углов закручивания;
  4.  построить эпюру относительных углов закручивания.

Рис. 3.1 Схема вала.

       а=1м,      в=0,8м,     с=1,2м,

            

            

Рис 3.2.Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания и относительных углов закручивания.

  Построим эпюру крутящих моментов.

  При  определении крутящих моментов в сечениях вала, принимаем следующее правило знаков:    момент считается положительным, если  при взгляде со стороны сечения его направление совпадает с движением часовой стрелки.

Участок АВ:       

Участок ВС:       

Участок СD:       

Участок DE:       

  

   По эпюре определяем максимальный крутящий момент:

             

  Определим  диаметр вала из условия прочности.

  где  ;       

 м.

  Определим  диаметры вала из условия жесткости.

            где          рад.

          м.

   Из двух значений диаметров выбираем  большее, округлив до 0,09м: .

  Определим  касательные напряжения, действующие в сечениях.

 Участок АВ.       Па=83,88МПа.

  Участок ВС:    

Па=-62,91МПа.

  Участок СD:    

Па=-6,99МПа.

  Участок DE:

Па=-118,82МПа.

Построим эпюру касательных напряжений (рис.3.2б).

Определим  углы закручивания на участках вала. Используем следующую формулу:

;         

,  т.к. угол поворота в заделке отсутствует.

рад,

      Построим эпюру углов закручивания (рис.3.2.в).

Определим относительные углы закручивания на участках вала. Для расчета используем  формулу ;

  Построим  эпюру относительных углов закручивания (рис.3.2.г) Наиболее загруженным является участок DE, где

 Условие прочности выполняется.

Задача 3.2.

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручивающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг Rc=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа.

    Требуется:

  1.  подобрать диаметр вала;
  2.  построить эпюру крутящих моментов и напряжений;
  3.  построить эпюру углов закручивания;
  4.  построить эпюру относительных углов закручивания.

а=1,2м;      в=1,4м;        с=0,9м;

    

Рис. 3.3.Схема вала. Эпюры крутящих моментов, касательных

напряжений, углов закручивания и относительных углов

закручивания.

Построим эпюру крутящих моментов. Выберем начало координат в точке А, предположив, что вал имеет защемление в этой точке.

Определим величину уравнения неизвестного момента , составив уравнение равновесия:      

  

  Участок АВ:

  Участок ВС:

  УчастокCD:

  УчастокDE:

  По эпюре ( рис 3.3а) определяем максимальный крутящий момент:

  

Определяем диаметр вала из условия прочности.

        где   ,

Определим диаметр вала из условия жесткости.

     ,    где     

    

  

   Из двух значений диаметров выберем большее, округлив до 0,11м.

  

Определим касательные напряжения, действующие в сечениях.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок СD:

Участок DE:

    Построим эпюру касательных напряжений (рис. 3.3б).

Определим углы закручивания на участках вала. Используем формулу:

            

  ,     (приняли в условии задачи, что т. А является неподвижной).

  Построим эпюру углов закручивания (рис. 3.3в).

Определим относительные углы закручивания на участках вала.

  Для расчета используем формулу  

  

  Построим эпюру относительных углов закручивания (рис 3.3г).

  Наиболее загруженным является участок ВС,  .

  Условие прочности выполняется.

4. ПЛОСКИЙ  ПОПЕРЕЧНЫЙ  ИЗГИБ.

З а д а ч а  4.1.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать двутавровое сечение из прокатного профиля, если R=210 МПа, Rc=130 МПа.

m=20 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН.

    Решение.

    Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

 

Рис. 4.1. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Исходя из направления нагрузок () определяем, что горизонтальная реакция равна нулю.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений.

В точке А:

В точке В:

В точке С (правее):

В точке С (левее):

В точке D:   

Подберём двутавровое сечение при R=210 МПа.

Максимальный изгибающий момент Mmax определим по эпюре изгибающих моментов (рис.4.1). Mmax = 170,08 кН·м.

Пользуясь сортаментом (Приложение 1), выбираем двутавр №40 с Wx=953 см3.

Проверим прочность по нормальным напряжениям:

Недогрузка составляет:

Проверим прочность по касательным напряжениям:

  Максимальное значение поперечной силы   (QY max) определяем по эпюре поперечных сил (рис.4.1).

(геометрические характеристики выбираем из Приложения 1).

Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.2.

Для указанной балки (рис.4.2) построить эпюры внутренних усилий. Подобрать сечение из двух швеллеров из прокатных профилей, если R=210 МПа, Rc=130 МПа.

m=18 кН·м, q=20 кН/м, F=12кН.

Рис. 4.2. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Решение.

Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

 

Проверим правильность определения реакций:

  

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений (рис.5.2).

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D (левее)

В точке Е эпюра поперечных сил пересекает ось z. Определим значение изгибающего момента в этой точке. Определим расстояние Z0:

Подберём сечение в виде двух швеллеров (Приложение 2) при R=210 МПа.

(из эпюры М, рис.4.2).

Для одного швеллера:  Из сортамента (Приложение 2) выбираем швеллер №24 с Wx=242 см3. Для двух швеллеров Wx=

Проверим прочность по нормальным напряжениям:

МПа.

Перегрузка составляет:

.

Проверим прочность по касательным напряжениям:

(геометрические характеристики швеллера выбираем из Приложения 2).

Прочность балки, состоящей из двух швеллеров, по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.3.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать прямоугольное сечение из древесины, если соотношение сторон сечения составляют

m=8 кН·м, q=6 кН/м, F=8кН.

Рис. 4.3. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов.

Решение.

Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

 

Проверим правильность определения реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.5.3):

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Подберём прямоугольное сечение,

(рис 4.3),

Округляем см, тогда  см,

<16 МПа.

Недогрузка составляет:

Проверим прочность по касательным напряжениям:

(из эпюры поперечных сил, рис 4.3).

 

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.4.

        Для указанной балки (рис.5.4) построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать круглое сечение из древесины, если R=16 МПа, RC=2 МПа,

m=20 кН·м, q=10 кН/м, F=16кН.

        Решение.
       Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия:

Рис.4.4. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Проверим правильность определения реакций:

         Построим эпюры поперечных сил и  изгибающих моментов.

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Определим значение изгибающего момента в точке K и М (в этих точках эпюра поперечных сил меняет знак).

           Подберём круглое сечение. Из эпюры изгибающих моментов (рис.4.4) выберем максимальный изгибающий момент.

Принимаем

Определим максимальные нормальные напряжения:

      Проверим прочность по касательным напряжениям:

(из эпюры поперечных сил,

  рис.4.4)

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.5.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 30, R=210 МПа, RC=130 МПа,

 m=24 кН·м, q=16 кН/м, F=18кН.

Рис.4.5. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание консольной балки DE и подвесной двухопорной балки AD, для которой правой опорой является конец консоли D первой балки.

Рассмотрим равновесие подвесной балки AD и определим ее опорные реакции:

 Определим правильность определения опорных реакций:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

В точке А:

В точке В (левее):

В точке В (правее):

В точке С (левее):

В точке С (правее):

В точке D:

Рассмотрим консольную балку DE. Реакцию YD прикладываем в точке D с противоположным знаком. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учётом YD.

В точке D:

Определим величину изгибающих моментов в точках K и M (в данных точках эпюра поперечных сил меняет знак, рис.4.5):

Проверим прочность балки по нормальным напряжениям:

Недогрузка составляет:

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

- все геометрические характеристики двутавра № 30 выбираем из сортамента (Приложение 1).

Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.6.

Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, R=210 МПа, RC=130 МПа,

m=10 кН·м, q=12 кН/м, F=20кН.

Рис.4.6. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание балки AD, лежащей на двух опорах и подвесной двухопрной балки DE.

Рассмотрим равновесие подвесной балки DE. Определим реакции опор:

Проверяем правильность определения реакций опор:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке DE шарнирной балки.

В точке Е:

В точке D:

Определим реакции опор балки AD, приложив в точку D реакцию YD, взятую с обратным знаком.

Проверяем правильность определения реакций опор:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке AD шарнирной балки.

В точке D:

В точке С (правее):

В точке С (левее):

В точке В (правее):

В точке В (левее):

В точке А:

Определим координаты точек К и М (zk и zm) :

Вычислим значение изгибающих моментов в точках K и М:

Проверим несущую способность балки:

Для двутавра № 24 из сортамента (Приложение 1) выпишем значение момента сопротивления: (из эпюры изгибающих моментов, рис.5.6).

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра № 24 выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические характеристики сечения:

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.7.

       Для указанной шарнирной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки -  двутавр № 24, R=210 МПа; RC=130 МПа,

 m=16 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН.

Решение.

Данная балка может рассматриваться как сочетание балок КЕ, ЕС, последовательно лежащих на консоли АС.

         Рассмотрим равновесие подвесной балки КЕ. Определим реакции опор:

Проверим правильность определения реакций опор:

  

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке КЕ шарнирной балки (рис.4.7).

В точке K:

В точке E:

Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию YE прикладываем к балке с обратным знаком.

Рис.4.7. Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

 

Проверяем правильность определения реакций опор:

Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки:

В точке E:

В точке D (правее):

В точке D (левее):

В точке С:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на консольной балке АС:

В точке С:

В точке B (правее):

В точке B (левее):

В точке A:

Определим момент в точке L (эпюра поперечных сил меняет знак):

Проверим  несущую способность балки:

    (из эпюры изгибающих

моментов, рис.4.7),

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

Проверим прочность балки по касательным напряжениям:

Для двутавра №24 из сортамента (Приложение 1):

Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

З а д а ч а  4.8.

Для заданной рамы (рис 4.8) построить эпюры внутренних усилий, если m=20 кН·м, q=12 кН/м, F=10кН.

Решение.

Определим реакции опор, составив уравнение равновесия:    ΣМА = 0:

           Рис.4.8 Схема рамы и эпюра продольных сил.

Проверим правильность определения опорных реакций:

Рис.4.9 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Построим эпюру продольных сил (рис.4.8):

Участок АВ:

Участок BD:

Участок KD: 

Построим эпюры поперечных сил (рис.4.9):

Участок АВ:

в точке А: в точке В:   

Участок BD:

в точке С:   в точке D:

Участок ЕD:

в точке Е:  в точке D:

Участок LB:

в точке L: в точке В:

Построим эпюру изгибающих моментов (рис.4.9):

Участок АВ:

(растянутые волокна снизу)

Участок LВ:

 (растянутые волокна слева)

(растянутые волокна справа)

Участок BС:

(растянутые волокна снизу).

Участок КD:

(растянутые волокна справа).

Участок DC:

(растянутые волокна снизу)

(растянутые волокна снизу).

Определим

Задача 4.9.

      Для заданной рамы (рис 4.10) построить эпюры внутренних усилий,

если  m=16 кН·м, q=10 кН/м, F=20кН.

Решение.

Определим реакции опор:

Построим эпюру продольных сил (рис.4.10):

Участок DE:

Участок CD:

(растяжение).

Участок АС:

(растяжение).

    Построим эпюры поперечных сил (рис 4.11):

Участок DE:

Рис. 4.10. Схема рамы и эпюра продольных сил.

Участок CD:

   

Участок BC:

   

Участок АВ:

    Построим эпюры изгибающих моментов (рис.4.11):

Рис. 4.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Участок ED:

(растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СD

:     (растянутые волокна слева),

(растянутые волокна слева).

Участок СВ:

(растянутые волокна снизу),

(растянутые волокна снизу).

Участок ВА:  МВ = 116,6 кН·м, (растянутые волокна снизу).

(растянутые волокна).

Задача 4.10

  Балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетными сопротивлениями R=210МПа,  и модулем продольной упругости Е=200ГПа.

   Требуется:

  1.  подобрать сечение двутаврового профиля и проверить прочность в учетом собственного веса;

2) в одном из сечений балки, имеющем одновременно большие значения поперечной силы Q и изгибающего момента M, определить напряжения σ и τ на уровне примыкания полки к стенке и проверить прочность используя энергетическую теорию прочности; для сравнения выполнить проверку прочности по третьей теории прочности; выделить вокруг указанной точки элемент балки и показать на схеме нормальные, касательные и главные напряжения;

3) используя один из известных методов определить прогибы посередине пролета и на конце консоли, построить эпюру прогибов балки;

4) проверить жесткость балки при допустимом относительном прогибе:

а=2 м,

b=3 м,

с=2 м,

d=4 м,

F=20 кН,

M=10 кНм,

q=12кН/м.

Рис. 4.12. Схема балки.

  Определим опорные реакции в балке и построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Составим уравнение равновесия:

;              

Осуществляем проверку правильности определения опорных реакций:

  Строим эпюру поперечных сил (рис 4.13):

        

  

  

  

  

              Рис.4.12. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

          Рис.4.13. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от собственного веса балки.

Строим эпюру изгибающих моментов (рис 4.13):

.   Подберем сечение балки в виде двутавра, используя следующее условие прочности:        откуда требуемый момент сопротивления.

  

      (согласно эпюре изгибающих моментов).

Пользуясь сортаментом (Приложение1), выбираем двутавр №36:

            

   (собственный вес балки);      

  Проверим прочность балки с учетом собственного веса.

Определим опорные реакции от действия собственного веса балки (q=0,486кН).

   

    

      

       

 Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

   


 Усилия в балке с учетом собственного веса:

  

 Прочность балки с учетом собственного веса:

  Прочность балки с учетом собственного веса обеспечена.

 Проверим прочность балки по главным напряжениям. Выберем опасное сечение  балки, в котором  имеется сочетание максимального изгибающего момента и поперечной силы. (точка С):

       

   Проведем анализ сечения.

   Определим нормальные и касательные напряжения в точке 1 (сжатие):

Рис.4.15. Сечение балки. Эпюры нормальных и касательных напряжений.

(сжатие)

   (растяжение);

    (растяжение);

 т.к.         

(статический момент площади сечения выше точки 2).

 - статический момент площади половины сечения двутавра.

 Определим экстремальные касательные напряжения в точке 2 сечения:

Главные напряжения:

 Проведем полную проверку прочности балки, используя энергетическую теорию прочности:

 Прочность балки по главным напряжениям обеспечена.

 Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, действующих в поперечном сечении балки (рис 4.15).

  Рассчитаем главные напряжения, действующие в сечении С.

  

 Для точки 1:             

                                         

 Для точки 2:               

 \

                                     

                                  

  

                                 

 Для точки 3.                   

   

     

      

Для точки 4.            

    

                                        

                                             

    

                                       

Рассчитаем максимальные касательные напряжения, действующие в сечении:    

                    

  Для  точки 1:                

                                         

                  

 Для точки 2:                 

                                        

                   

                                        

                                         

                   

 Для точки 3:                   

                    

 Построим  эпюру максимальных касательных напряжений (рис4.15).

   Построим упругую линию балки, используя метод начальных параметров.

Обобщенное уравнение изогнутой оси имеет вид:

 

,

  где а, в и с -  координаты соответствующих нагрузок.

Рис 4.16. Упругая линия балки.

  Для определения начальных параметров  и  зададимся условием, что прогиб на опоре D равен 0.

  Запишем уравнение прогибов для Z=7м:

  Определим прогиб в середине пролета при Z=3,5м:

 Определим прогиб в конце пролета при Z=11м:

   Так как  распределенная нагрузка q действует не до конца балки, то продляем ее до точки К, приложив на участке DK   q с обратным знаком.

        

 Определим углы поворота на опорах:

     

 Переведем в градусы, умножив на  

     

   

    

Определим максимальный относительный прогиб в пролете балки:

         

    Условие жесткости выполняется.

5. НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ.

Задача 5.1.

   Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc=130МПа  и модулем упругости Е=210ГПа, 

m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м.

Для данной балки требуется:

- построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов;

- подобрать сечение из прокатного двутавра;

 - определить прогибы посредине каждого пролета и показать на схеме  балки очертание ее изогнутой линии.

Решение.

   При расчете неразрезных балок удобно в качестве основной принимать систему, получаемую из заданной врезанием на промежуточных опорах шарниров. При таком выборе основной системы неразрезная балка распадается на отдельные однопролетные балки, имеющие по одной общей опоре. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты в опорах сечения, которые определяются из условий отсутствия взаимных углов поворота сечений над шарнирами. Эпюры моментов от заданных нагрузок и опорных единичных моментов в каждом пролете строятся, как для свободной двухопорной балки (рис, 5.1).

    Находим степень статистической неопределимости системы. Балка имеет две избыточные связи.

    В качестве основной принимаем систему с врезанными на опорах В и С шарнирами (рис.5.1).

   

Рис. 5.1. Схема неразрезной балки. Основная система.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок для каждого из участков балки.

Участок АС

   ,  ,     

   .

   ,  ,    ,

          

       

Рис. 5.2. Грузовые и одиночные эпюры, построенные в основной системе.

Рис. 5.3. Схема элементов балки с рассчитанными неизвестными.

Рис. 5.4. Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Линия прогибов балки.

   Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2):

   МА= -12кН· м,    МВ=12кН ·м,      Мс=0.

   Определим экстремальное значение изгибающего момента в пролете:

         

         

   Участок CD:

                                          

   Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2):   Мс=МD=0.

  Определим момент посредине пролета ( ):

     

   Участок DE:

     

   Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2):

   

    Построим единичные эпюры от опорных единичных моментов (рис.5.2):

    Х12=1.

Канонические уравнения метода сил будут иметь следующий вид:

    

    Вычислим площади грузовых и единичных эпюр:

                          

    Определим значение ординат единичных эпюр, расположенных под центрами тяжести соответствующих им грузовых эпюр:

 

    Применяя правило Верещагина, определим коэффициенты канонического уравнения метода сил:

   Если грузовая и единичная эпюры имеют разные знаки, то перед произведением площади эпюры на ординату под центром ее тяжести ставится знак «минус».

    Решаем систему канонических уравнений:

                                        

    Для построения эпюры поперечных сил определим реакции опор. Рассмотрим равновесие всех пролетов раздельно, прикладывая к ним, кроме заданной нагрузки, найденные опорные моменты (рис.5.3, 5.4).

   Участок АС:

   

   Участок CD:

   Участок DK:

                                      

    Заменяя опоры реакциями, строим эпюру поперечных сил. На опорах C и D суммируем реакции (рис. 5.4).

    Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4):    

   Определим значение изгибающих моментов в точках z1 и z2:

                                       

    Проведем проверку правильности расчетов. Перемножаем окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные (рис. 5.5).

       Рис.5.5 Эпюра изгибающих моментов и единичные эпюры.

Подберем сечение в виде двутавра:                                             

   Используя сортамент (Приложение 1), выбираем двутавр №12,  Wх=58,4см3.

                                        

   Недогрузка балки составляет:                                                Проверим балку по касательным напряжениям:

        

Определим прогибы посредине каждого пролета балки. Для этого в основной системе в каждом пролете приложим единичную силу и построим единичные эпюры (рис.5.6, 5.7, 5.8, 5.9 ).

   Осуществим перемножение грузовой эпюры на единичную. Рассмотрим каждый участок балки:


        Рис.5.6. Грузовая и единичная эпюры.

 

    Участок АС

    Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов и значения ординат под их центрами тяжести.

Прогиб в точке А равен:

   Участок ВС.

Определим величину изгибающего момента в точке L:     

   Рис.5.7. Грузовая и единичная эпюры участка балки ВС.

    Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести рассчитываем аналогично:

Прогиб в точке L равен:

 Рис.5.8.  Грузовая и единичная эпюры участка балки СD.

   Участок СD

Определим значение изгибающего момента в точке N:

    Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести:

Прогиб в точке N:

Рис.5.9. Грузовая и единичная эпюры участка балки DK.

Участок DK.

Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов на участке и ординаты под центрами их тяжести:

Прогиб в точке Е:

Подберем сечение балки из прокатного двутавра.

   Условие прочности:

   По сортаменту (Приложение 1) подбираем двутавр №12      

                                              

   Балка недогружена:                                            

     Проверим балку по касательным напряжениям:

   

   

     Построим изогнутую ось балки, определив прогибы в пролетах:

   

Отразим изогнутую ось балки (рис.5.4).

Задача 5.2

  Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc=130МПа  и модулем упругости Е=210ГПа,

m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м.

Рис.5.10. Схема балки и основной системы. Грузовая и

единичные эпюры основной системы.

Рис.5.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Единичные эпюры. Линия прогибов балки.

    Данная балка имеет две избыточные связи  сверх необходимого минимума  для обеспечения  неизменяемости схемы.

   Канонические уравнения будут иметь вид:

   

  Лишними неизвестными являются реакции опор  В и D. В качестве основной принимаем  систему, имеющую заделку в точке А.

Построим эпюру изгибающих моментов от действующей нагрузки (рис.5.10):

           

    

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных вместо отброшенных связей (рис.6.10):

               ( от силы  ,

                       ( от силы .

Определим  площади участков грузовой эпюры изгибающих моментов  (и ординат  под центрами их тяжести в единичных эпюрах ( и .

Определяем члены канонического  уравнения:

        

    

Решаем систему  уравнений:

         

  Откуда  находим, что      

Строим  эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:

               

         

         

    

         

                  

        

    Определим значение изгибающего момента в точке N.

       

Осуществим  проверку правильности расчетов, перемножив конечную эпюру изгибающих моментов на единичные

.

         Ошибка  составляет 0,016%

  Определим прогибы посредине каждого из пролетов и в точке Е.  Для этого воспользуемся методом начальных параметров.

               в  начале координат.

       Запишем выражение начальных параметров для  Z=2м, Z=6м, Z=12м.

      

Подберем сечение в виде  двутавра (Приложение 1):

R=200МПа,             

 Подберем по сортаменту  двутавр №22,          

 Прогиб  в  точке 1  при Z=2:       

                                   при Z=6:        

                                   при Z=12:      

 Строим  изогнутую линию балки (рис.5.11).

6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.

Задача 6.1. Внецентренное сжатие.

    Колонна заданного поперечного сечения сжимается расчетной силой F, направленной параллельно продольной оси и приложенной к точке К.

   Расчетные сопротивления для материала колонн:

  на растяжение  на сжатие

  Требуется:

1) найти положение нулевой линии;

2) вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений, дать заключение о прочности колонны;

3) построить ядро сечения

.

F=80 кН;

a=20 см;

b=12 см.
Рис. 6.1. Схема поперечного сечения колонны.

Рис. 6.2. Положение центра тяжести и нулевой линии.

Решение.

Определим координаты  тяжести сечения. Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии, следовательно, центр тяжести лежит на этой оси и для отыскания координаты  относительно вспомогательной оси, сложное сечение разбиваем на три прямоугольника.

 

  где , и  - координаты центров тяжести прямоугольников относительно оси  , а

        ,  и  - площади их поперечных сечений.

  

Определим геометрические характеристики сечения. Для вычисления главных центральных моментов  инерции воспользуемся зависимостью  между моментами инерции при параллельном переносе осей.

Определим квадраты радиусов инерции:

  Координаты  точки  приложения силы F:

     

Положение нулевой линии:

    По найденным отрезкам, отсекаемых на осях координат, проводим нулевую линию (рис 6.2).

Определим наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения. Наиболее удаленными от нулевой линии точками являются точки А и В.  Их координаты:

                

   Напряжения в этих опасных точках не должны превосходить соответствующего расчетного сопротивления:

   

  Знак минус перед формулой показывает, что сила, приложенная к колонне, является сжимающей.

  Нулевая линия делит сечение на зоны сжатия (область приложения силы F) и растяжения.

  Растягивающее напряжение:

  Сжимающие напряжение:

      Прочность колонны  обеспечена.

По результатам напряжений  и  строим эпюру  (рис. 6.2)

Построим ядро сечения (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Ядро сечения.

    Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения.

   Касательная 1-1:

    ;    

   ;      

   Касательная 2-2:

       ;

        .

  Касательная 3-3:

  Определим координаты точек пересечения секущей 3-3:

            

  

  

  

  

   Касательная 4-4:

   ;     

       

   Поскольку сечение имеет ось симметрии , то  все определенные координаты переносим симметрично этой оси (рис. 6.3).

Задача 6.2. Косой изгиб.

        Балка нагружена в главных плоскостях расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210Мпа.

        Требуется:

  1.  построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;
  2.  определить опасное сечение и подобрать двутавр, приняв
  3.  определить положение нейтральной оси в одном сечении и построить эпюру нормальных напряжений.

                                  Рис.6.4. Схема балки.

                                                 

Решение.

 Определим вертикальные и горизонтальные опорные реакции и строим и  (рис.6.2)

         

     

            

                             

                            

 

      

 

 

 

 

   Рис 6.5. Эпюры изгибающих моментов относительно осей Х и Y.

Выберем наиболее опасное сечение. Максимальные моменты в плоскости оси  Х и Y находятся в точке А:

Определим  требуемый момент сопротивления, приняв   т.е.  

Условие прочности при косом изгибе для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет следующий вид:

                   или            ,   откуда

По сортаменту (Приложение 1) принимаем двутавр №40,    

   Проверяем прочность  балки:

   Прочность балки обеспечена.

   Недогрузка балки составляет:       .

Определяем угол наклона нулевой линии к оси ОХ:

    

Рис. 6.6. Положение нулевой линии. Эпюра напряжений.

Для построения эпюры  угол   откладываем против часовой стрелки от оси ОХ. Наибольшие напряжения будут действовать в угловых точках сечения , причем в точке А  они будут растягивающими, а в В – сжимающими.

Угол наклона силовой линии:

             

Задача 7.3. Общий случай нагружения.

   Пространственная система, состоящая из трех стержней, жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Стержни системы имеют одинаковые длины и диаметры поперечных сечений. Материал стержней – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа и Rc=130МПа, m=4кН м, ℓ=0,8м, q=8кН/ м , d=10см,  F=6кН.

  Требуется:

  1.  построить эпюры внутренних усилий;
  2.  установить вид сопротивления для каждого участка стержня;
  3.  определить опасное сечение и дать заключение о прочности конструкции.

Рис. 6.7. Схема пространственной системы.

Решение.

    Построим эпюру продольных сил.  На участках АВ и ВС отсутствуют продольные силы.

         Участок СD:

   Продольной силой для данного участка является сила F. N=-F=-6кН (сжатие) (рис 6.8).

Рис. 6.8.  Эпюра продольных сил.

    Построим эпюру поперечных сил (рис 7.9).

   Участок АB:

   

   Участок ВС:

   Участок СD:

Рис. 6.9. Эпюра поперечных сил.

    Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого последовательно построим эпюры от каждого вида нагрузки.

    Сила F:

   Участок АВ:

=0,   = ℓ = 6· 0,8=4,8кН· м.

   Участок ВС:

= ℓ= 6· 0,8= 4,8кН·м.

   Участок СD:

   = 4,8кН·м,   = 4,8кН·м,

   = 4,8кН·м.

Изгибающий момент  m:

   Участок ВС:

   = 4кН·м,

Участок СD:

  = 4кН·м.

Распределенная нагрузка q:

Участок ВС:

   Участок СD:

  

Рис. 6.10. Эпюра изгибающих моментов от действия силы F.

Рис. 6.11. Эпюра изгибающих моментов от действия

изгибающего момента m.

Рис. 6.12. Эпюра изгибающих моментов от действия равномерно распределенной нагрузки q.

    Просуммируем изгибающие моменты от всех видов нагрузки.

Рис. 6.13. Суммарная эпюра изгибающих моментов от действия всех видов нагрузки.

 

    Построим эпюру крутящих моментов.

  Участок АВ:

  

   Участок ВС:

   Участок СD:

 

Рис. 6.14. Эпюра крутящих моментов.

      Установим вид сопротивления для каждого участка системы, который определяется по эпюрам.

    На участке АВ действует поперечная сила Qx  и изгибающий момент My (поперечный изгиб).

    На участке ВС действует поперечная сила Qx , Qy , крутящий момент Т и изгибающие моменты Mx и My (косой изгиб с кручением).

    На участке СD действует поперечная сила Qx, крутящий момент Т , изгибающие моменты Mx, My и продольная сила N (косой изгиб с кручением и сжатием).

     Определим максимальные напряжения в опасном сечeнии каждого участка от внутренних усилий Mx,My,T,N (касательными напряжениями от поперечных сил Qx и Qy можно пренебречь).

   Участок АВ:

   Опасная точка В.  Qx =6кН ,My =4,8кН· м.

   

      Участок ВС:

   Опасная точка С.   Qy = 6кН,  Qx = 6,1кН, Mx =8,8кН·м,            My=2,56кН ·м,  Т=4,8кН ·м.  

   Определим суммарный изгибающий момент:

 

    При кручении круглого стержня возникают касательные напряжения:

    

   Участок СD:    

    Опасная точка D.   Qx=6,4кН,  Mx=8,8кН· м,   My=9,92кН· м, N=6кН,  Т=2,56кН· м.

                 

       Проверим прочность системы при расчетном сопротивлении R=210Мпа.

       Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плоского напряженного состояния определяется по формуле:

                                        

   Участок АВ: 

                                     

   Участок ВС:

                                          

   Участок СD:

                            

   Прочность стержней системы на всех участках обеспечена.

7. УСТОЙЧИВОСТЬ.

Задача 7.1.

   Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа,  модуль продольной упругости Е=200ГПа.

  Требуется:

  1.  подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;
  2.  определить значение коэффициента запаса устойчивости.

F=210кН;

l=1,7 м;

µ=1.
Рис.7.1.  Схема стержня и его поперечное сечение.

   Решение.

   Размеры поперечного сечения определим исходя из условий устойчивости:

         

   где  - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.

  В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент  и искомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

  Выразим геометрические характеристики через величину а.   

  Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:

        

  тогда площадь поперечного сечения:

             

        

 Приближение 1.  В первом приближении коэффициент изгиба принимают   тогда

      

            

  Расчетная гибкость стержня:

        

  По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента   соответствующего гибкости           :

              

  Путем линейной интерполяции получим:

      

  Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

     ,

       .

  Перенапряжение составляет    , что недопустимо. Необходимо уточнение размеров.

  Приближение 2. За новое значение коэффициента    принимаем среднее арифметическое первых двух:

      

 тогда площадь сечения

      

радиус  инерции

     

Определим гибкость стержня

     

Коэффициент   рассчитываем для гибкости  :

                    

    

Проверим выполнение условий устойчивости:

     

Перенапряжение составляет:        что   недопустимо.

  Приближение 3.

Определим  коэффициент продольного изгиба:

 

Площадь поперечного сечения

    

радиус инерции        

гибкость колонны     

Определим значение коэффициента :  

           

      

         

Расчетное сопротивление

         

        

Недонапряжение составляет    , что допустимо.

Окончательно принимаем размеры сечения  44х66мм ()

    

Находим величину критической силы.

Так как  , т.е.126,7>100,  то  используем формулу Эйлера для определения критической  силы:

    

  Определим коэффициенты запаса устойчивости:

     

Задача 7.2

Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа,  модуль продольной упругости Е=200ГПа.

  Требуется:

  1.  подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;
  2.  

определить значение коэффициента запаса устойчивости;

F=250 кН;

l=1,4 м;

µ=2.
                           Рис.7.2 Схема стержня.

Решение.

  Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:

                   .

  Для расчета используем метод последовательных приближений.

 Приближение 1.

  В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба  ,  тогда

                   

   Площадь одного уголка составит:

                   

  Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок 100х100х6,5 с площадью Ауг= 12,8см.

  Определим радиусы инерции данного сечения относительно главных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения.

                   (находим в сортаменте, Приложение 3).

                

   (находим в сортаменте, Приложение 3),

 

  ( находим в сортаменте),

                     

  Сравнивая  и  ,определяем, что минимальным радиусом инерции является  .

  Определим  гибкость колонны:

                     

  По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента  , соответствующего гибкости :

  при                                    

                                            

  Путем линейной интерполяции получим:

          

 Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

        

        

  Перенапряжение составляет    , что  недопустимо.

  Необходимо увеличить поперечное сечение.

.    Приближение 2.  За новое значение коэффициента  принимаем  среднее арифметическое первых двух.

     ;       тогда  площадь  сечения

    

    

   В сортаменте выбираем уголок 110х110х7        

  Определяем гибкость стержня:

     

 Из таблицы для   выберем  значение  :

            

             

    

   Проверим выполнение условий устойчивости:

           

Недонапряжение составит:  , что для прокатного профиля приемлемо.

     Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков 110х110х7.     

  Находим величину критической силы.    Так как   , т.е.   127,9>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:

  

   Тогда коэффициент запаса устойчивости будет равен:

                             

8. ДИНАМИКА.

Задача 8.1.

  На упругую систему падает груз  с высоты h. Материал стержней – сталь. Расчетное сопротивление при статической нагрузке  R=210МПа,  Е=200ГПа.

  Требуется:

  1.  определить величины максимальных динамических напряжений в элементах системы;
  2.  определить величину динамического перемещения точки приложения груза.

Массу конструкции не учитывать.

G=400H,

в=0,4м,

d=4см,

а=1,4м,

двутавр №18,

h=5см.


                     Рис.8.1. Схема стержневой системы.

Решение.

 Рассчитаем стержневую систему на статическую нагрузку  Предварительно определим усилие в стержне.

               Рис.8.2 Схема элемента 1.

Составим уравнение равновесия  

    

Рассчитаем опорные реакции в балке ВС:

                               Рис.8.3 Схема балки.

                  

                

              

                              

 

 Построим эпюру изгибающих моментов в балке ВС:

Рис.8.4. Эпюра изгибающих моментов и единичная эпюра.

  Определим прогиб в точке D от статического действия нагрузки методом сил. Для этого приложим в точке D единичную силу и построим эпюру изгибающих моментов  от этой  силы.

          

        Выпишем  из сортамента  значение  момента инерции для  двутавра  №18:

Прогиб от статистической нагрузки составит:

   

.  Определим напряжение от статической нагрузки:

          

        (выпишем из сортамента, Приложение 1).

  Определим динамический коэффициент, динамическое перемещение и напряжение:

        

  Проведем проверку стержня на прочность при действии динамической нагрузки:

  

Литература

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высш. школа, 1995.

2. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: сборник заданий для расчетно-проектировочных работ для строительных специальностей / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БНТУ, 2003.

3. Винокуров, Е.Ф. Сопротивление материалов: расчетно-проектировочные работы / Е.Ф. Винокуров, А.Г. Петрович, Л.И. Шевчук. – Минск: Вышэйшая школа, 1987.

4. Заяц, В.Н. Сопротивление материалов / В.Н. Заяц, М.К. Балыкин, И.А. Голубев. – Минск: БГПА, 1998.

5. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных работ по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович [и др.]. – Минск: БПИ, 1979. – Ч. 1.

6. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных работ по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович
[и др.].
 – Минск: БПИ, 1981. – Ч. 2.

7. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]. – Киев: Вища школа, 1986.

8. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов
[и др.].
 – М.: Высш. школа, 1975.

9. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1986.

5. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: лабораторный практикум / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БГПА, 1999.

10. Нагрузка и воздействие: СНиП 2.01.07-85. – Госстрой СССР, 1985.


Приложения


Приложение 1

Сталь горячекатаная. Балки двутавровые (по ГОСТ 8239-89*)

Iмомент инерции

Wмомент сопротивления

Sстатический момент площади полусечения

iрадиус инерции

Таблица П1.1

Номер профиля

Размеры, мм

Площадь сечения А, см2

Линейная плотность ρ, кг/м

Геометрические характеристики относительно осей

 

 

 

 

x

y

h

b

d

t

Iх, см4

Wx, см3

ix, см

Sx, см3

Iy, см4

Wy, см3

iy, см

10

100

55

4,5

7,2

12,0

9,46

198

39,7

4,06

23

17,9

6,49

1,22

12

120

64

4,8

7,3

14,7

11,5

350

58,4

4,88

33,7

27,9

8,72

1,38

14

140

73

4,9

7,5

17,4

13,7

572

81,7

5,73

46,8

41,9

11,5

1,55

16

160

81

5

7,8

20,2

15,9

873

109

6,57

62,3

58,6

14,5

1,7

18

180

90

5,1

8,1

23,4

18,4

1290

143

7,42

81,4

82,6

18,4

1,88

20

200

100

5,2

8,4

26,8

21

1840

184

8,28

104

115

23,1

2,07

22

220

110

5,4

8,7

30,6

24

2550

232

9,13

131

157

28,6

2,27

24

240

115

5,6

9,5

34,8

27,3

3460

289

9,97

163

198

34,5

2,37

27

270

125

6

9,8

40,2

31,5

5010

371

11,2

210

260

41,5

2,54

30

300

135

6,5

10,2

46,5

36,5

7080

472

12,3

268

337

49,9

2,69

33

330

140

7

11,2

53,8

42,2

9840

597

13,5

339

419

59,9

2,79

36

360

145

7,5

12,3

61,9

48,6

13380

743

14,7

423

516

71,1

2,89

40

400

155

8,3

13

72,6

57

19062

953

16,2

545

667

86

3,03

45

450

160

9

14,2

84,7

66,5

27696

1231

18,1

708

808

101

3,09

50

500

170

10

15,2

100

78,5

39727

1589

19,9

919

1043

123

3,23

55

550

180

11

16,5

118

92,6

55962

2035

21,8

1181

1356

151

3,39

60

600

190

12

17,8

138

108

76806

2560

23,6

1491

1725

182

3,54


Приложение 2

Сталь горячекатаная. Швеллерная (по ГОСТ 8240-89)

Iмомент инерции

Wмомент сопротивления

Sстатический момент площади полусечения

iрадиус инерции

Таблица П2.1

Номср профиля

Размеры, мм

Площадь сечения  А, см2

Линейная плотность ρ, кг/м

Геометрические характеристики относительно осей

xc, см

h

b

d

t

x

y

Iх, см4

Wx, см3

ix, см

Sx, см3

Iy, см4

Wy, см3

iy, см

5

50

32

4,4

7

6,16

4,84

22,8

9,1

1,92

5,59

5,6

2,75

0,95

1,16

6,5

65

36

4,4

7,2

7,51

5,9

48,6

15

2,54

9

8,7

3,68

1,08

1,24

8

80

40

4,5

7,4

8,98

7,05

89,4

22,4

3,16

23,3

12,8

4,75

1,19

1,31

10

100

46

4,5

7,6

10,9

8,59

174

34,8

3,99

20,4

20,4

6,46

1,37

1,44

12

120

52

4,8

7,8

13,3

10,4

304

50,6

4,78

29,6

31,2

8,52

1,53

1,54

14

140

58

4,9

15,6

12,3

491

70,2

5,6

40,8

45,4

11

1,7

1,67

16

160

64

5

8,4

18,1

14,2

747

93,4

6,42

54,1

63,3

13,8

1,87

1,8

16а

160

68

5

9

19,5

15,3

823

103

6,49

59,4

78,8

16,4

2,01

2

18

180

70

5,1

8,7

20,7

16,3

1090

121

7,24

69,8

86

17

2,04

1,94

18а

180

74

5,1

9,3

22,2

17,4

1190

132

7,32

76,1

105

20

2,18

2,13

20

200

76

5,2

9

23,4

18,4

1520

152

8,07

87,8

113

20,5

2,2

2,07

22

220

82

5,4

9,5

26,7

21

2110

192

8,89

110

151

25,1

2,37

2,21

24

240

90

5,6

10

30,6

24

2900

242

9,73

139

208

31,6

2,6

2,42

27

270

95

6

10,5

35,2

27,7

4160

308

10,9

178

262

37,3

2,73

2,47

30

300

100

6,5

11

40,5

31,8

5810

387

12

224

327

43,6

2,84

2,52

33

330

105

7

11,7

46,5

36,5

7980

484

13,1

281

410

51,8

2,97

2,59

36

360

110

7,5

12,6

53,4

41,9

10820

601

14,2

350

513

61,7

3,1

2,68

40

400

115

8

13,5

61,5

48,3

15220

761

15,7

444

642

73,4

3,23

2,75

Приложение 3

Рекомендуемый сортамент равнополочных уголков

(по ГОСТ 8509-86)

I  момент инерции

Wмомент сопротивления

Sстатический момент площади полусечения

iрадиус инерции

Таблица П3.1

Номер профиля

Размеры, мм

Площадь сечения А, см2

Линейная плотность ρ, кг/м

Геометрические характеристики относительно осей

xc, yc, см

b

d

x

x0

y0

 

1ху, см4

Iх, см4

ix, см

Ix0, см4

Ix0, см

Iy0, см4

Iy0, см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2

20

3

1,13

0,89

0,4

0,59

0,63

0,75

0,17

0,39

0,23

0,6

4

1,46

1,15

0,5

0,58

0,78

0,73

0,22

0,38

0,28

0,64

3

30

3

1,74

1,36

1,45

0,91

2,3

1,15

0,6

0,59

0,85

0,85

4

2,27

1,78

1,84

0,9

2,92

1,13

0,77

0,58

1,08

0,89

4

40

3

2,35

1,85

3,55

1,23

5,63

1,55

1,47

0,79

2,08

1,09

4

3,08

2,42

4,58

1,22

7,26

1,53

1,9

0,78

2,68

1,13

5

3,79

2,98

5,53

1,21

8,75

1,52

2,3

0,78

3,22

1,17

5

50

3

2,96

2,32

7,11

1,55

11,27

1,95

2,95

1

4,16

1,33

4

3,89

3,05

9,21

1,54

14,63

1,94

3,8

0,99

5,42

1,38

5

4,8

3,77

11,2

1,53

17,77

1,92

4,63

0,98

6,57

1,42

6

5,69

4,47

13,07

1,52

20,72

1,91

5,43

0,98

7,65

1,46

6,3

63

4

4,96

3,9

18,86

1,95

29,9

2,45

7,81

1,25

11

1,69

5

6,13

4,81

23,1

1,94

36,8

2,44

9,52

1,25

13,7

1,74

6

7,28

5,72

27,06

1,93

42,91

2,43

11,18

1,24

15,9

1,78

Продолжение табл. П3.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

7

70

5

6,86

5,38

31,94

2,16

50,67

2,72

13,22

1,39

18,7

1,9

6

8,15

6,39

37,58

2,15

59,64

2,71

15,52

1,38

22,1

1,94

7

9,42

7,39

42,98

2,14

68,19

2,69

17,77

1,37

25,2

1,99

8

10,67

8,37

48,16

2,12

76,35

2,68

19,97

1,37

28,2

2,02

7,5

75

5

7,39

5,8

39,53

2,31

62,65

2,91

16,41

1,49

23,1

2,02

6

8,78

6,89

46,57

2,3

73,87

2,9

19,28

1,48

27,3

2,06

7

10,15

7,97

53,34

2,29

84,61

2,89

22,07

1,47

31,2

2,1

8

11,5

9,02

59,84

2,28

94,89

2,87

24,8

1,47

35

2,15

9

12,83

10,07

66,1

2,27

104,72

2,86

27,48

1,46

38,6

2,18

8

80

6

9,38

7,36

56,97

2,47

90,4

3,11

23,54

1,58

33,4

2,19

7

10,85

8,51

65,31

2,45

103,6

3,09

26,97

1,58

38,3

2,23

8

12,3

9,65

73,36

2,44

116,3

3,08

30,32

1,57

43

2,27

9

90

6

10,61

8,33

82,1

2,78

130

3,5

33,97

1,79

48,1

2,43

7

12,28

9,64

94,3

2,77

149,6

3,49

38,94

1,78

55,4

2,47

8

13,93

10,93

106,1

2,76

168,4

3,48

43,8

1,77

62,3

2,51

9

15,6

12,2

118

2,75

186

3,46

48,6

1,77

68

2,55

10

100

7

13,75

10,79

130,5

3,08

207

3,88

54,16

1,98

76,4

2,71

8

15,6

12,25

147,1

3,07

233

3,87

60,92

1,98

86,3

2,75

10

19,24

15,1

178,9

3,05

283

3,84

74,08

1,96

110

2,83

12

22,8

17,9

208,9

3,03

330

3,81

86,84

1,95

122

2,91

14

26,28

20,63

237,1

3,00

374

3,78

99,32

1,94

138

2,99

12,5

125

8

19,69

15,46

294

3,87

466

4,87

121,9

2,49

172

3,36

9

22

17,3

327

3,86

520

4,86

135,8

2,48

192

3,4

10

24,33

19,1

359

3,85

571

4,84

148,5

2,47

211

3,45

12

28,89

22,68

422

3,82

670

4,82

174,4

2,46

248

3,53

14

33,37

26,2

481

3,8

763

4,78

199,6

2,45

282

3,61

16

37,77

29,65

538

3,78

852

4,75

224,2

2,44

315

3,68

14

140

9

24,72

19,41

465

4,34

739

5,47

192

2,79

274

3,78

10

27,33

21,45

512

4,33

813

5,46

210

2,78

301

3,82

12

32,49

25,5

602

4,31

956

5,43

248

2,76

354

3,9


Окончание табл. П3.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

16

160

10

31,43

24,67

774

4,96

1229

6,25

319

3,19

455

4,3

11

34,42

27,02

844

4,95

1340

6,24

347

3,18

496

4,35

12

37,39

29,35

912

4,94

1450

6,23

375

3,17

537

4,39

14

43,57

33,97

1046

4,92

1662

6,2

430

3,16

615

4,47

16

49,07

38,52

1175

4,89

1865

6,17

484

3,14

690

4,55

18

54,79

43,01

1290

4,87

2061

6,13

537

3,13

771

4,63

20

60,4

47,44

1418

4,85

2248

6,1

589

3,12

830

4,7

20

200

12

47,1

36,97

1822

6,22

2896

7,84

749

3,99

1073

5,37

13

50,85

39,92

1960

6,21

3116

7,83

805

3,98

1156

5,42

14

54,6

42,8

2097

6,2

3333

7,81

861

3,97

1236

5,46

16

61,98

48,65

2362

6,17

3755

7,78

969

3,96

1393

5,54

20

76,54

60,08

2871

6,12

4560

7,72

1181

3,93

1689

5,7

25

94,29

74,02

3466

6,06

5494

7,63

1438

3,91

2028

5,89

30

111,54

87,56

4019

6

6351

7,55

1698

3,89

2332

6,07

25

250

16

78,4

61,55

4717

7,76

7492

9,78

1942

4,98

2775

6,75

18

87,72

68,86

5247

7,73

8336

9,75

2157

4,96

3089

6,83

20

96,96

76,11

5764

7,71

9159

9,72

2370

4,94

3395

6,91

22

106,12

83,31

6270

7,09

9961

9,69

2579

4,93

3691

7

25

119,71

93,97

7006

7,65

11125

9,64

2887

4,91

4119

7,11

28

133,12

104,5

7716

7,61

12243

9,59

3189

4,9

4527

7,23

30

141,96

111,44

8176

7,59

12964

9,56

3388

4,89

4788

7,31


Приложение 4

Рекомендуемый сортамент неравнополочных уголков (по ГОСТ 8510-86)

B – ширина большой полки

b – ширина малой полки

d – толщина полки

I – момент инерции

i – радиус инерции

xc, yc – расстояние от центра тяжести до наружных граней полок

α – угол наклона главной центральной оси
                                                                                                                                                      Таблица П4.1

Номер профиля

Размеры, мм

Площадь

сечения А, см2

Линейная плот-ность ρ, кг/м

Геометрические характеристики

относительно осей

хс, см

yс, см

1ху, см4

tgα

В

b

d

x

y0

и

Iх, см4

ix, см

Iy, см4

iy, см

Iu, см4

iu, см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2,5/1,6

25

16

3

1,16

0,91

0,70

0,78

0,22

0,44

0,13

0,34

0,42

0,86

0,22

0,392


Продолжение табл. П4.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

3,2/2

32

20

3

1,49

1,17

1,52

1,01

0,46

0,55

0,28

0,43

0,49

1,08

0,47

0,382

4

1,94

1,52

1,93

1

0,57

0,54

0,35

0,43

0,53

1,12

0,59

0,374

4/2,5

40

25

3

1,89

1,48

3,06

1,27

0,93

0,70

0,56

0,54

0,59

1,32

0,96

0,385

4

2,47

1,94

3,93

1,26

1,18

0,69

0,71

0,54

0,63

1,37

1,22

0,281

5

3,03

2,37

4,73

1,25

1,41

0,68

0,86

0,53

0,66

1,41

1,44

0,374

5/3,2

50

32

3

2,42

1,9

6,18

1,6

1,99

0,91

1,18

0,7

0,72

1,60

2,01

0,403

4

3,17

2,4

7,98

1,59

2,56

0,9

1,52

0,69

0,76

1,65

2,59

0,401

6,3/4,0

63

40

4

4,04

3,17

16,33

2,01

5,16

1,13

3,07

0,87

0,91

2,03

5,25

0,397

5

4,98

3,91

19,91

2

6,26

1,12

3,73

0,86

0,95

2,08

6,41

0,396

6

5,9

4,63

23,31

1,99

7,29

1,11

4,36

0,86

0,99

2,12

7,44

0,393

8

7,68

6,03

29,6

1,96

9,15

1,09

5,58

0,85

1,07

2,2

9,27

0,386

7,5/5

75

60

5

6,11

4,79

34,81

2,39

12,47

1,43

7,24

1,09

1,17

2,39

12

0,436

6

7,25

5,69

40,92

2,38

14,6

1,42

8,48

1,08

1,21

2,44

14,1

0,435

7

8,37

6,57

46,77

2,36

16,61

1,41

9,69

1,08

1,25

2,48

16,18

0,435

8

9,47

7,43

52,38

2,35

18,52

1,4

10,87

1,07

1,29

2,52

17,8

0,43

9/5,6

90

56

5,5

7,86

6,17

65,28

2,88

19,67

1,58

11,77

1,22

1,26

2,92

20,54

0,384

6

8,54

6,7

70,58

2,88

21,22

1,58

12,7

1,22

1,28

2,95

22,23

0,384

8

11,18

8,77

90,87

2,85

27,08

1,56

16,29

1,21

1,36

3,04

28,33

0,38

10/6,3

100

63

6

9,58

7,53

98,29

3,2

30,58

1,79

18,2

1,38

1,42

3,23

31,5

0,393

7

11,09

8,7

112,86

3,19

34,99

1,78

20,83

1,37

1,46

3,28

36,1

0,392

8

12,57

9,87

126,96

3,18

39,21

1,77

23,38

1,36

1,5

3,32

40?5

0,391

10

15,47

12,14

153,95

3,15

47,18

1,75

28,34

1,35

1,58

3,4

48,6

0,387


Окончание табл. П4.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

12,5/8

125

80

7

14,06

11,04

226

4,01

73,73

2,29

43,4

1,76

1,8

4,01

74,7

0,407

8

15,98

12,58

225

4

80,95

2,28

48,82

1,75

1,84

4,05

84,1

0,406

10

19,7

15,47

311

3,98

100,47

2,26

59,33

1,74

1,92

4,14

102

0,404

12

23,36

18,34

364

3,95

116,84

2,24

69,47

1,72

2

4,22

118

0,4

16/10

160

100

9

22,87

17,96

605

5,15

186

2,85

110,4

2,2

2,24

5,19

194

0,391

10

25,28

19,85

666

5,13

204

2,84

121,16

2,19

2,28

5,23

213

0,390

12

30,04

23,58

784

5,11

238

2,82

142,14

2,18

2,36

5,32

249

0,388

14

34,72

27,26

897

5,08

271

2,8

162,49

2,16

2,43

5,4

282

0,385

20/12,5

200

125

11

34,87

27,37

1449

6,45

446

3,58

263

2,75

2,79

6,5

465

0,392

12

37,89

29,74

1568

6,43

481

3,57

285

2,74

2,83

6,54

503

0,392

14

43,87

34,43

1800

6,41

550

3,54

326

2,73

2,91

6,62

575

0,390

16

49,77

39,07

2026

6,38

616

3,52

366

2,72

2,99

6,71

643

0,388


Приложение 5

Таблица П5.1

Коэффициент φ продольного изгиба

центрально-сжатых элементов

Гибкость,

λ

Значения φ для элементов из

спали с расчетным сопротивлением R, МПа

чугун

древесина

200

240

280

320

360

400

0

1

1

1

1

1

1

1

1

10

0,988

0,987

0,985

0,984

0,983

0,982

0,97

0,992

20

0,967

0,962

0,959

0,955

0,952

0,949

0,91

0,968

30

0,939

0,931

0,924

0,917

0,911

0,905

0,81

0,928

40

0,906

0,894

0,883

0,873

0,863

0,854

0,69

0,872

50

0,869

0,852

0,836

0,822

0,809

0,796

0,57

0,8

60

0,827

0,805

0,785

0,766

0,749

0,721

0,44

0,712

70

0,782

0,754

0,724

0,687

0,654

0,623

0,34

0,608

80

0,734

0,686

0,641

0,602

0,566

0,532

0,26

0,469

90

0,665

0,612

0,565

0,522

0,483

0,447

0,2

0,37

100

0,599

0,542

0,493

0,448

0,408

0,369

0,16

0,3

110

0,537

0,478

0,427

0,381

0,338

0,306

0,248

120

0,479

0,419

0,366

0,321

0,287

0,26

0,208

130

0,425

0,364

0,313

0,276

0,247

0,223

0,178

140

0,376

0,315

0,272

0,24

0,215

0,195

0,153

150

0,328

0,276

0,239

0,211

0,189

0,171

0,133

160

0,29

0,244

0,212

0,187

0,167

0,152

0,117

170

0,259

0,218

0,189

0,167

0,15

0,136

0,104

180

0,233

0,196

0,17

0,15

0,135

0,123

0,093

190

0,21

0,177

0,154

0,136

0,122

0,111

0,083

200

0,191

0,161

0,14

0,124

0,111

0,101

0,075

210

0,174

0,147

0,128

0,113

0,102

0,093

0,068

220

0,16

0,135

0,118

0,104

0,094

0,086

0,062

Приложение 6

Влияние условий закрепления концов стержня

на величину критической силы

Схема стойки

μ

2

1

0,7

0,5

Значение коэффициентов a и b в формуле Ясинского

Материал

 

a, Мпа

b, Мпа

Ст 2, Ст 3

100

310

1,14

Ст 5

100

464

3,26

Сталь 40

90

321

1,16

Кремнистая сталь

100

589

3,82

Дерево

110

29,3

0,194

Чугун

80

776

12

Для чугуна , где с = 0,53 




1. Ґендерні дослідження в сучасній педагогіці
2. Становление административной системы в городе Новосибирске
3. во Примечание
4. Системный подход в управлении качеством
5. лекциях и в процессе самостоятельной работы с литературой по дисциплине Стратегический менеджмент ознако
6. задание Провести компьютерное моделирование методов измерения фазового сдвига двух синусоидальных сигнал
7. Укрытие и преобразование его в экологически безопасную систему
8. Города и села Кузбасса.html
9. 2001 год ПЛАН. Введение3 Географическое положе.
10. Види класифікаторів, засоби для їх впровадження та ведення
11. Логоневроз сложного генеза Умственная отсталость лёгкой степени
12. 2000 годами до миляда Гайсы
13. Конституционно-правовое регулирование парламентских выборов в Чеченской республике.html
14. Определение произведения растворимости малорастворимых солей серебра Выполнил
15. Тема 2 Частная психиатрия Лекция 11
16. варианта по журналу Таблица 8 Стратегия компании Прибыль в з
17. Greenslade
18. ТюменНИИгипрогаз В
19. Право и правовые нормы
20. Тобольская средняя школа 116 Тарановского района Костанайская область Конспект урока по биоло